多小波对风机故障信号降噪处理的比较研究

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近年来 ，多小波研究引起了人们的广泛关注，最早的多小波是由Albert和 Rokhlin构造的，被誉为分析信号的数学显微镜” 。1996年，Geroni-mo J等应用分形插值方法构造出了 GHM多小波 。同年 Chui C K和 Lian J A利用对称性构造出支撑区间在[0，2]和[0，3]上的 CL多小波 。2000年，SA4多小波 由 Shen L等在 Dau-bechies小波的基础上构造出来的正交向量小波，其多尺度 函数、小波函数分别是对称与反对称的 。此后更多的多小波陆续被构造出来↑年来，小波分析在信号处理中的应用日趋广泛，特别是在图像压缩和信号处理中 。

多小波的尺度函数和小波函数是多维的，而需要处理的信号是-维的，所以需要进行预处理，而不 同的预处理方法对多小波的应用影响很 大。

预滤波的方法包括：过采样预滤波、矩阵预滤波及双正交插值预滤波等。根据以往的研究可知：平衡预处理与 CL多小波相结合处理的效果较好；而过采样滤波中的系数重复行与 GHM多小波结合处理的效果较好 。

为了寻求更好的处理效果，笔者采用 SA4多小波，并分别采用平衡法和正交插值法两种预处理方法，仿真评估这4种方法对同-个风机故障信号的降噪效果。

1 多小波理论多小波同时拥有单小波所不具备的对称性、正交性、紧支撑性及高阶消失矩等特性 川 。对称性可使小波具有线性相位，避免因重构产生误差，使信号失真；正交性使信号分解后各子带之间的相关性为零，有利于信号重构且节省运算量；紧支撑性决定了在小波分解和重构过程中滤波器的长度，进而决定信号的光滑性；高阶消失矩使得小波逼近光滑函数的能力更强。

尺度函数又称为小波父函数。根据双尺度方程，可以由尺度函数生成小波函数▲行信号处理时，先要对信号进行逼近，也就是用尺度函数对信号进行分解，尺度函数的频带与待分析信号的频带相同，然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解，就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分。此时新的尺度函数频带是原信号频带的-半，小波函数的频带是另-半(高频部分)。由此实现 了对原信号的按频带分解(尺度函数与小波函数的区别)。

1.1 GHM和 CL多小波GHM多小波是二维多小波，通常情况下，小收稿日期：2012-12-12(修改稿)基金项 目：天津 市 自然科学 基金 项 目(09JczDJc239OO、10JCZDJC23100)； 天 津 市 科 技 支 撑 计 划 项 目(10ZCECJIM3080)化 工 自 动 化 及 仪 表 第4O卷波函数 ( )由尺度函数 ( )生成，尺度函数也称为父小波。二者的关系为 ：咖( )√2，∑日 咖(2x-k) (1)( )√2.∑ G 咖(2x- ) (2)其中， ( )[ 。( )，咖 ( )]； ( )[ 。( )， 。( )]；咖。( )的支撑区间是[0，1]，咖。

( )的支撑区间是[0，2]，且 咖。( )与 。( )是对称的，具有二阶消失矩；H 、G 分别是尺度函数和小波函数的滤波器系数。

CL多小波是 由 Chui C K和 Lian J根据函数的对称性构造 的多小波 ，根据其支撑区间的长度又可分为 CL3和 CL4两类。其中，CL3多小波的尺度函数 币。( )、咖 ( )和小 波 函数 。( )、( )的支撑区间均为[0，2]，滤波器长度为 3；而CL4多小波的尺度函数 咖。( )、咖 ( )和小波函数。( )、砂 ( )的支撑区间均为[0，3]，滤波器长度为 4。

1.2 SA4多小波SA4向量小波是 Shen L等在 Daubechies小波的基础上构造出来的正交向量小波，且其多尺度函数、小波函数分别是对称与反对称的 。其分解算法为：r 2 ∑ -J (3) 2 ∑-G2n-k其重构算法为： ∑ ∑ G： (4)其中，日 和 G 分别是 和 G的共轭转置 。

SA4多小波的滤波器系数为： (32 8 ，/i3)-' 1/8]/31 8 28 1/8 L( 15)( /15)日 ： √ 。 / ) 1 (328 v/ )～ -1/8 JH ： 。 舶 )～ 1 ，l l/√2- (318、/， )/(328/， )1/8 j： -( )/(32 ) / 1 -1/(328 15)- -1/8 J1/8 31 8 ，2/若15/ 32 8 15] L -( )(/ )J1/8 1 / 3228 15 51)] - -(/ )- JG ：r /(32 ) 1- 1/8 -(318 )/ 32 8 Vi3-)J L /15(1/-8/ 15-)/(32 81/8 1/ 32 8 15 - ( / ) jSA4多小波对应 的尺度函数和小波 函数如图1所示 。

a.尺度函数 。( )c.小波函数 。( ) d.小波函数 . )图 1 SA4多小波时域此外，它的等价标量低通滤波器具有完全的低通性质，而常用的 GHM及 CL等多小波的等价标量低通滤波器却没有这个性质，因而 SA4多小波的滤波效果要优于 GHM及 CL等多小波。

2 多小波的预处理多小波具有多个尺度函数和小波函数，它的滤波器系数均为矩阵形式，所以在应用中要面临两个问题：待处理的信号-般都是 L (R)上的-维信号，而多小波的滤波器是矩阵形式，所以需要矢量输入流，也就是需要将-维信号转换成与滤波器相同维数的数据；多小波没有单小波那样明显的高、低通特性，信号经过分解后会出现高、低频混叠的现象。因此在利用多小波处理信号之前需要进行适当的预处理。

预处理的方法之-就是把原数据通过-个预滤波器使其按两行方式输出，重构时让两行数据通过后滤波器恢复为原维数的数据，所以关键在于设计多小波处理的预滤波器。正交插值法属于预滤波 中的-种 ，定义为 ：.o 2(1)Y2I-1- 2(1/2)(Y2 -2Y2)- - - - - 第 2期 王红君等.多小波对风机故障信号降噪处理的比较研究 165c'2相应的滤波器可以写成：r 二±! ! ! 二 ! ]Q(tO)：l 62(1) ，(1/2)咖， th2(1) - /2 I0 0 j(5)平衡多小波的定义为：若称-正交多小波系统是平衡的，当且仅当多小波的合成算子 保持向量 t/.1[，1，1，I，] 不变，即LTu1l。其中，低通合成算子 是指多小波的低通分析滤波器序列构成的带状矩阵；H 。是指多小波的高通分析滤波器序列构成的带状矩阵 ，则：H H H3 Hq HI H2 H. Ho Hl H2 H G1 G2 G3 Go G1 G2 G3G0 Gt G2 G3 (6)(7)多小波的正交关系有：[ 日 ] ：，：[ HT]，可得 L L日 H，，L LJ，L日 0，H H，，若 u u ，则有 Hu。：0，即向量 u 被高通分支取消。意味着，若正交多小波系统是平衡的，则向量U -[，1，1，1，]T被该多小波的低通分支保留，而被该多小波的高通分支取消，但对于目前的大多数多小波是不平衡的。消除多小波不平衡的方法是构造平衡多小波，对不平衡的多小波进行平衡，即按照-定的变换，平衡已知的不平衡多小波。其关键是希望[1，1r是日(0)对应特征值1的右特征向量，-般的方法是利用-个酉矩阵雌 得 日(o)u 1笔者运用正交插值法和平衡法这两种预处理方法与 SA4多小波相结合，并与处理效果较好的系数重复行的 GHM”和平衡的 CL”多小波对同-风机的故障信号进行降噪。

3 实验结果风机的故障信号-般多集中在低频段，而噪声信号-般都表现高频特性〉噪过程-般先对原始故障信号进行分解，采用阈值对高频系数进行处理，最后重构的信号就是降噪后的信号。多小波的降噪过程如图2所示。

里 原 多 阅 多 篷 始 预 小 值 小 后号信 处 波 处 波 处理 分 理 重 理号 解 构图2 多小波降噪流程笔者均采用最大层数(即 7层)多小波分解和重构，采用相同的硬阈值处理，图3所示为应用了平衡法预处理的 SA4多小波的降噪效果，是这几种方法中降噪效果最好的。

馨- ，采样点数a.原始信号昌0·50.0孽 0.52加 4OO 60O 800 1000采样点数nb.重构信号0 200 4OO 6o0 800 lO∞采样点数nC.噪声信号图3 SA4多小波降噪效果为了在数值上比较几个多小波的降噪效果，采用信噪比(SNR)和均方根误差(RMSE)来衡量降噪效果。信噪比和均方根误差的公式为：∑ix SNR101g - --- (8)∑[ix-菇]厂 - ----------- RMSE √寺 [ -式] (9)式中 n--离散信号长度；ix--原始信号；2 0 也乩 . -166 化 工 自 动 化 及 仪 表 第40卷--降噪后的信号。

表 1所列为用不同多小波对同-故障信号进行降噪所得的信噪比和均方根误差。通过表 1可以看出：SA4多小波分别应用正交插值和平衡处理两种预处理方法，结果显示平衡预处理的信噪比较大、均方根误差较小 ，说明预处理方法中平衡预处理比正交插值更适合 SA4多小波。

表 1 不 同处理方法的 SNR和 RMSE4 结束语降噪信号的信噪比越高，均方根误差越小，表明降噪效果越好。平衡预处理的 SA4多小波在几种预处理的多小波中信噪比最大，均方根误差最小，平衡预处理的 SA4多小波对风机故障信号降噪效果要 比 GHM和 CL多小 波要好。同时也说明即使是相同的多小波，如果采用不同的预处理方法，则对同-故障信号的降噪效果也是不同的，表明预处理在故障诊断中起关键作用。