螺杆转子刀具设计方法

螺杆压缩机是 目前市场上主要的压缩机种类之-，其转子的型线设计-直是国内外研究的热点和重点。转子型线的更新，结合转子加工能力的提高 ，是螺杆压缩机提高性能 、扩大市场的根本原因，而转子加工刀具的设计是实现优秀齿形高效加工的基矗经过长期的产业实践 ，目前螺杆转子基本由盘状成形刀具加工而成 ，主要包括成形铣刀和成形砂轮。如图 1所示 ，通过事先确定的转子形状(包括端面型线和螺旋导程)，选择-定的加工参数 ，包括刀具-转子轴线 中心距 A及刀具安装角(即刀具-转子轴线夹角)，就可以求解出刀具刃收稿 日期：2012-05-15- 2012年O6期(总第 236期)形。实际加工中，刀具沿转子轴向匀速进给，转子坯料配合以相应的匀速转动，实现转子螺旋槽的加工。因此，快速准确地计算刀具型线是精确加工螺杆转子的前提，也是分析加工误差，考量转子型线加工性能的基矗图 1 成形刀具加工螺杆转子设计研究Dm &Research在包络理论中，转子刀具与螺杆转子的公共点处 ，即切削点或接触点上，两者曲面的切线(切面)须重合，即龚线。刀具的求解通常采用解析包络法以确定啮合条件的方程 ，求解出接触线方程 ，进而转化为刀具刃形 [151。这个过程与阴、阳转子齿形的相互求取过程类似 [61，只不过需在三维坐标系中进行。传统的解析法虽然物理意义明晰，但数学求解过程较为繁复，不利于采用现代计算软件中的拈进行运算。本文采用三维坐标系下的齿廓法线法，结合坐标变换的矩阵表示，详细介绍螺杆转子刀具型线的推导过程和方法；并以不对称型线和复盛型线为例 ，演示刀具刃形新的设计方法。

2 转子螺旋面的确定由于螺杆压缩机的转子是 由端面齿形沿-确定的螺旋线扫描而成 ，故转子的三维形状实际上只是 二维半”，通常用二维的端面齿形表示转子型线。在研究转子型线对应展成原理、齿槽容积变换规律等内容时，-般在二维坐标系中进行。

转子加工刀具是根据确定的转子形状求得的，由于相同的转子齿形也可配以不同的螺距 (导程)，故加工刀具必须通过转子三维齿形来求解。为表示三维空间中的位置，本文采用四阶齐次坐标系及四阶矩阵来进行计算。

转子端面齿形的矢量方程可表示为ro [x(t)y(t) 0 1] (1)式中 矩阵转置本文为紧凑篇幅，采用列矩阵转置来表示行矩阵，下同。转子的三维齿面方程可表示为rM ro. COST -sinz 0 0sinT COST 0 00 0 1 PIT0 0 0 1式中，p为螺旋特征数，是转子导程与周角 2竹的比值，表示螺旋面的陡峭程度，阴阳转子分别取不同的p值。

如图2所示，本文取阴转子左旋，阳转子右旋。在方程 (2)中，将 代入7-、P 代入p，可得阳转子螺旋齿面方程 ；同理，丁取- ：、p取P ，则求O2 l 瓣得阴转子的齿面方程。转子的齿面方程是以参数t和 为变量的双参数函数。图2(a)展示了从转子端面二维齿形生成三维齿面的坐标系位置 ，图 2(b)则是由此生成的三维螺旋齿面。

(b)(a)齿面坐标系 (b)转子三维齿形图2 转子螺旋齿面的确定转子齿形设计过程中，通倡阳转子齿啮人阴转子齿槽的最深位置定义为基准位，如图 2(a)中虚线表示的齿形位置所示。此时，阴、阳转子构成曲线的型线方程最为简洁，包络条件的求解也最为方便 [61。因此 ，转子的齿形方程均表示于此基准位置中。相应的，阴、阳转子的齿形分别由此位置下齿槽和齿的构成曲线的方程来确定。

转子是通过在圆柱体上加工若干圆周镜像分布的齿槽而得的，刀具-转子也是相互共轭的啮合副，刀具设计过程是对转子齿槽的反包络过程。为了简化计算过程 ，类似于转子齿形的相互求解过程，须将刀具啮人转子齿槽最深的位置定义为刀具刃形求解的基本位置，即将转子齿槽的最深点布置在转子坐标轴上。阴转子的转子齿形设计和刀具刃形设计中的基准位置是统-的，而阳转子则不统-。须将转子齿形设计基准位置中齿的型线转化为齿槽的型线 ，并通过旋转将齿槽的最深点固定在坐标轴上。

2012年06期(总第236期)-设计研究Design&Research3 转子-刀具坐标系如同转子端面齿形的相互包络关系，转子和对应的加工刀具也是共轭关系。选用合适的坐标系 ，可以方便地在彼此的坐标系中相互转化 ，从而简化计算过程。

(a)阴转子 (b)阳转子图 3 各转子 -刀具坐标系图 3(a)表示阴转子齿面坐标系0 ：Y2Z2与刀具坐标系OJ Y 的关系，阴转子刀具绕 轴作回转运动切削转子获得阴转子齿槽 。设计刀具刃形时，首先确定阴转子-刀具的中心距，即两者轴线距离c 和刀具安装角，即两者轴线的夹角 。

图 3 (a)中从O ：y 到0 Y 的坐标变换基于矩阵方程raM ，2r2，l 0 0l 0zl0 cosi0 O 0- -Ca001同样，在确定阳转子-刀具的中心距Cl 和刀具安装角 后，可推导出阳转子坐标系0IX Y z1与阳转子刀具坐标系0 Y 。的转换方程rt1M tlr1，I ll 0· l0J 00cos：1- -sinl00 -Ct1sinl 0COS1 00 l(4)4 齿廓法线法求解转子-刀具接触条件转子齿形设计中，阴、阳转子齿曲线的求解蠢 2012年06期(总第236期)是通过在二维坐标系下 ，确定包络条件即建立曲线参数与位置参数之间的关系 ，把已知转子的齿曲线方程转换成待求转子的齿曲线方程 f6]。同样 ，从已知转子齿形反求加工转子的刀具刃形，则须在三维坐标下，确定转子-刀具的接触条件方程 ，再通过相应的坐标变化来求解 出刀具刃形方程 。

转子齿槽型面为双参数曲面族 ，其包络问题已经在微分几何中研究过 [1-51，过程较为繁复 ；下文将用齿廓法线法进行接触条件的求解。

图4 齿廓法线法表示刀具接触点的包络条件齿廓法线法的基本原理为：共轭齿廓在传动的任意瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点 [71。由于成型刀具 (铣刀或者砂轮)是盘状刀具，绕其轴线作回转运动。因此，转子-刀具的接触点的法线必定通过刀具轴线 [81。以阴转子为例，如图 4所示 ，在刀具坐标D Y 下，接触点P (X ，Y ， 的法向量 必然通过刀具的回转轴，记交点为Q (0，0， )。也就是说，向量葡 ( ，y ， - )与法向量 ( ， ，)重合，可表示为X 2Ⅳi2Y-yt27、 0 (5)转子-刀具的接触点为两者的公共点，且在该点处，转子-刀具龚向量。由于已知的转子齿面方程表示在转子坐标系D ：l， 中，所以可以通过式 (3 中的转移矩阵 将齿面向量 r2和法向量Ⅳ2转化到刀具坐标O Y 中，求解式 (5)。法向量Ⅳ2必垂直于图 4中的两个切向量 和-oqr2，d 亡I丁可表示为设计研究De &Research： ，Ⅳ2： × (6)d d通过式 (5)求解出刀具接触条件后，可将齿面方程向量 Y2(t，r)中的双参数t和 定立--映射关系。通倡齿面方程表示为曲线参数 的单值函数，即得到了接触线方程～此接触线方程代入下式可得到刀具的二维刃形方程j如图3(a)所示，将式 (8)代入式 (2)，可得阴转子螺旋齿面中AB段的方程， rj2cos"2-rcos(r2-t)- rj2sinr2rsin(r2-t)P2'1"21由式 (6)可求 段螺旋槽面的法向量为将方程 (7)中的二维刃形绕 轴回转 ，即可 ：得到盘状成型刀具的三维形状 。阳转子刀具刃形的求解过程与阴转子类似，不作赘述。

5 刀具求解早 在 20世纪 三 四十年代 ，瑞 典人 AlfLysholm就提出了不对称齿形，从 3-3齿 l 9发展到后来的4-6齿 ，是螺杆压缩机型线发展初期的经典型线。齿形对称，则对应的加工刀具的刃形也对称；本文选择不对称齿形作为算例，演示基于法线法的转子刀具设计方法。

图 5 (a)表示了不对称齿形的 4-6齿转子副，图中的位置为转子齿形的基准位 ，即阴转子齿槽最深点B在阴阳转子轴心连线0 0 上，此位置可直接作为阴转子刀具刃形的求解位置 ，如图 5(b)所示 。

(a)转子副齿形 (b)阴转子齿槽≤ FD/图5 不对称齿形AB段为销齿圆弧，圆心落在阴转子节圆上，端面型线在阴转子坐标系D y 中可表示为(AB)， 0 式中 ：、- 阴转子节圆半径和圆 B半径04 l 瓣p2cos(72-)- p2sin(r2-t)rj2sint0(10)通过式 (3) 的坐标转化 ，可在刀具坐标系oj； Y 下将式 (9)、式 (10)表示为，. rj2COST2-rcos(r2-t)-Ca(-rj2sinrzrsin('r2-t))co 2-p2T2sin2(-rj2sinr2rsin("r2-t))si 2pEr2COSX21： p2cos(r2-t)- p2sin(r2-t)co22-r)2sintsin2- p2sin(r2-t)sin2q2sintcos20(12)将式 (11)、式 (12)代入式 (5)，可得p2sintcos2p2Cl2sin (T2-t)c0s 2p2 2cos(T2-t)sin 2-rj2sintsin2[rj2cos"2-raos('7"2-t)-Ct2]0 (13)式 (13)是个超越方程 ，它以隐函数的形式将阴转子AB段三维螺槽面中的两个参数t和r建立了--映射关系，可将 表示为r(t)。这样，式(10)成为关于t的单参数方程，而t的取值范围由二维平面上的型线作为已知条件确定。从物理意义上看，即确定了附着于螺槽曲面上的-条三维曲线，即刀具与转子的接触线～式(11)、式(13)代入式(7)，则求得加工刀具的刃形。

同样，BC段螺槽面方程为，( ：A cos(tr2)-rt1cos(A tlq1 2)- A sin(丁 )rI1sin(At/rj1 2)P矿21(14)2012年O6期(总第 236期)c AB鹏 m . 0 1 叶设计研究Design&Research式中 rt 、 --表示阳转子的齿顶圆半径和节圆半径在刀具坐标系0 l， 下，可求得(BC)， 2 A cos(tz)-rtlcos(A t/q1 )-Ca(-A sin(tr2)-rt1sin(A tlql 2))c0 叩 in(-A sin(tr2)-rtlsin(At/rj1 ))si P- o&1f pz(-cos( ) cos( -)(Bc) lp2(sin( 2 ) sin( 2 1)lq1)c0 r1 in(碱1)sinrilp2(sin( )- i(rEA t/q1)/rj1)sin-r，1 in(rtlr，1)c0 ll 0(16)将式 (15)、式 (16)代人式 (5)，可建立阴转子BC段三维螺旋槽面参数t和 丁的--映射关系((sin(r2 )-rt1sin(r2At/q)/q1)cos2：2rt1rizsin(rj2tlrj1)sin drj1)·(Acos(tr2)-rtlcos(At/q1Jr2)-C )-((·A sin(tT2)-rI1sin(At/q17-2))cos：2-p2r2sin2)·P2(-COS(T2)rt1COS(T2At/rj1)/q1)：O (17)将式 (15)、式 (17)代入式 (7)，则求得加工 BC螺槽段的刀具刃形。

6 加工参数的影响6.1 转子-刀具中心距根据上述流程，可以求解出加工转子的盘状成形刀具的刃形～ 4～6齿不对称型线的阴阳转子的尺寸参数确定为表 1所示的数据 ，同时将刀具安装在阴转子节圆螺旋切线位置，即炔装角易为 43.17429 (实际加工中-般取 43.17o)，并取阴转子转子-刀具轴线距离 为 196.5 mm，则可分别计算得AB、BC段刀具接触线。如图6 (a)所示 ，布置于阴转子螺旋齿槽面上的曲线②为AB段的接触线，曲线⑤为BC段的接触线。对照图6(C)，布置于盘状刀具回转曲面上的曲线⑦与曲线②对应，为AB段的接触线；曲线⑧与曲线⑤对应，为BC段的接触线。由式 (7)可求得AB、BC段对应的刀具刃形，分别记为曲线⑨和⑩。

保持安装角 43.17429。不变，改变阴转子转子-刀具轴线距离 ，则求解出不同的转子-刀具接触线，也相应得到不同的刀具刃形。表 2解释了图6中不同曲线的特征，随着阴转子转子-刀具轴线距离 的增加，刀具刃形相应稍微变保当变为无穷大时，盘状成形刀具就演变为齿条 [3，11，可求解出相应的齿条刃形。另-方面，当 变小时，如取Ca65 mm时，虽然 AB段刀具刃形可正常求解 ，但 BC段的刀具刃形会出现干涉而无法求解。当转子三维槽面和刀具安装角确定后，转子-刀具轴线距离c 存在着某个临界值，当取小于此值的 时，将无法求解刀具刃形。在表 1的参数和安装角X，243.1743o的算例中，这个最小轴线距表1 4-6齿不对称齿形阴转子加工螺旋槽面的主要设计参数阴阳转子中心距 阳转子节圆半径 rjt 阴转子节圆半径 n 阳转子齿顶圆半径 AB段半径 长径比 阳转子扭角(mm) (mm) (mm) rtl mm) r(mm) (。)l00 40 60 65.5 25.5 1.5 3o0◇(a) (b) (c) (d)(a)转子刀具接触线在阴转子齿槽面上的分布 (b)转子刀具接触线在阴转子端面的投影(c)盘状刀具上转子刀具接触线及刃形的分布 (d)盘状刀具的刃形图6 阴转子的转子刀具接触线及刀具刃形-2012年O6期(总第236期) 塑 表2 图6中各曲线的定义序号 说明 序号 说明① Ca100 mm时，AB段的刀具接触线 ⑧ Ca196.5 lnn'l时，BC段的刀具接触线② Ca196.5 mm时，AB段的刀具接触线 ⑨ C 196.5 mm时，AB段的刀具刃形③ C F400 mm时，AB段的刀具接触线 ⑩ Ca196.5 mm时，BC段的刀具刃形④ CalO0 nM，n时，BC段的刀具接触线 ⑩ Ca400 mm时，AB段的刀具刃形⑤ Ca196.5 mm时，BC段的刀具接触线 ⑥ Ca100 mm时，AB段的刀具刃形⑥ C，2400 mm时，BC段的刀具接触线 ⑩ C 400 mm时，BC段的刀具刃形⑦ Ca196.5 mm时，AB段的刀具接触线 ⑩ CalO0 mm时，BC段的刀具刃形离为 98.23 mm。

6.2 刀具安装角转子刀具求解中，不但存在着最小刀具半径，即上述的转子-刀具最小轴线距离，也存在着刀具安装角的变化范围。如图 7所示，当转子-刀具轴线距离 取定值时，不同的刀具安装角将对应求解出不同的刀具刃形。表 3解释了图 7中各条曲线的含义。在表 l的参数和转子-刀具轴线距离C 196.5 mm的算例中，求解出刀具安装角 ∑ 的取值范围为 42.0630。43.8296。之间。超过了该安装角范围，AB段的刀具刃形会出现干涉而无法求解。

6.3 奇异点如图 5所示 ，不对称齿形的阴转子型线在齿顶处有锐利的尖点 (点A和点c)。这些尖点对应形成的摆线是阳转子型线中主要组成部分。由于尖点易于磨损 ，所以随后的型线将其钝化 ，并从齿顶向内迁移。如图 8 (a)所示 ，用径向直线0：Ⅳ截摆线AB于点 ，将摆线形成点--点 内移，并钝化 ；并使外圆周上的点Ⅳ的尖锐程度较修棱前的点日明显降低。由于刀具求解中，型线的加工限制经常归结于摆线AB段的齿顶端曲线，这样的型线处理，也使得型线的加工性能得到改善。

◇(a) 转子刀具接触线在阴转子齿槽面上的分布 (b)转子刀具接触线在阴转子端面的投影 (c)盘状刀具的刃形图 7 不同安装角下阴转子的刀具刃形表3 图7中各 曲线的定义序号 说明 序号 说明① X243.8296。时，AB段的刀具接触线 ⑦ .Y.a43.8296。时，AB段的刀具刃形② 43.1743。时，AB段的刀具接触线 ⑧ -Y.a43.1743。时，AB段的刀具刃形③ 42.0630。时，AB段的刀具接触线 ⑨ Xa42.0630。时，AB段的刀具刃形④ 43.8296。时，BC段的刀具接触线 ⑩ 43.8296。时，BC段的刀具刃形⑤ 243.1743。时，BC段的刀具接触线 ⑩ 43.1743。时，BC段的刀具刃形⑥ 42.0630。时，BC段的刀具接触线 ⑩ 42.0630。时，BC段的刀具刃形O6 l 瓣 2012年O6期(总第236期)墨设计研究Design&Research原始不对称型线简单，且其槽面型线光滑；而径线修棱后，取02MO.9q ，使得阴转子槽面型线新增 了-个尖点 。图 8中，取 ：43.1743。，Ca196.5 mm，嚣 、 分别是A 、 寸应成形的螺旋曲面，在螺旋曲面上分别生成了转子-刀具接触线：曲线①、②，并由此得到刀具刃形 、尬 。尖点 在微分几何 中称为奇异点 ，二维平面上的-个点 ，对应形成了刀具刃形上的两个点。和 ，使得齿形出现中断，必须将刃形缺失段连接上以形成完整的刃形曲线。

图8(c)中， 。、 是奇异点 形成的，故可知其在-条螺旋线上～螺旋线 J7l 补足，并使之成为刀具接触线的-部分 (如图9 (a)中曲线⑤)。则可通过这条确定的螺旋线，代入方程(3)，直接得到该段对应的刀具接触线，再通过方程 (7)，可求得刀具刃形 (如图 9 (a) 中曲线②)。图9表示了图8中奇异点 带来刃形缺失段的补足方法，采用该法使得刀具刃形各段光滑衔O，MlNB(b) (c)(a) 阴转子径线修棱 (b)端面型线对应的刀具刃形(c)端面型线对应的刀具接触线图 8 径线修棱对刀具刃形的影响(a) Co)(a)刀具三维形状及刀具接触线 (b)刀具刃形图 9 奇异点刃形- 2012年O6期(总第236期)接 ，并使得刀具在不发生干涉的前提下 ，刃形最饱满 ，刚度最好 。表 4解释了图 8中各条曲线的含义。

在-定的转子中心距cI2下 ，改变刀具安装角， 会改变刀具刃形中各段的位置。随着 ：的减小 ，如 图 9 (b)所示 ，点 和 会相互靠近，直至互相重合。理论上，每个奇异点都存在着-个确定的刀具安装角，在这个刀具安装角下，奇异点前后的齿曲线对应的刀具刃形光滑相接，即不需要通过奇异点产生的螺旋线进行刃形补足。

但是，由于型线组成的各段齿曲线，在刀具求解过程中对刀具安装角的范围都有限制，所以-般型线的可用刀具安装角范围下，奇异点处仍需进行刃形补足。特别是 ，当转子型线存在多个奇异点时，不可能同时满足各奇异点的要求 ，需要依次对各奇异点补足刃形曲线。

表 4 图9中各曲线的定义( 43.1743。，c 196.5ram)序号 说明 序号 说明① AM段的刀具刃形 ④ AM段的刀具接触线② 奇异点 M的刀具刃形 ⑤ 奇异点 M的刀具接触线③ MN段的刀具刃形 ⑥ MN段的刀具接触线图 10 复盛型线的构成曲线段7 现代型线加工举例如图 10所示 ，复盛型线是 20世纪 80年代末由复盛公司构造出来的-种优良型线 [12]，在对其型线进行构造分析的基础上 ，本文以复盛型线为例，对其刀具刃形进行求解，以验证上述转子刀具型线求解方法。

A设计研究p髑 &Rcsc玳h表5 5-6齿复盛齿形转子加工螺旋槽面的主要设计参数转子中心距 阴转子齿顶圆半径 阳转子齿顶圆半径 AB段半径 cl-(mm) ra(mm) rt1(mm) r2(mm) 口-(。) 长径比 阳转子扭角 o) (。) (mm) (。) (mm)11O 61 77 1.6 20 1.5 3o0 41.424 231 41.424 200.2(a) (b) (c) (d) (e)(gJ h)(a)阴转子及刀具接触线 (b)阳转子及刀具接触线 (c)阴转子及刀具 (d)阳转子及刀具，(e)阴转子刀具及刀具接触线 (f)阳转子刀具及刀具接触线 (g)阴转子刀具刃形 (h)阳转子刀具刃形图 11 复盛型线刀具求解对复盛型线取如表5所示的设计参数，则可 hematical Modeling and Performance Calculation[M].Sprin-以求得阴、阳转子的加工刀具刃形，如图 11所 gerVerlag，Berlin，Heidelberg，2005-示。复盛型线光滑连续，其加工性能大为改善。 4彭学院，吴华根，邢子文·加工螺杆转子的滚刀刃形设计[J.西安交通大学学报，2003，37(1)：103-104。

8 结论 。O n GeMar。i。nhg ： wf齿廓法线法，物理意义明晰，结合矩阵法进 neering Science，1998，(212)：587-594。

行坐标变换，推导及计算过程比解析包络法大为 6徐健，余小玲，冯全科l螺杆压缩机转子型线设计方法J1-简洁，且适于选用现代计算程序。在螺杆压缩机 压缩机技术，2012，(2)：1-6。

转子型线设计的基础上 ，本文将齿廓法线法应用 [71 F.L.Litvin.Gear Geometry and Applied Theory[M.Camb-于转子刀具刃形 的设计 ，并 以不对称型线为例 ， ridge：Cambridge University Pres，2004。

对其刀具刃形方程进行详细推导，并讨论了转子- [81 F.L·Litvin·Axes of Meshing and Their Application in Theo。

刀具中心距、刀具安装角和型线奇异点存在等因 ry of G。arigJ.c。mP ·M。山。d Appl·M。。h·Egrg，1998，素对刃形求解的影响。最后以复盛型线为例，推 (163)：29 - 0·了现代型线的刀具刃形。上述刃形求解方法既 ；o]AlfLysh ol。m.Ro咖tary Cso。m pwre S。A ，i2。1：u15s6A8[，2'P]，415973.l84有效可行，又简单明了，为转子型线及刀具刃形 rp1 R的进-步分析改进提供了理论基赐实现保障。 [1l徐健，许岭松 ，余小玲，冯全科.-种基于齿条法的螺杆