3-RPC型并联精密定位机构设计与分析

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近年来 ，随着微 电子技术、通讯技术 、航空航天技术、精密和超精密加工 、生物工程 、医学工程等技术的迅速发展 ，人们越来越迫切地需要具有微纳米级运动精度 、多 自由度、高度灵活的超精密定位系统 ，用于实现 高精度 的操作 和实验研究 li。

为了实现精 密微动运动 ，研 究人员对 传统机 械结构进行 了大量的研究 ，如通常采用伺 服 电机和精密丝杠传动方案，然而这种定位方式 由于螺纹间隙和传动摩擦的存在，必然存在定位误差使其定位精度降低，其运动精度-般只能达到微米级.为了补偿传动误差，提高分辨率 ，往往采用电磁或压电驱动对工作平台进行精细位置调整 ，但调整过程长 、系统复杂 ，且由于空间耦合作用使得空间定位精 度 调整 难 以实现 .因此 ，必 须 寻求 特殊 的驱动和传动方式以及高精度的控制方法以使平面工作台具有亚微米 ，甚至纳米级的位移分辨率.柔顺并联机构的出现为实现更高精度的微纳米级定位的机构设计 提供 了新 的、更彻底 的方法。

柔顺并联机 构是-种 具有复 杂结构 的柔性机构，它不像传统刚性机构那样靠运动副来实现全部运动和功能而主要靠机构中的柔性构件或机构本身的柔性来实现机构的主要运动和功能 ，以实现运动 、力 、能量和位移的传递和转换l3.-般柔顺机构通过利用柔性铰链来代替对应的相关传统铰链 ，利用柔性铰链受力时的弹性变形传递力和运动 ，达 到整个柔性 支链 的输 出运动 .由于柔顺机 构由弹性元件构成，进行替代后可能导致机构整体刚度降低 ，继而出现了全柔顺并联机构 ，即在整体弹性材料上经线切割加工出全柔顺支链进而集成为全柔顺 并联机 构.具有全 柔顺支 链特 点 的并 联机构和传统机构相 比有以下优点：①全柔顺支链经整体线切割加工 ，免于装配 ；②无间隙和摩擦 ；⑧免于润滑 ； 可设计为整体式提高全柔顺并联机构整体刚度l4 .基于全柔顺机构上述优点 ，使得其在精密微动定位领域有着较好的应用前景。

本文设计 出-种具有全柔顺支链 的空间三 自由度 RPC型并联机构.首先应用螺旋理论对空间 3-RPC型并联机构构型进行了分析，对机构 自由度及空间几何约束条件进行了分析.运用拓扑优化设计出RPC型全柔顺支链 ，进而集成为全柔顺并联机构.在Solidworks软件中建立了空间3-RPC型全柔顺并联机构模型并利用 ANSYS有限元分析软件对机构的微定位情况进行了仿真验证。

1 3-RPC型并联机构构型分析1.1 螺旋理论将机构的转动副表示为螺旋： (S；S。) (1)将机构 的移动 副表示 为螺旋 ： (0；S) (2)其中，Js是运动副轴线的单位矢量 ，S。rxS是直线的线矩 ，等于从原点到该轴线的矢径 r与 S的叉乘积[6-71.机构中所有螺旋构成螺旋系，在三维空间线性无关的螺旋数 目为 6，当所研究的螺旋系线性无关的螺旋数 n等于 6时，不存在反螺旋；当螺旋系的线性无关螺旋数 凡小于 6时，存在 6-n个反螺旋 ，与所有运动螺旋相逆，使反螺旋与运动螺旋互易积为零 。

T。 ， 0 (3)其 中 ，S IS Ss S S S S，]，S，为 反螺 旋 ，。 ， 5 ，1 5 256S 351Sr4S2S，553S，6在坐标 系 中表示出机构 的运动螺旋后可通过式(3)方便求出其反螺旋 ，反螺旋定义的是机构的公共约束.即通过求解反螺旋 ，简明方便地给出了公共约束的判别方法 。

1.2 3-RPC型并联机构几何 约束3-RPC并联 机构 是 由 皆为等边 三角形 的上 、下平台及连接两平台的 3条支链组成 ，如图 1所示.其中下平台为固定平台，上平台为运动平台，3条支链结构相同，均为 RPC支链.每条支链与固定平台相连的运动副为转动副 R，与运动平台相连c：l- 丌 B图 1 3-RPC 并联 机构102 有 色金属科 学与工程 2012年12月的运动副为圆柱副 C，在转动副与圆柱副之间为移动副 P，以 3个移动副 P作为机构的驱动副.每条支链中 R副轴线与 C副轴线平行 ，P副轴线与R副和 C副轴线相交。

以转动副 A 中心为原点，建立直角坐标系 O-xyz，根据螺旋理论可知，支链 A A A，的运动螺旋为：S1l(1 0 0； 0 0 0)12(0 0 0； 0 b 2 C2)Sl3(1 0 0； 0 b 3 C 3)S4(0 0 0； 1 0 0)其中 ，b 、c：、b。、C 的值 由并联机构运动过程 中支链 A A A 中 P副和 C副 的的空 问位置所确定。

根据螺旋理论中运动螺旋和约束螺旋的互易积为零 ，由式(3)可求出支链 A A A 的反螺旋为 ：rS11(0 0 0； 0 1 0).， (0 0 0； 0 0 1)由求得支链 的反螺 旋可知 ，动平 台沿 Y、z轴方 向均受到 两个约束力偶 的作用 ，限制 了动平 台绕 Y、 轴方 向的两个转动 自由度 ，又 由于 3条 支链呈 120。对称分布 ，可知 3条支链对运动平台限制了绕 、Y、z方向的转动，机构约束力偶如图2所示.因此 ，动平 台具有沿 、Y、z方 向的 3个移 动自由度 ，所 以 ，3-RPC并联机构是-种具有三维平动的并联机构。

B1图 2 3-RPC 并联 机构 约束 力偶前面基于并联机构学中的螺旋理论 ，对 3-RPC型并联机构 自由度进行了分析，同时可得出满足机构空间三平移运动各运动副轴线所需满足的空 间几何约束 条件.圆柱 副 A 、B 、C，可分别分解为-个转动副和-个移动副，且分解形成的转动副轴 线与移动 副轴 线方 向-致 ，分解 形成 的各转动副轴线之间的夹角为 60。.每条运动支链 中转动 副 A 、B 、C 轴线 分别 与 同- 支链 中 圆柱 副A 、B 、C 所分解的转动副轴线平行.机构几何约束螺旋表示如图 3所示 。

Z图 3 RPC 支链 运 动螺旋2 基于拓扑优化理论的全柔顺并联机构设计拓扑优化在结构优化中是最高层次的，而且是最综合的网.机械结构的优化可根据许多准则来定义，可以按具有最大刚度 、最小重量 、最大强度 、适 当的柔性、最大的抗冲击力等适当的动力学特性以及其他许多目标函数来对机械结构进行优化[9-1o].柔顺机构利用机构本身弹性元件的弹性变形来传递力和运动 ，因此 ，在设计中要求机构有足够 的柔性 ，同时为了使得机构能够承受较大载荷 ，必须使机构具有 足够的刚度以防止柔顺机构 的失效.当柔顺 机构满足设计要求并且只想用有限的材料来制作机构时，可对柔顺机构进行拓扑优化从而在满足设计要求的同时大大降低材料成本。

2.1 连续材料 密度参数化法连续材料密度参数化方法是在设计域内定义每个实体单元 的相对 密度.定义单 元 (i1，2，3，)的密度变量为P ，此单元的有效杨氏模量可由式 (4)给出 ：E o P。 (4)其中， 是该材料的实际杨氏模量.当P 值较小达到下界时，表示该单元是由很软的材料构成 ，因此可以把该单元从结构中虚拟分离出来.如果-组连续相邻的单元都达到下界 ，材料就会出现孔状结构.如果 P 达到上 界 ，表示该单 元是柔顺 机构最 优第 3卷 第 6期 朱大昌，等：3-RPC型并联精密定位机构设计与分析 103化不可缺少的实体部分.如果 P 在上下界之间，表示为柔顺机构优 化 中的过渡区域。

2.2 参数化模型 的建立设 目标函数f(x ， z，， )，P个等式约束和m个不等式约束 ，n个设计变量 ( ， z，， ).-般约束的优化问题可描述为寻求设计变量的最优值，以使 目标函数在满足等式和不等式条件下为最小值。

Minimize：f(x1， 2，， )Subject to：h ( 1， 2， ， )0， 1，2， ，P(X1，X2， ， )≤0， 1，2， ，m约束优化 问题 的必要条件 即 Karush-Kuhn-Tucher条件 ，可表示为：善 p/xi等 鲁-o，k1，2， ，nh 0， 1，2， ，P≤0， 1，2， ，mA岛O≥ 0解以上方程和不等式可得 个变量 ，承子 (1，2，，P)和 U1，2，，m)的最优值.得到的承子叫做 Lagrange承子.用这些承子作为附加未知量 ，通 过定义 Lagrangian函数 ，继而将 约束 问题转化为无约束问题 ：Minn m zep( ， )∑ ( ， )i12.3 基 于拓扑优化的全柔顺并联机构设计全柔顺并联机构拓扑优化设计中，考虑机构刚度 、柔度作为 目标函数.即在设计机构时使其在柔度满足条件的情况下用有限材料制造机构 ，并能够使机构刚度最大化的材料分配方案l1].考虑柔顺并联机构的空间几何约束条件的优化问题模型可 表示 为 ：Minimize：F(p )：UrKU∑1( 1，2， ，n) (5)Subject to：E Eo P (6)0≤p ≤1，( 1，2， ， )FKU(7)(8)vfr P V (9)1.s11A1 13A2 14 (10)其 中 ，P 为 设计 变 量 ， 为 机构 整 体位 移 ，K为 机构整体刚度矩阵，u 和 分别为单元位移 向量和刚度矩阵，E 为单元的有效杨氏模量，E。为材料的实际杨氏模量 ， 为实际材料用量 ，.厂为设定的材料用量百分 比， 为设计域 内的材料总量 ， 为单元材料体积， 、 分别表示运动螺旋轴线向量.A ，A 为S 、S 系数。

2.4 3-RPC型全 柔顺并联机构建模设 计 出的 RPC型全 柔顺支链 如 图 4所示 ，其中，1为固定支链的螺栓孔 ，2为安装压电陶瓷驱动器的定位槽，安装压电陶瓷驱动器并以移动副P 作为驱动副 ，圆柱副 C由转动副 R 及移动副 P：组成 ，为使得 RPC全柔顺 支链 达到较好 的运动 特性 ，设计- 组关 于移动 副 P 对称 的转动 副 R 和R 共同完成支链转动副的功能。

图 4 RPC 型全 柔顺 支链3-RPC型全柔顺并联机构如图 5所示，机构由 3个 RPC型全柔顺支链集合而成 ，各支链问通过夹角 120。分别固定在支撑板上进而固定在固定平 台上 ，各全柔顺支链终端 与机构动平台相连。

3 基于有 限元的全柔顺并联精密定位机构仿真验证在 Solidworks软件中建立 RPC型全柔顺并联机构三维实体模型并将其转换为 Ansys有限元软件可识别的 Parasolid型文件 ，进而导人 Ansys软廊A ∑第 3卷 第 6期 朱大昌，等：3-RPC型并联精密定位机构设计与分析 105图 1O RPC全 柔顺 并联 机构 应力 云 图4 结束语基于并联 机构学及 柔顺 机构学 理论 ，运用拓扑 优 化 原 理 设 计 出- 种 新 型 空 间 三 自由 度 型3-RPC全柔顺并联机构应用于精密定位.对3-RPC型并联机构构型及其 自由度进行了分析 ，并求解出其反螺旋 ，分析了该机构空间几何约束条件.基于拓扑优化理论建立了该全柔顺并联机构参数化模型 ，设计 出-种新 型柔顺机 构并建立 了该机构三维实体模型.在 ANSYS有限元分析软件中对所设计的全柔顺机构进行了静力学分析，分别得出全柔顺支链及整体结构的位移云图、应力云图和关键节表 2 RPC型全柔顺 机构输 出端关键节点位移数据 /ram点位移数据.通过仿真结果可知，驱动机构运行时其位移及应力分布合理，终端动平台能够达到微纳米级定位精度要求 ，验证了该设计的可行性和有效性。