基于渐开线齿轮精确建模的啮合刚度的数值计算

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齿轮传动系统是机械设备中最主要的传动形式，其振动特性-直是人们关注的焦点。时变啮合刚度( 是影响齿轮动载特性的-个非常重要的因素，对其进行深入分析可以得到更加精确的动力学特性。刚度的计算公式主要有日本的石川公式日所表示的当量齿形法和 ISO方法 ，而刚度的求解主要是对轮齿弹性变形的计算。目前来说，其计算方法主要的依据就是 Weber能量法，文献 都在此方法的基础上，通过现代计算技术的帮助，采用数值积分法进行了求解。上述的计算方法都对齿廓形状进行了简化，所以得到的结果存在-定的误差，在前人研究的基础上 ，对齿廓进行了精确建模，同时对基于材料力学的数值积分法进行详细推导，运用 Matlab编写程序进行计算，得到了较为精确的啮合刚度，并与 ISO标准和日本标准进行对比。

2渐开线齿轮精确建模双圆角齿条型刀具加工的渐开线齿轮精确建模。齿廓曲线由齿根圆弧线、齿根过渡曲线、渐开线齿廓和齿顶圆弧线四部分组成161。坐标系的设定方法，如图 1所示。

齿顶圆弧线J IY F线齿廓/蛐j.c圆弧线图 1精确建模的齿廓曲线Fig.1 Accurate Modeling of the Tooth Profile CurveAB段：齿根圆弧线方程：f -r/sin82y r，c0 2式中：r，-齿根圆半径；6，-齿根圆弧中问参数。

BC段：齿根过渡曲线方程(等距渐开线)：来稿Et期：2012-04-12基金项目：长江学者和创新团队发展计划项目(IRT0816)；高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项(2010ZX04014-014)作者简介：张奎晓，(1989-)，男，山东 El照，东北大学硕士研究生张义民，(1958-)，男，吉林长春，东北大学长江学者计划”特聘教授，博士生导师第2期 张奎晓等：基于渐开线齿轮精确建模的啮合刚度的数值计算 67-( 小 hsiny( r0)sin( )rc。s式中：a -加工节线位置参数；oL -齿根过度曲线参数 ；rn-刀具圆角半径；妒-过渡曲线中间参数。

CD段：渐开线齿廓方程f rb[sin(T-6)- c0s(7 ) y [cos(T-6)Tsin(y-6)]式中-r-基圆半径； 开线齿廓中间参数；6-渐开线齿廓中间参数。

3数值积分公式的推导3.1轮齿模型的等效转化齿轮弹性变形计算公式不是简单的应力峰值点和载荷接触点对应的截面特性的函数，其计算公式是整个受载轮齿的积分函数 ；另外，由于轮齿呈短粗型，所以还需考虑基体和剪切引起的变形。在基于 Weber的研究基础上，引入 0Donelm)]：研究的基体变形因子，进而总体变形包括三个部分：(1)轮齿渐开线部分的弯曲变形、剪切变形和轴向压缩变形。(2)与齿相连的过渡圆角和基体的变形。(3)由接触应力引起的局部接触变形〖虑到计算的方便 ，下面给出数值算法的求解过程。

32轮齿渐开线部分的弯曲变形、剪切变形和轴向压缩变形用 q 表示渐开线部分由 ，作用产生的弯曲、剪切和轴向压缩变形沿载荷 方向的等效变形。它是单个微元变形的叠加，每个微元本身被认为左端固定，与微元右端面相接的部分看作刚体，则：% q (5)式中： -从啮合点 到过渡曲线与渐开线的交点之问微元的总N个数；‰ - 作用于微元而产生的变形，将等效到对称轴上分解为三个分量：沿 轴方向的分力： si沿 y轴方向的分力： CO等效弯矩： ，(Lcoq3j～Ysinflj)图2等效转化的齿轮模型Fig.2 Equivalent Transformation of Gear Model轮齿渐开线部分的变形/ qb/jl-Ee Jcos。

l Isin 2 l cos 3362 36 ±塾 l c0鸣1- -1(6)式中：l，广啮合点 点的纵坐标； -泊松比； -等效弹性模量，它的取值根据齿轮是宽齿(平面应变)还是窄齿(平面应力)来判定。大括号中的第-项为 作用下的剪切变形；第二项为 作用下的压缩变形；后两项为 和吖作用下的弯曲变形。

根据CornellE1的研究，宽齿的条件是： B >5 (7)式中：B-齿宽；H -节点处的齿厚。

对R->5的宽齿，有：E- (8)1-对R<5的窄齿，有：E-E (9)3.3过渡圆角与基体的变形3.3.1过渡圆角的变形对于过渡圆角处的变形，方法与渐开线部分的变形相同，只是离散区域不同，此时的离散区域为点到基点 点之间的过渡曲线对应的部分。过渡圆角的变形量同样可由微元叠加而得：‰∑‰ (1o)3.3.2基体的变形0Donnel 于能量法进行了理论推导，得出了基体变形量的计算公式。Comell采用了相同形式的计算方法，得到基体变形量的计算公式：对于窄齿(平面应力)：- !!!垒 % -s4( )对于宽齿(平面应变)% ： 磐 (1-V2) - - l (12)68 机械设计与制造No.2Feb.2013其 中，： - - tan( )日，2Y (12)则过渡曲线部分与基体的总变形为：q6q辆q期 13)3.4局部接触变形关于局部接触变形主要有两种方法，come1 应用赫兹理谢 ，经过理论推导，得出局部接触变形量：等 J[1] 式中： -两齿轮的弹性模量 厂两齿轮的泊松比。

TavakoliI 这里，使用的啮合接触变形公式是：： (-I3) g - 广- - JEl B其中EI2ew对上述两种方法进行数据对比后发现两种方法的计算结果基本相同，所以采用较为简洁的方法，即Tavakoli中的计算方法。

因此，-对啮合齿轮在 总的变形为：gl g )I %(qbjql)2 (16)其中，角标 1、2表示主动轮和从动轮。啮合点. 处的啮合刚度 为：K.：q13.5基点 M的确定计算基点 肘的方法，主要有 Cornell的最大变形条件嘲决定法和Tavakoli定义计算基点 在齿根圆上目两种方法，对两种方法均进行了分析。

- 组数据计算结果，如表 1所示。齿轮数据为 m3.175mm，zz236，'-71.7N·m，BFB 25。4mm。我们由计算数据结果得出，用最大变形条件得到的结果与Tavakoli方法得到的结果误差在l%以内。同时由表 1可以看出对于同-齿轮不同的啮合点Tavakoh得到的基点M是不变的，而最大变形条件定义的基点 M的位置是随着啮合点的变化而变化的。采用最大变形条件来定义基点 的位置。

表 1最大变形条件与 Tavakoli方法的对比Tab.1 The Maximum Deformation ConditionWith Tavakoli Method Contrast蹴 方法 龇T署avkoli m )4算例计算结果与分析4.1轮齿变形量的计算结果与分析基于上述理论方法，用 Matlab软件编写程序，进行数值计算。本例中取齿轮参数为 l 228、m3.175ram、B6.35mm、T71.7N·In。通过计算得到轮齿无量纲变形，如图3所示。图3结果与文献13]的NASA报告结果比较，如图4所示。非秤近。由于采用了精确建模和采用最大变形条件的方法，使得结果比严海燕191得到的结果更准确。

4.2计算结果的误差分析ISO标准计算中，其公式是以Weber的变形公式为基础的，其采用弹性力学的轮齿弯曲、剪切 、压缩变形，接触变形和基础变形的叠加公式。日本机械学会公式中轮齿的刚度，是根据作用在各个齿轮分度圆节点上的法向力，与由石川公式求的得的总变形量做比值求得的。在石川公式中，轮齿看做长方形和梯形的组合。

通过方法得到的单对齿啮合刚度分别与 ISO6336给出的单齿对啮合刚度和日本机械学会公式计算得到的单齿对啮合刚度相比较，误差均在 8%以内，具有较好的精度，结果如表 2所示。

单齿对啮合角度(。)图3轮齿无量纲变形Fig.3 Tooth Dimensionless Deformation单齿对啮合角度(。)图4 Ljn的计算结果Fig.4 Calculation Results of Lin表 2齿轮啮合刚度对比 N/(mm·u m)Tab.2 Gear Meshing Stifness Contrast N/(mm·u m)z. z 方法得到的网4度 ISO给出的刚度 机械学会公式得到的刚度5总结结合齿轮加工工艺，给出了渐开线齿轮精确建模的方程，在Weber研究的基础上，给出了数值积分法求解齿轮变形量的理论求解公式。 (下转第73页)No.2Feb.2013 机 械设 计 与制 造 736总结针对伤员救护中因地势颠簸不平对伤员造成的二次损伤和运送平稳性等问题，提出并设计了-种用于在野外、楼道以及其它地势不平的诚下救助伤病员的可拆卸式的白平衡担架床，通过系统规划、机械结构设计、控制系统设计和实验研究 ，验证了技术方法的有效性。通过课题研究，这种担架床的优点在于：(1)采用包含电动推杆的连杆机构，实现了机构的简洁化，采用可拆卸的整体结构并设计了携带箱，使担架床便于携带，提高了救援效率。

(2)采用闭环反镭制原理 ，设计了 自平衡控制系统 ，利用高精度倾角传感器实时检测担架床倾斜角度 ，利用高性能 ARM控制器控制电动推杆动作，满足了伤病员在救护运送过程中其姿态平稳性的要求。在楼梯上搬运的实验证明，担架床的平衡功能良好。