相移干涉测量中相移误差的自修正

从 20世纪 60年代，采用干涉仪测量高精度表面面形的相移解相算法诞生 以来 ，实现相移过程的硬件系统也随之发展起来。现在通用的实现相移的方法主要有机械式和波长调谐式两种。这两种相移方式都存在相移误差，而且不仅在系统建设初期存在初始相移误差 ，在 系统工作-段时间后还会 由于硬件老化产生相移误差 。因此 ，要用相移解相来实现高精度的表面面形复原，就必须构造出高精度的相移误差修正系统来实现精确相移 。

为克服相移机构产生的误差 ，国内外研究人员提出了大量的相移标定算法口。]。在这些算法中，迭代最小二乘 算法的研究最为 广泛。Okada等人 在 GreivenkampE 的研 究基础上 ，首先提出用迭代求解近似线性方程组来确定相移量和相位分布。Lassahn等人[1 ，Han和 Kim[1 ，以及wei等人[1 z]也提出过类似的算法。上述所有迭代算法的实现均需要大量(通常大于 15幅)的干涉图。而在实际应用中，干涉图数量通常为 5～7幅 ，这会使算法产生很大的误差 ，从而限制 了这些算法 的应用。

为了克服上述问题，Zhang等人[13-143提出用迭代最小二乘法计算干涉图相移量。采用该算法计算时每步的相移可 以是 随机的 ，且只需要不少于 3幅具有不 同相移量的干涉图就可以精确地提取相位信息。在此基础上 ，本文结合光 、机、电、算子系统组成的干涉测试硬件共同构成了相移误差自适应修正系统，并将该 系统应用在某干涉仪产品上 。实验和对 比国外 同类产品的结果表 明，本文构建的相移误差 自适应修正系统及产品实现了高精度、高效率的相移误差 自适应修正。

2 干涉图相位计算本文采用迭代最小二乘法快速而精确地计算相移量和相位分布 ，每步的相移是随机的，且只需要不少于 3幅干涉图便可提取相位信息。

2.1 确定相位干涉图的强度分布可以表达为 ：巧 -A B cos( )， (1)其中：上标 t表示理论值，下标第 i幅相移后的图像( -1，2，，M)，而J表示每幅干涉图中所对应的三维像素位置( -1，2，，N)；A 为背景或平均强度，B 为调制度， 为相位信息， 为 M(M≥3)幅干涉 图中每幅的相移量 ，N为每幅干涉图中的总像素 。

假设每幅干涉图的背景强度和调制度不变，则有 A1 A2： A岣，B1JB2 - B岣。

定义 a-A ，b -B COS ， -B sin ，式(1)可改写成 ：% - a/jbsCOS Cj sin . (2)如果 未知 ，则 总计有 3N个未知量 和 MN个方程 ，可以用超定最小二乘法求解 。由式 (1)和式(2)描述的所有干涉 图中累计的最小二乘误差S 为 ：M Si-∑(巧- )。-i- lM ∑( bscos sin - ) ， (3)1式中：J 为实验测得的干涉图强度值。

对于未知量 ，最小二乘判据要求 ：aS /Oa，- 0，aS，/oh - 0，aS /＆ - 0.(4)得到 ：x - [A] B，. (5)这 里 ：xJ)- n ，b ， ) ， (6)光学 精密工程 第21卷[A]-MM ∑cosM ∑sinM ∑cosM ∑cos。

M M ∑sin&cos ∑sini- 1 i iB ，-∑ ，∑ c。s ，∑I sin T。

J盅1 1 J1(16)， 求解式(12)～(15)得到 ，b 和 Cj ，每幅干涉图的相移量为 ：- tan- (～ C /b ). (17)重复步骤 2.1和步骤 2.2直到相移量的值收， M M M T)-∑I ∑I cos ∑I sin 。

I i 1 i 1 i- 1 J(8)式(5)只需要 3个不同的相移 ，即可以保证矩阵[A]满秩。由式(5)～式(8)求出未知量a ，b 和C，。则相位为：- tan- (- /b ). (9)2.2 确定相移量假设 背景强 度 和调制 度不 随像素 变化 ，有Aa-Ai2--AiN以及 B。1-B 2-：B N。对每-幅干涉 图，定义 a ：A#，b -B COS ，c -B sin艿 ，将式(1)改写成 ：马 -口 bi'co 似cf sin . (10)已从步骤 2.1中得到 ，，则有 3M 个未知量和MN 个方程 。对于第 i幅干涉图所有像素的总误 差 S 为 ：NS ，-∑(巧- ) -N∑(d Jb'i CO c ，smoj～， ) .(11)J 1对 已知 ，，最小二乘判据为 ：f f氆 - 0， - l- 0， r - 0。

(12)得到 ：x - [A ]- B ，， (13)其中：X， - 口 ，b ，c ， (14)]-NN ∑coN ∑sinN ∑c0N∑COS2N∑sin co 仍J- l∑sin纺J1N∑COs仍sinJ-lN∑Iij sin2i(15)l( -g1)- ( - )l< e， (18)其中：正为迭代步数，为预先定义的收敛精度，比如1O-。满足收敛判据时，再从步骤 2.1中确定相位。

3 相位 自修 正为便于解相计算出被测面形，解相需要的条纹信息都采用特定相位差下的条纹图。如四步解相采用的相位差为 兀/2，七 步解相采用 的相位 差为 兀/3。采用迭代最小二乘拟合方法计算两步相移之间的相位差，再根据计算结果对相移器驱动量进行修正。修正后重复计算相移相位差，直到计算 的相位差相对需要的相位差(如 /2或 /3)误差在设定的允许误差 内。记 录下此时每步相移的修正电压作为系统解相计算时每步的相移驱动电压 。相移干涉测量中的相移误差 自适应修正系统如图 1所示 。

VCC图 1 相移误差 自适应修正系统组成示意 图Fig.1 Schematic diagram of self-correction of phasestep error