基于最大相关波形延拓的经验模式分解端点效应抑制方法

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A maximal correlation waveform extension method forend efects reduction of empirical mode decompositionGAO Qiang ，DUAN Chert-dong ，ZHAO Yan-qing ，SONG Wei-zhi(1.Automobile School，Chang'an University，Xian 710064，China；2.School of Electronic and Control Engineering，Changan University，Xian 710064，China)Abstract： Empirical mode decomposition(EMD)is an adaptive time-frequency analysis method，it is widely usedin non-stationary and non-linear signal analyzing. However， end efects reduce the precision of empirical modedecomposition greatly.Here，a new method，maximal corelation waveform extension(MCWE)，was proposed todecrease the end effects of empirical mode decomposition.In MCWE，an end waveform including some data was shifted tothe other end of the signal waveform to seek the most similar waveform whose correlation coeficient with the former wasmaximal，then the outboard waveform of the found one was regarded as the estimation of the outboard waveform of thisend.A simulation signal and a practical vibration signal of an air compressor from a petroleum refinery were applied to testthe performance of MCWE.The results showed that the proposed new method can reduce end effects of empirical modedecomposition and improve its precision significantly， especially， for periodic signals and cyclostationary signals；moreover，the MCWE can be applied to diminish end efects of other signal processing methods，such as，digital filteringand wavelet analysis；therefore，it is universal and useful for engineering applications. 。

Key words：empirical mode decomposition(EMD)；end efects；time-frequency analysis；signal processing经验模式 分解 (Empirical Mode Decomposition，EMD)是美国学者 HuanglJ-2]提出的-种时频分析方法，它以本征模函数(Intrinsic Mode Function，IMF)为基本概念，通过递推过程逐次将任意信号分解为若干本征模函数的线性和。同时，Huang给出了描述信号局部频率特征的瞬时频率”存在的限定条件和计算方法，定义了Hilbea-Huang变换算法，从而建立了以瞬时频基金项目：国家 自然科学基金资助项目(51175049，51275380)；中央高校基本科研业务费专项资金项目(CHD2012ZD007)收稿日期：2011-11-14 修改稿收到 日期：2012-02-15第-作者 高 强 男，博士，副教授，1970年生率为信号频域表征、以本征模函数为时域表征的新的时频分析体系。与传统 Fourier变换以及小波变换需要预先选定基函数的思路不同，经验模式分解根据信号局部特征时间尺度对其进行分解，本征模函数反映信号内在振荡模式，是-种 白适应分析方法。美国航空航天局对经验模式分解给予高度评价，认为该方法脱离了Fourier分析的框架，是200年来对以 Fourier变换为基础的线性谱和稳态谱的-个重大突破。

经验模式分解已经广泛应用于非平稳信号和非线性信号分析，在机械故障诊断中也取得了很好效果。

经验模式分解中需要估计信号局部均值。由于信号端点处局部均值的估计误差较大，常常使分解结果在端第2期 高 强等：基于最大相关波形延拓的经验模式分解端点效应抑制方法 63点处产生畸变，出现所谓的端点效应”。端点效应使EMD精度明显降低，严重影响其工程应用，因此，如何消除端点效应成为经验模式分解研究的重要内容之-。 在分析已有方法优缺点的基础上，本文提出了-种新的利用相关波形延拓，抑制经验模式分解端点效应的方法。

1 经验模式分解及其端点效应本征模函数是经验模式分解的基本概念，它是指满足以下条件的-类函数：① 在整个信号中，极值点(极大值点与极小值点)的数目与过零点的数目必须相等，或最多相差不超过-个；② 任-时间点上，信号局部最大值所确定的上包络线与局部最小值所确定的下包络线的均值为零。经验模式分解通过筛”算法将任意信号 (t)分解为若干本征模函数的线性和，其过程如下 ：(1)将信号 (t)所有极大值点和极小值点分别用- 条曲线连接起来 ，得到其上、下包络线，记两包络线平均值为m(t)；(2)计算 (t)与m(t)的差 h (t)，重复上述过程，直至所得差值成为本征模函数，记为 c (t)；(3)用 (t)减去本征模函数C (t)，得到剩余信号l(t) ( )-C1(t)；(4)将 (t)当作新的原始”信号，重复上述步骤，依次提取出各本征模函数，以及不再包含任何模式信息的余项r (t)。

通过以上算法，任意信号 (t)被分解为若干本征模函数和-个余项的和，即：馨10- 1图 1 信号 (t)的经验模式分解Fig.1 (t)and its empirical mode decomposition( )∑Ci( )Tn( ) (1)il上述算法的作用是去除信号中存在的叠加波，使所得序列符合本征模函数的条件，并使其波形更加平滑和对称。本征模函数反映信号内嵌的振荡模式，对其进行 Hilbert.Huang变换可以得到各模函数的瞬时频率，余项表明了信号的趋势变化。假设有信号：(t)0.5cos(40耵 150。)COS(200wt) (2)其经验模式分解如图 1所示∩以看到本征模函数c 和c 揭示了信号 100 Hz和20 Hz的谐波成分，说明经验模式分解是有效的。但是，在c：及余项的端点处出现了波形畸变，使得算法精度明显降低，尤其在Hilbert谱端点出现了剧烈振荡(如图2中 A点局部细化所示)，这就是经验模式分解的端点效应。

图2 信号 (t)的Hilbert谱Fig.2 Hilbert spectrum of (t)2 端点效应消除方法研究现状经验模式分解之所以产生端点效应，是因为算法中要利用信号局部极值点求取上下包络线，估计信号局部均值。但信号端点-般既非局部极大值，又非局部极小值，使求得的上下包络线出现误差。这种误差沿着包络线向信号内部传播，污染序列内部-些点，并随分解过程的进行，误差不断累计，有可能严重扭曲信号成分 。

端点效应严重影响经验模式分解精度，所以减小端点效应的研究-直得到相关领域学者重视。目前，国内外对经验模式分解端点效应抑制方法的研究主要分为两类：① 设法提高端点处局部均值估计精度。盖强 利用端点处极值点与信号内部极值点的匹配关系提高端点局部均值估计精度。这种方法对随机噪声产生的极值点会产生较大误差。余波 用端点信号值的二分之-作为端点局部均值估计的-部分，具有较大的主观性，可能引起本征模函数端点较大的波动。②采用数据延拓方法。即对原始数据两端进行延拓，通过获得信号有效区域外的极值点，抑制端点效应的发生。典型的数据延拓方法包括：补零延拓、周期延拓和对称延拓等。补零延拓法是将端点之外信号值全部置振 动 与 冲 击 2013年第 32卷为零，周期延拓假设信号是周期出现的，所以将信号右端数据平移到左端点外，并同法处理右端点。上述两种方法会引起端点处信号-阶导数突变和数据跳跃，因此不适于经验模式分解。对称延拓法是以两端点为对称点对信号进行左右延拓。很明显，此方法会造成端点处虚假的局部极值点，降低经验模式分解精度。

为解决上述问题，李艾华等 提出了基于最大 Lya-punov指数预测的延拓方法，贾民平等 ， 提出了基于时间序列预测和神经网络预测的数据延拓方法，取得了较好效果。胥永刚 提出基于支持向量机(supportvector machine，SVM)预测的数据延拓方法，效果良好。

但是时间序列预测如果定阶不准会造成较大的预测误差，而神经网络预测法延拓数据时，需要大量时间对神经网络进行训练，算法效率较低。

表 1列出了用时间序列预测和神经网络预测进行数据延拓所用的时间(文献[7])，其中 BP神经网络含- 个输入层(输入节点数 40)，两个隐层(神经元数为20，10)和-个线性输出层；径向基神经网络采用 80个输入。数据说明神经网络预测法需要较长时间，实用性较差。类似地，使用支持向量机预测方法同样需要对 SVM进行训练，明显降低算法速度。

表 1 几种数据延拓算法耗时比较Tab.1 Time of some predictionalgorithms to perform data extension延拓方法 所用时间/s时间序列预测BP神经网络预测径向基神经网络预测6.089l273.7649.8针对以上方法的不足，本文提出了-种新的数据延拓方法：最大相关波形延拓法。该方法不会引入太多计算量，能够获得较好的数据延拓效果，有效消除经验模式分解端点效应。

3 最大相关波形延拓法匹配追踪算法通过分析信号在时频原子方向的投影，即信号与时频原子的相似性，将信号分解为最匹配于信号结构的-系列时频原子的线性和 j。该算法广泛应用于机械故障诊断¤鉴匹配追踪算法思想，本文提出了-种新的数据延拓方法：最大相关波形延拓法，通过寻找信号中与端点处波形最相似的波形进行数据延拓，从而获得端点外若干数据的估计。

在最大相关波形延拓法中，隐含-个假设，即认为信号是循环平稳的，其信号特征会周期性出现。因此，可以用信号中与端点处最匹配的-段波形作为端点处波形的估计，从而得到端点外数据的估计。循环平稳信号在自然信号及工程信号中广泛存在。例如在旋转机械和往复机械中，由于其工作状态是周而复始循环进行的，机器振动信号常常会循环出现。图 3是-组现场采集的国内某炼油厂催化裂化装置风机轴瓦振动信号。其中图3(a)为原始数据，图3(b)为信号局部细化。观察可以发现，某些非常相似的成分在信号中会反复出现，这为我们使用最大相关波形延拓法进行信号延拓提供了依据。

最大相关波形延拓法包括以下几个步骤(以左端点为例，如图4所示。右端点方法相同)：(1)设信号 (t)左端点为f。，过f。作与时间轴 t平行的直线与信号波形交于 f ，f：，，f 点；吕j 画坚0 2 4 6 8 10原始数据×102(a)；道 0粤 -5-- 12图 3 某炼油厂风机轴瓦处振动数据Fig.3 Axle bush vibration waveform ofan air compressor in an oil refinery图4 最大相关波形延拓算法示意图Fig.4 Diagram of maximal correlation waveform extension(2)以 为起点，向右取曲线段 。，数据长度为k。，选取时应使L。包含-至两个信号周期，其中包含至少-个局部极大值点、局部极小值点及过零点；(3)以Z ，Z ，，Z 为起点，取长度为 k。的曲线段l，L2， ，L ；加 m 5 O m ：2第2期 高 强等：基于最大相关波形延拓的经验模式分解端点效应抑制方法 65昌丑 趔l0- l1篓 。

- 1l0- 12005O1005OO图5 风机振动信号延拓结果Fig.5 Extension results when maximalcorrelation waveform extension applied/.//////厂/0 2 4 6 8 10数据点 ×10(a)x(f)的经验模式分解结果O 2 4 6 8 1O数据点×102(b)Hilbert潜图6 最大相关波形延拓后信号(t)的经验模式分解结果及 Hilbert谱Fig.6 Empirical mode decomposition of (t)aftermaximal corelation waveforlYl extension method was used(4)求 L。与曲线段 ， ，， 的内积，即：( ，2，，凡) (3)找出其中最大的相关系数 口 ，0 max(口 ) ( 1，2， ，n) (4)(5)以f 为起点，取其左边的曲线段 ，数据长度后 。 的选取应使 包含若干个局部极大值点和极小值点。 即为左端点向外延拓的曲线段。

可见，最大相关波形延拓法是将信号端点处波形向信号内部平移，以寻找与其最相似的波形(即令相关系数最大者)，然后以该波形外侧的-段数据作为对信号端点外数据的估计。以此方法，获得端点外若干附加极值点，进行经验模式分解后截去延拓部分，就可以得到比较精确的分析结果，大大降低端点效应的影响。

以图 3某炼油厂风机轴瓦振动信号为例。该组数据长度为 1 024，两端各截去 50个数据点组成延拓前信号，应用最大相关波形延拓法向两边延拓50个点，暑粤昌粤数据点 ×102(a)仅用经验模式分解数据点 ×102(b)用最大相关波形延拓法及经验模式分解图7 风机轴瓦振动信号的经验模式分解Fig.7 Empirical mode decompositionof the vibration signal shown in Fig.3振 动 与 冲 击 2013年第 32卷结果如图 5所示，图中 ”为延拓前数据端点，图5(a)、图5(b)分别为左、右端点延拓情况。很明显所述方法得到的延拓数据与原数据有完全-致的趋势，细节上仪常吻合，误差很小，说明最大相关波形延拓方法能较精确地对数据进行双边延拓。另外，测试发现该次实验耗时约8 ms(CPU主频2.8 GHz)，表明其附加的计算量可以忽略不计。

为验证其效果，对图1所示信号 (t)应用最大相关波形延拓法，其经验模式分解及 Hilbert谱如图6所示，其中图6(a)为分解结果，图6(b)为c ，C：的 Hilbert谱∩以看出采用最大相关波形延拓法后，本征模函数C 及余项r 的端点效应明显减小，Hilbert谱端点效应也明显被抑制。对于工程信号，将图3所示风机轴瓦振动信号两端各截去50个点作为原始序列，EMD分解前3个本征模函数如图7(a)所示，可见 c 和c 两端出现了明显畸变。应用本文方法对其进行双边延拓，经验模式分解后切去两端延拓的50个点，结果如图7(b)所示，可以看到 C：和 C 的端点效应明显减小，说明最大相关波形延拓法能够有效抑制 EMD分解端点效应，特别当信号为周期信号或循环平稳信号时。

需要注意的是，最大相关波形延拓法具有通用性，其实现并不依赖经验模式分解算法，同样可以应用于数字滤波、小波分析等方法，从而消除上述方法中出现的端点效应，对提高算法精度具有重要意义。

4 结 论针对现有经验模式分解端点效应抑制方法的不足，提出了-种最大相关波形延拓法。该方法假设信号是循环平稳的，因而可以在信号中找到与端点处波形最相似的-段波形，然后以其外侧的若干数据作为信号端点外数据的估计。对延拓信号进行经验模式分解，就可以将端点效应释放到经延拓加长”的部分，从而提高经验模式分解精度。对仿真信号和工程实际信(上接第43页)[8]Lei Y，He Z，Zi Y.Application of the EEMD method to rotorfault diagnosis of rotating machinery[J].Mechanical Systemsand Signal Processing，2009，23(4)：1327-1338。

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号的分析表明，对于周期信号或循环平稳信号，最大相关波形延拓法能够明显减小 EMD分解端点效应。同时，该方法是通用的，能够有效消除数字滤波、小波分析等信号处理方法的端点效应，提高分析精度，具有较大的理论意义和工程实用价值。