线性化处理前后开式静压工作台动态特性比较

Dynamic Characteristic Comparison of Open-type Hydrostatic W orktableboth Before and After LinearizationZHAO Jianhua GAO Dianrong(Mechanical Engineering Colege，Yanshan University，Qinhuangdao 066004)Abstract：At present，the hydrostatic bearing system，usually considered as the linear system，is mostly researched on the dynamicperformance.But the enDr via linearization transform hasnt yet analyzed.Take the open-type hydrostatic worktable based on themulti-head pump for instance，the nonlinear diferential equations systems on the pressure and the flow are derived.On the one hand，the hydrostatic bearing system is linearized，and the Uansr function via Laplace transform is obtained.The stability is discriminatedwith Routh criteria，an d then the step response curves and the pulse response curves are ploted.On the other hand，the system blockdiagram of the worktable bearing system is built with fourth-order Runge-Kutta method using Simulink tool box.and the stepresponse curves are ploted.Comparing the response curves obtained separately from two diferent methods，the diference betw eenthe curves is very small，and the precision Can meet the demand of the practical engineering，then the linear treatment is valid for theopen-type hydrostatic worktable based on the multi-head pump.So the dynam ic perform ance on the worktable is analyzed，and theamplitude-frequency curves，the phase-frequency curves，and the dynamic stifness-frequency curves are present.The proposedresearch contrasts the response results of the hydrostatic worktable with two diferent methods，and provides a basis for the practicalengineering。

Key words：Multi-head pump Open·-type hydrostatic worktable Nonlinear diferential equations systems Laplace transformFourth.order Runge.-Kuta method Dyn amic stifn ess0 前言由于结构简单，性能优良，因此多头泵在静压支承系统恒流量控制中作为首掩流器而广泛使用↑年来，国内外较多的学者对其进行了研究。

国家自然科学基金(5lO75348)、河北省自然科学基金(E20l1203l51)和高等学校博士学科点专项科研基金(20l0l333ll00O2)资助项目。

20111212收到初稿，20120620收到修改稿如文献[1]以圆台立式磨床的恒流量静压工作台进行了分析；文献[2]对大型数控滚齿机工作台中的两级承载液体静压导轨副的动静态性能进行了定性和定量的计算；文献[3]对带有环形节流器的水压轴向柱塞马达的静压滑动轴承摩擦进行了研究；文献[4对小流量多头泵进行了研究与分析；文献[5]详细分析了采用多头泵进行恒流量控制静压导轨的方法与步骤，并进行了相应的分析。

多头泵-静压支承系统属于非线性系统，实际工机 械 工 程 学 报 第 48卷第 24期- m6Fmg-12pAe (3)式(3)减去式(1)，得到～ mArF-12ApA (4)式中，△ - o，△ p-p0。

对油腔及多头泵进行分析，列出流量方程g：g。-qj-g (5)式中 油腔液阻： B- - 油腔的瞬时流量g --油腔的稳态流量，即施加载荷厂前油腔的流量- - 油膜厚度 h变动而排挤的油液流量口- 多头泵与油腔之间的连接管路的容积效应流量工作台位移变化而排挤油液的挤压面积- 2b)(L-21) (6)油腔的挤压流量q4，8 (7)油液中较容易混有未溶解的空气，或者多头泵与油腔间贮存有空气，且空气是可压缩的，因此需要考虑容积效应。容积效应-般与油液的压缩性有关，与多头泵出口到油腔油膜位置之间的所有油液体积有关，-般称为敏感油路体积 引，具体表达式为f警专式中 油液的压缩性系数- - 敏感油路体积油液的体积模量将式(7)、式(8)代入式(5)中，得到譬g0 - P (9) - qo～ D-式中，qo：-poO-8o。

2 工作台支承系统的线性化分析2.1 工作台的传递函数推导对非线性微分方程组进行线性化处理的方法有很多，如动态反馈线性化、近似线性化、Carleman线性化等 。

本文借助于 Taylor级数进行线性化处理，将非线性单元 在工作点 0， 0)附近展成 Taylor级数形式，去掉高阶项，得到线性化方程堕 Ap十-3Bpo8A-Ab△ - (10)对式(10)进行 Laplace变换，代入边界条件A6(0 )0，Ap(0 )0，得到 -3BP-o62- (11)K -同理，对式(4)进行 Laplace变换，代入边界条件△ (0L)0，△ (0)：0，得到ms AS(s)12Ap(s) -F(s) (12)将式(11)代入式(12)中，设定工作台的输入为载荷 F，输出为油腔的油膜厚度变换，则静压工作台的传递函数G 雨A6(s) 而 )式中， 旦 ， ， 3BKg623mg 00 oo ， DA妻， 4AA p。

2.2 工作台的稳定性判别如式(13)所示，工作台传递函数 G(s)的特征方程为 T3s。 l0。根据 Routh判据，特征方程的各系数列出雏 1 (14)式中， T2-乃/ 。

工作台稳定性的充分必要条件为， ， ， >0 (15)3 工作台支承系统的非线性化分析处理非线性方程的方法主要分为二分法、迭代法、Newton法、弦位法 J，处理微分方程的方法主要有 Euler法、Runge-Kuta法[1445J等。

本文采用四阶Runge-Kuta迭代法对将式(4)、式(9)进行分析，将其转换为-阶微分方程组形式，并转换成隐函数的形式2012年 l2月 赵建华等：线性化处理前后开式静压工作台动态特性比较 161 (t， ， ，P)： ! ：，P) (1-6) 。 ，2 lf，D， J m go -。 ～/ 、由于四阶 Runge-Kuta法的计算公式已内置在常见的仿真模拟软件中，因此本文只简单列举其计算公式 ·詈( ， 2/(1，22K1， ， )VS，nl ，詈( ，。2 ， 2 ， ， )(17) p 詈( ，。2 ， 2 ， ， )4 线性化前后工作台的响应比较工作台的质量为 30 t，各参数如下表所示。

表 回转工作台的参数输入信号1 0 t≤1 S( ) t；o f≥1 s10 t∈( ，n 2.5l s ( ) 6 fe( nT2.5， ， 1 s (18)式中，nl，2，3，；T-5。

4.1 线性化的工作台支承系统的响应曲线根据式(13)，工作台采用上表中的参数，传递函数中各参数的数值 3.33x10 0.0448 4.48x10 (19) lx lO 9.031 7多头泵调节下开式工作台静压支承系统的传递函数为高阶系统(分子、分母的阶数分别为-阶、三阶1，存在-个零点、三个极点。由于分母中系数、 死、 相对于 非常小( 、 、 分别比小2、9、6个数量级)，系统中有三个极点在S平面左半部非常远离虚轴，留数非常小，衰减指数非常大，对于工作台的影响较校因此工作台系统可以用低阶系统代替，传递函数简化为1G( )- ao (20)1 利用 Matlab计算出中的 Simulink工具箱搭建响应的框图，得到了工作台的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线如图 5、6所示。

g亡)魁驽墓呈穗世b磷舞时间/s图 5 工作台支承系统的阶跃响应曲线图6 工作台支承系统的脉冲响应曲线4.2 非线性化的工作台支承系统的响应曲线采用四阶Runge.Kuta法，将式(4)求取导数，得到- ma6"户-12A/)A r21)将式(21)代入式(9)中，得到工作台关于外载荷F、油膜h的非线性微分方程( ) 去 Bmg 6312A/- 12 (2) 12 、工作台的参数如表所示，利用 Matlab中的Simulink工具箱搭建阶跃响应的框图。得到了工作162 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 24期台系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线如图所示。

4.3 线性化前后工作台支承系统的动态响应比较根据图 5，工作台原非线性系统对于阶跃响应的无超调量，调整时间为 29.4 s，最终油膜厚度为28.2 gm。而线性化的工作台支承系统无超调量，调整时间为 28.2 s，最终油膜厚度为28.0 gm。因此对于阶跃载荷下工作台系统的线性化处理误差很小，基本可忽略。

由图 6可知，工作台的调整时间相对脉冲周期较长，因此前半周期(nT， 2.5)内载荷为 60 kN的作用下油膜厚度降低；而工作台系统存在惯性环节，在前半周期结束时油膜未达到稳态值；在后半周期 升2.5， n 内载荷为 0，油膜厚度升高，呈现图 6所示的锯齿形波动；随脉冲载荷持续作用，油膜厚度在稳态值附近随载荷而振荡，达到动态平衡。

线性化的工作台与原工作台系统在脉冲载荷作用下的变化趋势-致，均无超调量，油膜在平衡值受迫振荡，幅值相等，平衡值相差 0.06 pm。因此对于脉冲载荷下工作台系统的线性化处理误差很小，基本可忽略。

综合比较图 5、6看出，线性化后的工作台支承系统与原支承系统存在-些误差，但是工作台实际运行中会有各种影响因素，必须抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，线性化处理造成的误差可以在实际工程的允许范围内，因此线性化处理对于多头泵调节下的开式工作台静压支承系统是正确可行的。

5 工作台支承系统的动态特性分析根据自动调节原理，当静压工作台的输入为正弦信号时，稳定后输出亦为周期相同的正弦函数。

令s-jo，将其代入工作台的传递函数中，则支承系统的振幅、相角、动刚度分别为rco)Jo( )arctan(Tco) (23)去改变工作台支承系统的敏感油路体积 ，其它参数如表 1所示，利用Matlab软件绘制出相应的振幅、相角、动刚度的曲线，如图7～9所示。

由图 7-9看出，工作台的振幅、相角随频率的增大而减小，而动刚度随之增大，其中，不同敏频率/Hz图7 不同敏感油路体积的幅频特性曲线- 1O呈主10墼10需lO频率/Hz图 8 不同敏感油路体积的相频特性曲线频率/Hz图 9 不同敏感油路体积的动刚度特性曲线工作台支承系统可简化为-阶微分环节与惯性环节相组合而成。在系统的中低频范围内惯性环节起到主要作用，高频范围-阶微分环节起到主要作用。而工作台主要在中低频范围工作，因此惯性环节对系统的影响相对较大。

6 结论(1)多头泵调节下的开式静压工作台支承系统为非线性系统，工程分析计算比较困难。通过对工作台支承系统进行线性化处理，得到线性系统。

(2)输入阶跃信号、正弦信号，对处理前后的非线性、线性系统进行对比分析，发现线性化处理工作台支承系统造成的误差较小，在实际工程的允许范围内，且可以大大地降低设计人员的劳动强度，提高了设计效率和准确性，因此线性化处理工作台支承系统是正确可行的。