基于标准互相关函数的经验模态分解端点效应处理方法

M ethod of Empirical M ode Decomposition End Effect Based onStandardized CrOSS.correlation FunctionYANG Bin CHEN Guiming LIU Jianyou(Department ofManagement Engineering，Second Artilery Engineering University，Xian 710025)Abstract：In the empirical mode decomposition method(EMD)，as a result ofthe uncertainty ofthe signal at both ends ofthe border，the end efect exists in the c0urse ofgeting envelop of data.The emergen ce ofthe efect makes the results ofEMD have a seriousdistortion.On the basis of the existing algorithm，an improved method for EMD based on standardized crOSS-correlation function isproposed.Th e standardized cross-correlation function is used for the similarity criterion of the internal signal to find the endpointwaveform which is the smalest amplitude diference waveforms for data extension，instead ofthis segment waveform to produce the endefect of the envelope.The method not only realizes the smooth transiton between extending envelope and original envelope but alsoreduces the error ofenvelope near the ends ofdata.Simulation an d experiment prove that the algorithm cal efectively solve the endefL and Call resmn mode mixing.The algorithm is simple and easy to implement compared with several other common algorithm。

Key words： Empircal mode decomposition End efect Standardized cross-correlation function Envelope Mode mixing0 前言美国科学家 HUANG等l 提出的经验模态分解(Empirical mode decomposition，EMD)是-种新的信号时频处理方法，由于其较高的频率分辨率、良好的自适应性，在机械故障诊断、地球物理探测、医学分析、图像处理等领域得到了广泛的应用。但军队科研资助项目(装[20o8466)。20120613收到初稿，20130107收到修改稿作为-种新兴理论，还存在端点效应、模态混叠、分解停止准则等问题，其中以端点效应和模态混叠最为突出。本文重点研究端点效应问题。

针对端点效应产生的机理，国内外学者进行了大量研究。刘慧婷等[2利用最邻近原信号端点处的极值点进行多项式拟合，以确定极值点位置，然后拟合出信号上下包络线，但该方法处理随机信号时精度难以控制：李敏等3以原信号两端点为对称点进行镜像延拓，得到上下包络插值曲线，但该方法分解误差较大；祈克玉等4利用对原信号加特殊窗机 械 工 程 学 报 第49卷第5期函数来抑制端点效应，虽然取得了-定效果，但加窗函数后改变了原信号的组成：王婷等 j提出利用原信号内部与端点处波形变化趋势最为相似的子波对端点信号进行延拓，提高了 EMD分解的精度，但该方法无法准确反映信号本身特性；杨庆等6利用最小平方距离相关法在信号内部寻找与端点处信号变化趋势相关度最高的-段子波形，利用原信号波形的包络线来重新刻画端点处的包络线，有效地抑制了端点效应，但该方法存在分解后产生虚假模态分量，无法准确反映信号本身特性的问题。

本文在分析现有方法的基础上，提出-种基于标准互相关函数的包络拟合法，并进行仿真信号和试验验证研究。

1 EMD端点效应和模态混叠问题1.1 EMD基本原理EMD 是通过筛分的方法把复杂信号分解为-组具有 明确 物理意义 的本征模态 函数(Intrinsicmode function，IMF)之和。要得到IMF应满足以下两个条件 ， - 。

(1)对于原信号序列极值点和过零点数 目必须相等或至多差-个。

(2)由极大值点和极小值点构成的信号序列上下包络线均值为 0。

EMD 算法基本步骤如下 。 ：用三次样条插值函数将信号 的所有局部极大值点和极小值点插值拟合成信号序列的上下包络线，计算上下包络线均值 h(O，记，z(f) (f)- ) (1)重复第-步直到 re(t)满足 IMF的要求，得到-阶IMF，记cl(t)m(t) (2)式中，CI(0是 IMF1。用原信号 ( 减去 C1( ，得到- 个新信号 rl( ，视 rl( 为新的信号。重复以上过程，得到 c2(t)，ca(t)，， (D。当c 或 (O满足分解终止条件时，EMD分解停止。原信号可表示为x(t) (f) ) (3)l：1式中， 是信号的残余分量，表征信号的变化趋势。

1.2 EMD端点效应产生机理由EMD分解过程可以发现：EMD以信号序列的极值点为插值点，以三次样条插值函数拟合信号上下包络线，得到信号包络线均值。但由于端点处极值点的不确定，包络线拟合时在序列两端难以确定包络线拟合的趋势，会出现 飞翼”现象，拟合的上下包络线及包络线均值会产生拟合误差，并且随着分解层数的增多，包络线拟合的误差越来越大，使分解结果严重失真，产生虚假IMF分量l 。

1.3 EMD模态混叠简介模态混叠是指原信号中含有多频率分量，但由于经典 EMD 算法的频率分辨率有限，无法将具有不同时间特征尺度的频率分量分解到不同的模态分量中，造成多频率分量混叠在同- IMF中的现象。

2 基于标准互相关函数的EMD基本原理目前，对 EMD端点效应的处理多是从信号内部寻找能反映端点处极值点的信息，再进行包络拟合。由EMD算法的步骤可以发现，在确定端点极值点时不可避免会产生-定的误差，而在后续的三次样条插值拟合过程中误差将会进-步加大，最终影响分解的效果。基于此，本文提出基于标准互相关函数的包络拟合法来处理EMD端点效应。

如图 1所示，以左边界上包络为例，记信号 ∽左端点为 ，设 l、 分别为临近 的两个极大值，由于在上包络拟合时，端点处极值不确定，上包络- 1.＆间的包络线已经产生了-定的误差，如果能够在包络线内部找到-段波形代替 . . ，就可以实现端点处包络线有效拟合，从而降低端点效应对EMD分解的影响。基于标准互相关函数的包络拟合法具体步骤如下。

(1)以信号 ( 所有极大值点进行三次样条插值，得到信号的上包络线 ( ，从左到右标记 ( 的所有极大值点 ，并令M(MI，ME，， )，取上包络$2-M1-ME之间的波形为研究对象，记 SE-MI-M2为 w0，设 . l-＆之间波形长度为 N，$2-M1长度为， 匹配示意图如图 1所示。

>i亟1粤时间f/s图1 波形匹配示意图2013年 3月 杨 斌等：基于标准互相关函数的经验模态分解端点效应处理方法 65(2)令 w0以上包络极大值点 为中心向右移动，使尬 与包络线中所有极大值点 重合，以标准互相关函数作为判定函数式(4)，分别计算与 WO相同长度波形 wf的匹配系数Cx2∑w0( ) ( )xx1式中， l、X2分别为wf初始和结束数据点。

(3)取 C值最小时的波形为匹配波形，记 对应的极大值坐标为 ，则 对应的坐标为 ，对应的坐标为 -.Ⅳ。用Xo-X2取代 . 1。

(4)按上述原理依次完成上包络右端点和下包络左右端点的包络拟合，最后按照 EMD算法对信号进行后续处理。需要强调的是，在每次迭代前都要对上下包络进行拟合，以减小误差。

3 仿真验证为验证本文方法抑制端点效应的有效性，采用基频30Hz，调制频率10Hz的信号和频率为120Hz正弦信号叠加形成仿真信号，如式(5)所示(f)cos(6OxtO.5sin(20兀f)×(10.2sin(10xt))sin(240xt) (5)信号时域图及各组成分量如图2所示，从上至下依次为原始信号和各组成分量。不进行端点处理对信号直接分解得到的各阶IMF结果如图3所示，采用本文提出的方法分解得到的IMF结果如图4所示。

> i四馨图2 原始信号及各组成分量从图3分解结果可知，直接进行EMD分解后，IMF1和IMF2左右两端均存在端点效应，IMF3为分解产生的虚假分量∩以发现随着信号分解的不断进行，误差越来越大，信号严重失真，IMF失去了原有的物理意义。对比图3的分解结果，本文改进的EMD算法分解得到的IMF1、IMF2两端点均未产生端点效应，没有虚假的模态分量产生，同时IMF1和IMF2与原信号各分量幅值、频率基本-致，残余分量符合信号的变化趋势，分解结果非常理想。

- /- o-2 L--j---J---上---.L---L---上---J---JO1厂 /残余分量0 E/---- ---------- ， rI I L- . .- ..J .........J... . --. .L .........L.... . .J..........i.... . . ..1.......j0 50 0.55 0.60 0.65 0 70 0.75 0 80 0.85 0 90时间t/s图 3 不进行端 点处理 EMD结果2厂 / IMF1o MMMM 删 MM- .2 I ..............J... ... J .. .....J........... ....1.......I...- 名2r /IMF2 翥。/八八/. /厂八八/、 /厂密 -2L--上--J---L--L--J---L--上--Jr ，残余分量0- . 1 1.......。 ..J1. ...... ..J..........I. .........J.... .。.....J.... .....I..........1.....J时间 珧图4 本文提出的改进EMD结果为验证本文方法抑制端点效应的优越性，以相同的分解终止条件，分别采用多项式拟合法、镜像极值窗函数法、最近相似距离法和最小平方距离相关法对仿真信号进行 EMD分解，结果如图5所示。

通过几种方法对 比可以发现：多项式拟合法IMF1存在较大偏差，IMF2左右两端点有明显的飞翼”现象，同时产生了虚假的模态分量 IMF3；镜像极值窗函数法 IMF1较为理想，但在 IMF2处右端点发生了端点效应，幅值明显变小，同时也产生了虚假模态分量；最近相似距离系数法和最小平方距离相关法 IMF1均未发生端点效应，但是有虚假分量的产生，分解后的残余项不符合信号的变化趋势。综合分析比较，本文提出的改进 EMD算法分解精度更高、且无虚假分量的产生。

通过试验发现，本文提出的 EMD算法不仅可以有效解决端点效应问题，同时对模态混叠现象也有-定的抑制作用。式(6)是4O Hz和25 Hz叠加形成的仿真信号2 O O 机 械 工 程 学 报 第49卷第 5期>昌迥馨> E趔馨O- 22O- 2。。

堡 兰 / 0P--------、/- - - - - - - - 、 / 。d 志 百 - 02O- 220- 2时问(a)多项式拟合法时间 s(b)镜像极值窗函数法I-I-L I I I～I ，I50 0 55 060 065 0 70 0 75 0 8O 0.85 0 90时间 f/s(c)最近相似距离法[- -/、 八0 70 0 75 0 8O 0 85 0 90时间f/s(d)最小平方距离相关法图5 几种方法 EMD分析结果对比图ysin(80rct)cos(507t) (6)图6是直接进行EMD分解后各阶IMF结果，图 7是本文方法 EMD分解后结果。

>趔2O- - < - - - /5O O 55 O 60 O65 O 7O 0 75 O 80 0 85 090时间图6 直接EMD结果时间 s图7 改进 EMD结果由图6分解结果可知IMF1出现40 Hz和 25 Hz两种不同的频率分量，发生了模态混叠。对比图 7的分解结果，IMF1和 IMF2均未出现不同的频率分量，模态混叠得到了-定的抑制。

4 工程实例为验证本文方法在工程实际中的实用性，对加速度传感器测得的转子油膜涡动数据进行分析。已知转子的转速为 3 200 r/min，基频为 53 Hz，采样频率为2 000 Hz，采样点数2 048。

转子油膜涡动机理如下：轴颈在轴承中转动时由于受到油膜挤压力的影响，转轴将产生涡动，转子绕轴心线高速旋转，转速为 n，当n大于失稳转速时轴颈出现涡动，涡动频率 约为转轴转动频率厂的-半。

图 8是改进的 EMD结果，其中 IMF1主要为振动的噪声及高频谐波分量，IMF2为涡动信号，IMF3应为基频信号，其余 IMF为产生的虚假分量和残余分量，分解得到的IMF两端均未产生摆动，端点效应得到较好的抑制。

2 O之 2 o o o o>山/ 覃馨2 o 2 o 0 。 o >Ⅲ/ 埋馨2 O 2 2 0 2 2 O 2 5 O 5 - -c m>暑、 覃馨2013年3月 杨 斌等：基于标准互相关函数的经验模态分解端点效应处理方法 67g趔馨U u)厂 . . / lM F1o山.I 叫 H- 0 05 1... ...J.... ....-1....... i........-..-...-...J--.-.------J-.--.----J--------l---------.Jl--.-.nnOO 02r ， / IMF2 .020 椰-n L 二L- - L- -上 - --L-- j- - - - - -L - L- - J- 0.0。1巡0 021- /IMF50 --/、 /、 ，八 /、， /、- 0 02L---L---L---J---上---L---L---上---J---J- -j.。. j I 壁垒坌量- - 1......J.....1。.. ..。.J.。....J.. ....J.. ....1................u O 0 l O.2 O 3 O4 O 5 O6 0.7 O.8 0.9 1.0时间 t/s图 8 标准互相关函数包络法 EMD结果信号分解后的 Hilbert边际谱如图9所示。图9中主要成分是油膜涡动引起的高频分量，同时出现的其他频率分量除了基频分量外还有噪声引起的高频分量。从图9中可以看出在 26.4 Hz与 52.7 Hz处能量较为集中， 与厂近似保持-半的关系，结合试验过程表明转子系统发生了油膜涡动。

鼍j磐馨o I...I-I.M峥 I..I.I.I.-. 州O O5厂 /IMF20 - - -驯 呻忡 I-巾 叫 -- -- o o5 L--L--L--L--L--J---上--上--L--L-J0 M - O.05 L -L--L--L--L--L--J--上--L--L- -JO O5厂，IMF40 6 ，邶- 0 05 L--L--上--L二-上--J---L--L--上--L--J0 ，/、M， - //、- ，v- /，00。5 // .八 ，IM F6UIV 11"O.. /.。.。 . ：.。.。 二 。。。

0 - //- 广 厂--- /、 / O 002r / IMF9o ------ - O.0l4厂 /残余分量[OlOl0 E 二 二二二 三三三工二][，018 占 0时间 t/s图 10 直接 EMD结果存在的端点效应问题，在总结现有方法的基础上，提出基于标准互相关函数的包络拟合法。

(2)该方法每次迭代时以互相关函数为判定依据，在包络线内部寻找能代替端点处包络线的波形，再进行模态分解。该方法不仅可以有效抑制端点效应，而