Monte-Carlo方法在尺寸链方程组计算中的应用

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引信作为-种微型化和精密化的军工产品，技术和尺寸精度要求都比较高，因此尺寸链计算是引信产品设计中的-个重要环节，是引信设计的特点之-。引信产品的尺寸链计算主要为零件设计、产品装配、制造工艺、发火性能以及自毁性能等的计算和校核提供数据，通过理论计算及时发现产品设计的缺陷，改善产品的可生产性、可装配性以及产品使用的安全性与可靠性。

文献[1]从时间发生的概率大型生产经济性以及可生产性方面出发 ，提出用 Monte.Carlo方法解尺寸链的问题 ，将 Monte.Carlo方法应用到-般尺寸链的计算中；文献[2]系统的介绍了求解由方程组组成的尺寸链问题的方法；文献[3]通过 Monte-Cado法求解多环尺寸链估算装配的成功率问题；文献[4]和文献[5]则应用了 Monte-Cado方法研究球转子旋转偏心情况 ，针对相关原则的同轴度误差的处理问题，通过对计算条件的假设与抽样检验，得出了精度比较高的计算仿真结果。文献[7]解决了用常规方法对尺寸链组成环的尺寸分布服从非正态分布而无法求解的问题。

本文所要做的工作，是在文献[1]～[6]所做工作的基础上，将 Monte.Carlo方法具体应用到由方程组构成的尺寸链计算的实际问题中，进行分析求解 ，得出所求尺寸链封闭环的尺寸分布情况，进而求出封闭环的极值。

1 尺寸链计算方法- 般来说 ，进行尺寸链计算的主要 目的是求解极值。

所使用的计算方法-般有三类 ：极大值极小值法、概率统计法和 Monte-Carlo法，另外还有高等数学 中的函数微分求极值法。

1.1 极大值极小值法极大值极小值法是尺寸链计算中应用得较为广泛的- 种计算方法。应用该方法进行计算的基本原则 是：1)计算封闭环最大尺寸时，所有增环都取最大极限尺寸，所有减环都取最蝎限尺寸。

2)计算封闭环最小尺寸时，所有增环都取最蝎限尺寸，所有减环都取最大极限尺寸。

4)封 闭环 的最大最小尺寸 的差值 即为封闭环 的公差。

极大值极小值法考虑了极端不利的情况，-般情况下极端条件出现的可能性很小，把这种极端情况考虑进去所计算出来的结果使得尺寸公差范围小 ，生产的难度变大。

- 般来说，极大值极小值法适用于精度要求 比较高，使用环境比较极端多变并要求产品装配的 100%互换的产品设计上。从引信设计角度和使用环境来说，引信的尺寸链计算-般采用极大值极小值法。

作者简介：蔡伟妹(1985-)，女，广西玉林人，硕士研究生，主要研究方向：武器系统与运用工程数字化研究。

. 104. htp：/ZZHD.chinaj。urna1.net.cn E-Ilail：ZZHD###chainajourna1.net.cn《机械制造与自动化》· 信息技术 · 蔡伟妹，等 -Monte-Carlo方法在尺寸链方程组计算中的应用1.2 概率统计法概率统计法从概率原理出发 ，考虑尺寸链中各组成环的实际分布情况 ，能客观的反映加工精度和尺寸分布的本质。概率统计法的计算方法是 ，将各组成环的尺寸分布看作某-特定形态的分布，然后根据这 -形 态分布进行计算 - 。

- 般情况下，当各组成环的分布规律按正态分布时，其封闭环尺寸也必然符合正态分布规律；当各组成环分布不按正态分布，在组成环数不太少，各组成环变化范围大小相差不大的情况下，封闭环的尺寸仍趋于正态分布；当尺寸链组成环数较少而各组成环分布又偏离正态分布较大时，封闭环也将偏离正态分布。

- 般而言，应用概率统计法计算引信零部件的尺寸链时，必须明确知道各组成环的尺寸分布形态。但是要明确知道各组成环的分布律是很困难的，需要长时间的统计资料积累，因此，概率统计法只适用于尺寸分布律 已知的情况下的尺寸链计算。

1.3 微分求导法在尺寸链计算中，由函数式表示的尺寸链可利用微分法来求解 ，该方法的本质是通过微分来求解函数的极值。

在使用微分法进行尺寸链计算之前 ，必须建立封闭环与各组成环之间的函数关系。

设封闭环与各组成环的函数关系为：l， 2，， ) (1)式中 厂封闭环；n-组成环个数。

当各个 组成 环 之 间相互 独立 时，对 函数全微分，得：d， 。 .. (2)d 1 a 2 d假设 -， ， ， 为 已知常数， 为未知变量，求出 在其取值范围内的增减性，从而判断其任值时使得，全值。

当各组成环相关时，对式(3)进行求偏微分，即：： 出 (3)d 1 d 2 Ox假设 -， ，，.qi7 ，， 为已知常数， 为未知变量，求出 在其取值范围内的增减性，从而判断其任值时使得.厂全值。

由以上可知 ，在封闭环与各组成环之间的函数关系比较明确的情况下，可通过微分求导法求出封闭环的极值，从原理上看，该方法是通用的。但是 ，对于由方程组组成的尺寸链，对方程组进行求导不仅繁琐，并且各组成环的增减性不容易判断，因此该方法就存在着-定的局限性。

1.4 Monte·Carlo方法a)Monte.Carlo方法的特点Monte-Carlo方法被称为随机模拟方法(random simu。

1ation)，也被称为随机抽样 (random sampling)方法。该方法主要用于解决确定性的数学问题和随机性问题 ，是Machine Building 8 Automation，Jun 2013，41(2)：104-107，125- 种独具风格的数值计算方法。它的理论基础来源于概率的大数定理和伯努利定理 ，其优点以及与其他方法的不同点可归纳如下 ：1)Monte-Carlo方法及其程序结构简单 ，只需要产生符合要求的随机数 ，通过重复抽样，求得平均值即可。

2)收敛的概率性和收敛速度与问题的维数无关，Monte-Carlo方法可适用于多维问题的求解。Monte-Carlo方法的收敛是概率意义下的收敛 ，其收敛速度比-般数值方法的收敛速度要慢得多。

3)Monte.Carlo方法通用性强，适用范围广，在求解问题时受条件限制的影响校b)计算机伪随机数的产生和抽样方法在应用 Monte.Carlo方法模拟某问题的求解过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。服从 [0，1]分布的随机变量是最简单、最基本并且是最重要的随机变量也成为随机数。其他分布的随机变量的抽样是通过随机数来实现的。

引信 零 部 件 的 尺寸 分 布 可 看作 服从 以下 三类分布 ：1)均匀分布。服从 [a，b]分布的伪随机数可由式(4)生成 ：R (b-a)r 0 (4)2)正态分布。当影响因素具有确定的公称值和公差范围时，便可认为该影响因素服从正态分布。生成该类分布的表达式为：RftNo1。

3)瑞利分 布。服从瑞利分布的随机数可由式 (6)生成 ：R √-21nrl，i1，2，，n (6)随机抽样的方法-般有直接抽样法、舍选抽样法、复合抽样法、复合舍选抽样法、近似抽样法和变换抽样法六种。针对不同的影响因素分别进行随机抽样，通过计算便可获得相应的尺寸分布结果。

需要补充说明的是，在生成具有正态分布特性的随机数后，需要对不在公差范围内的数值进行剔除 ，以保证计算结果的正确性。

2 应用 Monte.Carlo方法计算尺寸链的实例现在以两个例子具体说明 Monte-Carlo方法在尺寸链方程组中的实际应用。

2.1 求某引信体上端退刀槽斜面的宽度a)问题的引出某引信体及其相关尺寸如图1所示。在该引信体零件中，需要计算引信体上端退刀槽斜面的宽度 ，为检查风帽与引信体安装正确性提供数据。该斜面的宽度是通过- 组方程组来表示的，无法通过简单的极大值极小值法来进行计算，也无法通过微分求导法和概率统计法得出结果。

· 105·· 信息技术 · 蔡伟妹，等 ·Monte-Carlo方法在尺寸链方程组计算中的应用图 1 引信体及相关尺寸为此，首先通过数学上的几何关系，以引信体的中心轴线为Y轴来建立-个直角坐标系，并分别将以上各个相关尺寸用 a，b，C，d，e ，g，h，Ol来表示，引信体坐标系建立如图 2所示。

图2 引信体零件坐标系在该坐标系 中，图中标注的 A，B，C，D四点 的坐标分另q表示为(-a/2，e-d)，(-c/2，h)，(-b/2，e-d-，g)，( ，Y)。根据 A，B两点坐标与半径 r，，r2之 间的数学关系以及 C，D两点的关系，通过建立关系式 ，得到如下方程组 ：：(a0a/2) (bo-ed)(a0c/2) (bo-h)( -a0) (y-b0) -r (7)yxtanae-d-fg(btana)/2l：方程组中的 1即为所要求解的退刀槽斜面的宽度。

通过上述所列方程组可以发现，-个看似很简单的问题 ，已经转化为-系列的解释式 ，并且该方程组无解析解。在此 ，将 Monte.Carlo方法应用到该问题的求解过程中。

b)计算的基本假设在应用 Monte.Carlo方法进行尺寸链计算前，需要对引信体零件相关尺寸作以下假设 ：1)不考虑有关零件表面形状误差影响；2)不考虑有关零件同轴度误差的影响；3)假设零件的相关尺寸均服从正态分布，取其公差带中心为散布中心，公差带宽度取 60"，这相当于取工艺能力系数为 1(引信生产工艺能力系数-般为 1.2～1.5)；4)所有尺寸均以抽样 10 次作为整体 ，以保证所得结果与实际相符合。

C)Monte-Carlo法求解通过上述假设 ，将 Monte-Carlo方法与 MATLAB编程相结合对该问题进行求解 ，程序流程图如图 3所示。

组成环样本初始化II随机生成组成环样本Ⅳ1 lll剔除样本中的不合格尺寸Il从合格尺寸中抽取样本尺寸N (Nt> )l随机抽取每个组成环的合格尺寸值 ，代人方程组计算得封闭环尺寸值l存储尺寸抽样值l生成分布曲线图 3 程序流程 图在模拟的过程中，先随机生成 1.2×10 个随机数，将不在尺寸公差范围内的随机数剔除，然后再从符合要求的随机数中随机抽取 10 个随机数代表整体，得出如图 4所示频数直方图。

图4 退刀槽斜面宽度尺寸频数分布直方图注：正态分布抽样的置信度为99.73%。

d)计算结果分析通过上面的抽样分析可以知道：1)在置信度为 99.73%的情况下 ，引信体上端退刀槽斜面宽度的最大值为 1.238 mm，最小值为 1.01 mm，平均值为 1.12 mm，其分布曲线基本上呈正态分布。

2)在方程组没有解析解的情况下，Monte-Carlo方法给出了较为精确的计算结果，并且可以看出，在随机抽样.106. http：fZZHD.chinajourna1.net.cn E-Inail：ZZHD###chainaj。uma1.net.cn《机械制造与自动化》· 信息技术 · 蔡伟妹，等 ·Monte-Carlo方法在尺寸链方程组计算中的应用得出的结果中，该尺寸值的取值是随机的，并且大量分布在 1.05 mm1.2 mm之间。

2.2 风帽收口前的轴向间隙a)问题分析某引信安装风帽后的装配简图如图5所示，在本文中只给出引信体与风帽两零件装配的示意图。

图 5 某引信安装风帽后的装配简图在求解该问题时，可应用极大值极小值法；但通过计算发现，极大值极小值法计算结果的最小值为负值，与实际不符合。究其原因，是尺寸链计算中连续用了两个通过其他尺寸链计算出来的引用尺寸。根据误差传递可知，计算的结果是不准确的。下面根据 2.1条中所用方法来建立几何关系方程，坐标系的建立与 2.1条相同，如图6所示 。

口 L-.q- iJI、 、 、 If O ，图 6 装配图坐标系，b )方程的建立过程在此不再赘述。在该问题中，要解决的是求出图中B，C两点的坐标。其中已知 B，C两点的坐标分别表示为(-i/2，Y )，( ，e-d-f)。

将两点的坐标分别代人方程(x-a。) (y-b。) 磋，即可求得两点的坐标值 ，问题的解即为：lye-edf (8)b)基本假设根据引信体与风帽的装配情况，现作以下假设：1)不考虑有关零件表面形状误差影响：2)不考虑有关零件同轴度误差的影响：Machine Building Automation，Jun 2013，41(2)：104～107，1253)假设风帽轴线与引信体轴线重合；4)假设零件的相关尺寸均服从正态分布，取其公差带中心为散布中心，公差带宽度取6or；5)所有尺寸均以抽样 10 次作为整体，以保证所得结果与实际相符合。

c)Monte-Carlo法求解应用 Monte-Carlo方法求解得到的结果如图 7所示的频数直方图。

图 7 风帽收口前轴向间隙尺寸频数分布直方图d)计算结果分析通过抽样分析可知：1)风帽收口前轴向间隙的最大值为 0.989 6 mm，最小值为0.435 5 mm，平均值为0.684 2 mm，其分布曲线基本上呈正态分布。

2)在极大值极小值法计算中，最小值为负值，并且最大值与最小值的差值比较大，而该结果中的最小值都大于0.4 mm，因此是与实际结果是相符合的。

3 结论通过上述计算可知：1)Monte-Carlo方法通过随机抽样模拟得出的值，可准确的反映尺寸链封闭环的尺寸分布情况，并得出在尺寸链封闭环的极值。

2)Monte.Carlo方法可解决尺寸链计算中遇到的复杂的尺寸链计算问题，通过大量的模拟运算，得出问题的统计特征值。

3)Monte-Carlo方法结合 MATLAB程序设计可计算组成环除正态分布外的其他分布规律的尺寸链，程序简单，节省时间。