S型折叠式微悬臂梁刚度计算

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受到空间尺寸和驱动能量的限制，MEMS(Micro-electro-mechanical Systems)机构通常需要将能量传递、运动转换和执行调节等机构集成为-体1]，为了实现 MEMS这种多功能的结构，大多数设计者采用微弹性悬臂梁传递能量，即利用微悬臂梁的变形实现机构 的多 自由度运动 ，因此微 悬臂 梁是 -种 典 型的并 且非 常重要 的MEMS器件。悬臂梁是微传感器、微执行器和微陀螺仪等的重要组成部分，它不仅可为其提供弹性力，而且能够传递能量2 ]。微悬臂梁性能的好坏对器件能否按照设计要求工作起着至关重要的作用。

结构简单的微悬臂梁的刚度计算公式已成熟，而许多实际应用中结构复杂的微悬臂梁(如多节 S型折叠式悬臂梁)并没有成熟的设计计算公式，在器件的设计及优化中缺乏理论支持。以往的文献报道中，何光、石庚辰7]对 MEMS平面 Z型、L型等复杂形状的多节悬臂梁进行了平面刚度计算公式的推导，但忽略了转角处的弯矩，精度不高；南京理工大学的吴志亮 对 s型折叠式、w型悬臂梁的刚度公式进行了推导，精度有了进-步的提高，但其推导公式仅限于 Y向刚度，切向以及垂直平面方向的刚度缺少精确的计算公式。

另外以上文献只采用公式推导和利用有限元模拟方法进行分析验证，没有实验验证。本文提出 S型折叠式微悬臂梁 z、 3个方向的刚度计算公式，精度上有了进-步的提高，并通过实验验证了该公式的正确性和精度。

2 S型折叠式微悬臂梁模型为了降低结构刚度，捕捉到更小的信号，s型折叠式悬臂梁广泛应用于 MEMS执行器和传感器中[ 。S型折叠式微悬臂梁模型如图1所示。

为了简化推导过程，在公式推导前做如下 3图 1 S型折叠式微悬臂梁模型Fig.1 Model of folded serpentine micro-cantilever点假设 ：1.由于折叠悬臂梁用于MEMS执行器、加速度计等结构，弹性变形空间有限，且这些器件本身可以重复使用，因此假设折叠悬臂梁的变形均为小变形，力学行为可以用刚度系数 K来表示。

3 刚度计算和有限元仿真折叠悬臂梁结构由 节结构完全相同的单元组成，每-个单元的形状和基本尺寸如图 2。取出其中-节单元，建立力学分析模型，图 2中B和T分别为折叠悬臂梁截面宽度和厚度，L为折叠悬臂梁长度，R为环形弯曲处的中位半径，j)为折叠梁的间隙宽度，且 D-2R-B～-节折叠悬臂梁单元分成 5个部分，假定其-端固定，另-端受力 F，力的方 向可以是 z、 z任-方向。

图 2 S型折叠式微悬臂梁组成单元模型Fig.2 Unit model of folded S-type micro-cantilever39O 光学 精密工程 第21卷由卡氏第二定理 可知，悬臂梁在力作用下的线性位移：-0U- - ， (1)oP u 式(1)中，，为悬臂梁的变形能，P 为悬臂梁所受第i个载荷的力， 为结构在 P 作用方向上的位移。

由式(1)可知，对悬臂梁的能量求解力的偏导，即可得到其中-节悬臂梁的位移，将位移逐次叠加，计算出悬臂梁末端的总位移 ，则由线弹性理论，折叠悬臂梁的刚度即可表示为：K-F/3. (2)3.1 计算平面 、Y方向刚度悬臂梁变形能 ，由轴向拉伸变形能和弯曲变形能组成。F为水平方向载荷，E为悬臂梁材料的弹性模量，A 为折叠悬臂梁横截面面积，N(z)为作用于折叠悬臂梁某截面的轴向拉力，M(z)为作用于折叠悬臂梁某截面的弯矩，I为截面的惯性矩。则折叠悬臂梁变形能 ，为：u-. d计If ㈣沿外力 F方向的位移 为：- · dzJ ·OM (x)dz。

第②部分：M2(X) FR(1-COS a) ，所以- R(1-COS )，( ≤j.M 2(X)· dz-面3FR 3n。

第③部分：F (X)--F， ：1，M3(X)2FR， ，所 以- · 21： · 孔-J。百 。- 。百OM (X)， FL .4FR 0L- - - 十百 2 . (9)第④部分：M4(X)2FRFR(1-COS a)-FR(3-COS a)-0M 4(X)- R(3-c。s口) (O≤口≤丌)， d所 以第 4段位移为：- jM面r(X)· -f . d( ) jEI aF ～乱： . (10)第⑤部分：F (x)-F，曼 争 -1，Ms(X)4FR，-oM s(X)：：4R ， (11) aF 所以· dz · s-J。] -。- 十J。百0M (X)dz - FL . (12) a z- 十-可- ·由此，第-节悬臂梁的位移 - a 34 ，同样的方法计算剩余 -1节折叠悬臂梁的变形位移， 节折叠悬臂梁位移叠加即为折叠悬臂梁总位移，故：(8)同理，可推导出S型折叠式悬臂梁Y向刚度：，， F- - 0 [ 6(D十 L3丌(DB (D /8]3.2 垂直方向刚度计算当折叠悬臂梁受到 z向力的作用，在 z向上悬臂梁也有抵抗变形的性能。其 向刚度计算分析过程如前所述。假定其-端固定，-端受到垂直纸面的力 F。当力垂直作用于弹簧的-端时，光学 精密工程 第21卷滑国图6 S型悬臂梁刚度测试系统Fig.6 Stiffness test system of folded S-type micro-cantilever图 7 S型悬臂梁 向刚度实验值Fig.7 Experimental results of stiffness for S-typemicro-cantilever in z direcnon基板 T型凹槽配合的 T型突起。悬臂梁尺寸见表 1。本文设计并制作了-种微悬臂梁弹性性能测试 系统 。图 6是测试 系统 的示意 图，由 CCD、显微 镜、滑轮、砝码及工作台组 成。CCD和显微镜构成检测机构，用来测量S型悬臂梁的变形；滑轮是换向机构，把砝码竖直方向的重力转化为对悬臂梁的水平方向的拉力。悬臂梁-端约束，另