考虑不确定性的稳健优化设计研究

对于复杂的机械系统而言，结构尺寸的变化、结构之间的相互作用以及零件的加工因素等不确定性因素都会给系统的最终响应造成影响。稳健设计正视不确定性因素及其对产品性能的影响，在不提高制造精度和使用条件等的限制下，以减少不确定性因素对性能的影响。2O世纪 70年代，日本 TaguchiGL 提出3次设计方法，将传统类比、试凑的经验设计转变为基于试验的数理统计分析设计，且认识到产品质量的提高在于控制设计中不确定性所导致的产品性能的波动，并致力于在设计阶段通过选择合适的设计变量来减小不确定性的影响。ParkinsonA2 ]指出稳健设计的本质是-个优化问题，其核心理念是设计参数的不确定性导致了设计 目标和约束的不确定性，稳健设计的目的就在于减小这种不确定性。Chen Wei[4]认为稳健优化设计的 目标是使不确定性造成的影响最校稳健设计由最开始的经验设计转变为理论分析和判断，由于不确定性因素的存在，响应也带有不确定性。Belegundu A DE利用灵敏度信息作为稳健性评价指标，通过极携灵敏度来实现稳健优化设计。Zhu Jianminl r。 等应用系统性能函数对参数求偏导形成雅克比矩阵，提出了基于雅克比矩阵特征矩阵和特征值的敏感区概念，并研究了性能敏感分布问题。Gunawan S等 ]应用敏感区概念提出了无需对性能函数求导的基于稳健性指数的设计方法。针对稳健性指数未能全面反映实际设计所能抵抗设计参数变化的能力，刘德顺等 - 结合最坏情况分析和稳健性指数，提出基于性能稳健偏差的设计方法。

同，输入和输出之间存在明显的显式关系时，计算模型没有误差代入；但当输入和输出之间为隐式关系时，根据对模型的近似程度，在计算过程中会额外带人计算误差，根据不同的计算模型，计算误差可以估计。常用的处理方法是对输入参数进行抽样，对得出的结果进行统计，此方法效率低且计算量大，可以通过建立代理模型来实现计算过程的优化，但代理模型的精确程度会额外带入误差。

1.3 不确定性响应由于每个设计参数可以表征为多个区间，当存在 个参数，每个参数 置(i-1，2，， )有 m 个区间(每个区间的区间概率为 WJ1，2，，m)，则共有 C C 个设计空间，每个设计空间的区间概率为对应区间概率的积。

对设计空间取样，显式函数可以比较快速得到每个设计空间对应响应空间的上下限，对于隐式函数则需通过抽样来完成 (或通过取-系列计算值 ，构造显示函数)。稳健优化设计的目标是保证能信任的区间旧能的大，不确定的区间旧能的小，为此定义下面的 2个函数变量。

定义信任函数 (Be1)和似然函数 (P1)，Bel(B)表示对命题B为真”的支持程度，Pl(B)表示证据不否定B为真”的程度。Bel(B)和 Pl(B)分别构成对 B信任度的下限和上限，记为[Bel(B)，Pl(B)]，Bel(B)和Pl(B)定义分别为：Bel(B)：∑ (A)A BPl(B)- (A) (2)AB为目标性能的范围；A为设计空问对应的响应空间 ；A B，表示 A空间中属于 B范围的子集集合 ；AnB≠ ，表示 A空间中与 B 范围有交集的子集集合；re(A)为响应空间的区间概率。

0 el Pl 1信任 区间 不确定 不知道似然区1'9图 3 响应不确定性示意定义累积信任函数 Bel和累积似然函数 Pz分别为：＆z( ≤Yo)-∑m(A) (3)AC u o《机械 与电子)2013(4)P2( ≤ Yo)- (A) (4)An UyO≠Y。为目标性能值；Bel( ≤Y。)为支持Y≤Y。”为真的程度；Pl(y≤ 。)为支持 ≤Y。”不为假 的程度 ；U 为 ≤ 。性能值空间。

1.4 稳健优化设计准则由于响应的不确定性 ，想要保证 目标性能在设计空间内最大，即要求目标性能旧能的落在可信区间[0，Be1]内，则有准则：minW1[-1-Be1]叫2[Pz-Be1]) (5)W ，W 为权重系数 ，且有 W W -1。即最优值是使不确定的区域最小的设计参数值。

2 实例分析以测试系统为研究对象，该测试系统由壳体和测试部件组成，测试部件安装在壳体内，测试系统结构及组成如图 4所示。

壳体 橡胶材料 测试部件图 4 测试系统对整个测试系统进行分析，提取参数，主要包括设计参数、加工因素和材料参数等，对参数进行分析，确定含有不确定的参数，即确定不确定性源。对具有不确定性的参数进行灵敏度分析，选择对目标性能影响较大的参数进行分析。经过参数分析和灵敏度分析，选择壳体厚度 D和测试部件安装位置L作为不确定性变量 ，整个舱的轴 向- 阶共振频率为目标性能，要求-阶共振频率 厂o≤590.112 Hz。

为减小外界振动对测试部件的影响，在测试系统的壳体和测试部件之间安装了用于减振的橡胶材料。由于橡胶材料的分散性，很难表征和量化橡胶材料的特性，经过分析选择橡胶材料的可控因素作为优化设计的参数。选择橡胶材料的轴向厚度 t作为设计优化参数，最后在满足目标性能的要求下，给出设计变量的最优值。

根据测试系统的安装结构和认识程度，对 2个· 5 不确定性参数进行证据理论结构化，表征结构如表1所示 。根据实 际结构情况 ，选择厚 度 t分别 为 4mm，4.5 iTlm和 5 1Tim，利用证据理论传播原理，计算得到输出响应分别如表 2，表 3和表 4所示。

表 1 2个参数 的证据 结构参数空间 响应区间(Hz) 置信概率表 3 橡胶材料厚度为 4.5 mm时的响应表 4 橡胶材料厚度为 5 mm时的响应根据 目标性能的需要，即要求 ≤590.112Hz，选择 W -∞ 0.5，则根据评价准则，有表 5所示的判断准则。根据表 5分析，当橡胶材料越薄时，准则判断的结果越小，即当橡胶材料厚度为 4 mm时，目标性能满足要求的可信程度最大。

表 5 响应准则判断· 6 ·3 结束语分析了稳健优化设计流程，对稳健优化设计过程中含有的随机不确定性和认知不确定性，统-采用证据理论结构进行表征，提出了判断设计参数优化的判断准则。以测试系统作为优化设计模型，选择壳体厚度和测试部件安装位置作为不确定性因素，测试部件支承橡胶材料厚度为优化参数，利用评价准则对结果进行评价 ，实现了整个优化过程。