基于导重法的结构拓扑优化

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Structural topological optimization based on the guide-weight methodZHANG Bo ，RONG Jian-hua ，SUN Peng-cheng ，LIAO Ying '。

(1.School of Automobile and Mechanic Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410004，China；2.Key Laboratory of Lightweight and Reliability Technology for EngineeringVehicle.Colege of Hunan Province，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410004，China)Abstract：For the structure topological optimization problem with the objective function be-ing the compliance and volume constraints，combined with a new interpolation filter andguide-weight method，a new structural topology optimization method based on design spaceadjustments and compliance is proposed.The results show that the proposed method is ofthe advantage 0f less number of iterations，fast convergence speed and high efficiency，which also verify its feasibility and efficiency。

Key words：topology optimization；compliance；design space adj ustment；guide-weightmethod目前，连续体结构拓扑优化的方法主要有均匀化方法 ，渐进结构优化法[引(ESO)，实体各向同性材料惩罚法嘲(SIMP)，独立、连续、映射 ](ICM)方法，泡泡法嘲及水平集方法[。 等，其中，变密度法由于设计变量少，程序设计简单，迭代效率高等优点，得到了广泛的关注.另外，寻找快速高效的求解方法-直是拓扑优化研究的重点.对于-般的求解方法，优化准则法需要构建不同的准则，通用性不高.而数学规划法的通用性较强，但是迭代次数多，求解效率不高.作者引入导重法[10-13 来求解拓扑优化问题.导重法是-种准则法与数学规划法相结合的方法，具有迭代次数少而求解效率高的优点，同时也具有通用性强的特点。

收稿 日期：2012-11-20基金项目：国家自然科学基金资助项 目(10872036)。

作者简介：张 波(1986-)，女，浙江衙州人，长沙理工大学硕士研究生，主要从事汽车安全技术方面的研究第 9卷第4期 张 波，等：基于导重法的结构拓扑优化 59针对体积约束和柔顺度最小的结构拓扑优化问题 ，作者结合-种新的插值过滤技术，引入导重法来求解优化问题，形成了-种考虑柔顺度要求和基于空间调整的结构拓扑优化方法。

1 单元拓扑变量和过滤函数设第 i号单元的拓扑变量为 z .当拓扑变量-0时，表示该单元不存在；当拓扑变量 zi-l时，表示该单元存在；当拓扑变量在(0，1)之间时，表示该单元从有到无的过渡状态。

单元体积 和单元 刚度用如下过滤 函数来识别：V -f ( f) ，EK；]-厂 (zi)EK]. (1)式中： 和EK ]分别表示拓扑变量为 X 时对应的单元体积和单元刚度矩阵； 和EK]则分别表示单元的固有体积和单元的固有刚度矩阵。

， 工程 中应用 最多 的插 值模 型为 SIMP和RAMP插值函数，前者构造的为指数函数 f(x )-(z ) ，后者构造的函数为有理式 函数 f(z )-. 其优化结果都过于依赖初始选择参数 s，且实际结构的大部分单元的拓扑变量都介于(O，1)之间，要经过多次迭代逐步弱化拓扑变量小的单元.但是，要避免拓扑变量大的单元的减弱，才不会导致删除单元过多而影响其后面的最优拓扑的搜索.为了使小于-定值的拓扑变量趋向于0，而大于-定值的拓扑变量保持较大值，引进如下-种新的插值模型[1 ：瓮 。

式中：5为惩罚因子，其作用是让拓扑变量快速向0，1靠拢.r为插值点，小于该值的点迅速减小，起到弱化作用；大于该值的点保持较大值，起到强化作用.这里，选取单元体积过滤函数 ， (z )-z 。

2 优化问题模型考虑基于体积约束、柔顺度最小的有限元结构优化问题可以表示为：fmin C- EK])I P Qs.t.V-∑zipyo -4∑yo ≤ V。.(3) lp z 。≤ f。≤1式中：C为优化结构的柔顺度；P为可设计单元数，其单元编号为i，(p1，2，，P)，可设计单元的拓扑变量 X .在迭代计算中在(O，1)之间变化；Q为不可设计的单元数，其单元编号为 (q-1，2，，Q)，不可设计单元的拓扑变量- -1在迭代计算中不变.V。为整个设计区域的初始体积；(O< <1)为 目标体积比；V为优化后的固有体积；z 为第 个单元的拓扑变量值；z 为拓扑变量下限值，这里取非零值以避免优化设计过程中优化结构奇异。

3 敏度分析在有限元分析中，结构静态特性平衡方程表示为 ：[K] -P. (4)结构柔顺度写为：C-P) . (5)方程(5)对设计变量 z 求导，得到：3C- ) 1. ㈤而单元刚度矩阵对设计变量 x 的导数可表示为 ：aEK][K ] 等等 . dzi l十e i，。

将式(7)代式(6)，可得敏度的表达式为：- - 旦± 等 ) EK O-]1 Cs( . - 7，.，。 ， az ( r f) 、～体积对设计变量 的导数为：(7)(8)60 苎 兰三 兰 报(自然科学版) 2012年12月-aVO - ： . (9) xf a 。

4 优化模型的求解方法带有变体积约束限的近似连续优化模型表示如下：fmin C-z [K])J Ps.t. ：∑z ≤Vfp，z-1，2，L。

f 户 J z ≤ Xi ≤ 1(10)： min ，J ～V ，V ≤o -min(flV ，fo- I)，Vk>-Vo。

(11)式中：V。OV-∑vo。； 为体积约束限变化因子； 为第走迭代步的结构拓扑体积；VfP(z1，2，，L)在下-轮迭代时按式(11)变化，在其他迭代步中不变。

- - 户为了求解该优化问题，首先构造拉格朗日方程 ：L C ( -V ). (12)式中： 为拉格朗日乘子。

基于Kuhn-Tucker条件，在最优解 处必须满足：f≤0； -l- ； < Xip< 1 . 、≥o； zfP-.72fz ≤ z ≤ 1. (13)由式(13)第二式可得：- A - XxipC -- C - 1. (14) a a -则根据导重法的定义 引，可以得到：H 3x ；. (15) 户 、 u/V - X H X V 0. (16)三 ± ”][1e r z- ].TC .，z Ss(r-xip)[1e c-t ](17)G ：舡 奎坐 ，-式中：Ht 称为容重； 称为等效体积；G 称为导 为：重 ；G称为总导重。

将式(15)和式(17)代入式(14)，可得：Gz - ；p1，2， ，P. (19) ·-式(19)即为导重法的迭代准则.在迭代时将其写 ；式(21)中拉格朗日乘子 求解如下：(18)-k1 ) - ， ㈣为了保证迭代收敛，引入-个步长因子 ，并考虑设计变量的上下限，得：f ≥ 1< < 1，夕 - 1，2， ，P. (21)≤ Xl，第 9卷第 4期 张 波，等：基于导重法的结构拓扑优化 61： - Gip ；户- l，2， ，P. (22) - p- 即- EGip- . (23) 、 p 1 u ，0 - -- - --· )∑ ∑因为 为等效体积，∑ 可看作结构的等效总体积，故每次迭代时，可令- 乒. (24)式中：V 为结构材料体积的约束限。

5 设计空间的调整为了使优化拓扑有较好的 0/1分布特征，加速收敛及易于求解较大规模有限元模型的结构优化问题，作者采用-些优化迭代步将拓扑变量很小的单元从结构上删除，而其他单元不变的策略[1 引.即将单元集 N ：：(h z )作为最具潜力增添的候选单元集，z 为最小增添单元阀值。

设计空间的减缩和扩展的准则为：jvd U N ≠ 0和 刁 州 ≤ r/ . (25)式中：刁 为小的经验参数值；P∑ xf，)。

p- 1z - 三 kl 茎 .c28当优化迭代求解接近最优结构时，满足条件 N -( Iz 州

- ；. cso6 算例6.1 三维短悬臂梁结构优化设计图 l显示 了-个长为 0.2 m、高为 0.1 m、厚为 0.02 m 的三维短悬臂梁结构的最大设计域.结构左端固支，右端垂直方向中心对称的地方施加F-1 000 N的均布静载荷.结构的弹性模量 E-210 GPa，泊松比v0.3，材料密度p7 800 kg/m3。

结构划分为 100×50×2，即 10 000个八节点六面体单元网格。

图 1 悬臂 梁结构的初始设计域 (单位 ：m)Fig.1 Initial design domain for a cantilever structure参数设置如下：目标体积比0-0.3；体积约束限系数 -0.1；步长因子 a0.5；过滤函数惩罚因子”s可在 3～ 2O间取值，插值点”系数 r在0.50～ 0.85之间取值，这里，取 s10，r0.70；拓扑变量下限值为 -0.001( 1，2，，P)；拓扑变量变化阀值 刁 -0.1。

图2所示为悬臂梁结构的结构优化历程.图 3和图 4为采用本研究方法得到的悬臂梁结构的柔度和体积拓扑优化历程，-共用了 4O轮迭代，在1 式和。厶， d 式 衔 ≥ <抖 蚪则 z z足 ；被) -n。 式 z果 ： 如 作操的62 长 沙 理 工 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 ) 2012年 12月3O步左右就开始优化收敛.图2(d)为最优拓扑结构，结构的体积为 6.95×10 rl。，结构柔度为0.396 627.相比文献[17]，本研究方法求解效率更高。

(a)第4轮迭代步 (b)第25轮迭代步(C)第 35轮迭代步 (d)第 4O轮迭代步图 2 悬臂粱结构 的结构优化历程Fig.2 The evolutionary history of a cantilever4.5OE-0l4.O0E-013.50E-O13.o0E-Ol2.50E-012.ooEol50E-Ol1.O0E-Ol5.OOE-o2O.ooEoO迭代步图 3 用本研 究方法得到 的悬臂 粱结构 的柔度优化历程Fig.3 The evolutionary history of the compliance ofa cantilever structure obtained by the proposed methodO.Ooo4 O0.O003 5O.O003 00.0002 5蠢0.002 0蛙 0.0001 5O.Oo0l OO.oo00 5O.OOo0 O迭代步图4 用本研究方法得到的悬臂粱结构的体积优化历程Fig.4 The evolutionary history of the volume of acantilever structure obtained by the proposed method6.2 简支梁结构优化设计图 5显示了-个长为 0.2 m、高为 0.1 rn、厚为0.02 m的简支梁结构的最大设计域.设计域上部左右两端点被约束，下端中点受垂直向下的拉力 F-1 000 N.结构的弹性模量E210 GPa，泊松比 -O.3，材料密度P-7 800 kg/m。.结构划分为 100×50×2，即 10 000个 八节点六 面体单元网格。

图5 简支梁结构的初始设计域(单位：m)Fig.5 Initial design domain for a simplysupported structure这里 的参数设 置与上例 相同.图 6所示为简支梁的结构优化历程.图 7和图 8为用本研究方法得到的简支梁结构的柔度和体积拓扑优化历程，共用了35轮迭代，用时较短.图 6(d)为最优拓扑结构，结构的体积为 5.48×10 m。，结构柔度为 0.038 40。

V V (，E1)第4轮迭代步 (b)第 lO轮迭代步V V (c)第20轮迭代步 (d)第35轮迭代步图 6 简支梁的 结构优化 历程Fig.6 The evolutionary history ofthe simply supported structure4.50E-OI4.O0E-OI3.5OE-013.0oE-0l嚣2.50E-OI2.00E-O11.50E-Ol1.o0E-Ol5.o0E-I)2nooE0o迭代步图 7 用本研究方法得 到的简 支梁结构的 柔度优化历程Fig.7 The evolutionary history of the complianceof the simply supported structure obtainedby the proposed method 第 9卷第4期 张 波，等：基于导重法的结构拓扑优化 636.3 Michell梁结构优化设计图 9显示了-个-端固支-端滚支的Mich-el梁结构的最大设计域.下边缘中部受垂直向下r的均布载荷 F-1 000 .结构的弹性模量 E-m 2lO GPa，泊 松 比 v- 0.3，材 料 密 度 P-7 800 kg/m。.结构划分 10 000个八节点六面体单元网格。

图 8 用本研 究方法得 到的简支粱结构的体积优化历程Fig.8 The evolutionary history of the volumeof the simply supported structure obtainedby the proposed method图 9 Miehel梁结构的初 始设 计域(单位 ：m)Fig.9 Initial design domain for a Michell structure这里的参数设置与上例相 同.图 1O所示为Michel梁的结构优化历程.图 l1和图 12为采用本研究方法得到的简支梁结构的柔度和体积拓扑优化历程，-共用了 6O轮迭代.图 10(d)为最优拓扑结构，结构的体积为 7.89×10 In。，结构柔度为 0.042 50。

(a)第 2轮迭代步 (b)第 1O轮迭代步(C)第20轮迭代步 (d)第60轮迭代步图 10 Miehel梁的结构优 化历程Fig.10 The evolutionary history of the Michel structure4.50E-024.ooE-023.50E-023.ooE-02嚣2.50E-02.00E-02l50E-02lo0E-025.o0E-030.o0EoO1 4 7 1O13l6l92225 28 31 34374O4346495255 58迭代步图 l1 用本研 究方法得 到的 Michel1梁结构的柔度优 化历程Fig.11 The evolutionary history of the compliance ofthe Michell structure obtained by the proposed methodl 4 7 10l3l6l92225283l 343 740434649525558迭代步图 12 用本研究方法得 到的 Michel梁结构的体积优化历程Fig.12 The evolutionary history of the volume of theMichell structure obtained by the proposed method7 结论1)作者提出了-种新 的插值模型 ，针对体积为约束柔度最小的结构拓扑优化 问题 ，将导重法引入到优化中，形成了拓扑变量迭代公式。

2)为了使优化拓扑有较好的0-1分布特征，加速收敛及易于求解较大规模有限元模型的结构优化问题，作者采用-些优化迭代步将拓扑变量很小的单元从结构上删除，而其他单元不变的策略。

3)采用本研究方法完成了 3个算例考核.算例结果表明，拓扑优化效率大大提高，且易得到清晰的o/1分布拓扑，表明本方法是可行有效的。