两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解

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第 10期2013年 10月机械设计与制造Machinery Design & Manufacture 203两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解王明旭 ，曹宪周 ，穆钟涛 ，王 振(1．河南工业大学 机电工程学院，河南 郑州 450007；2．河南恒天重工股份有限公司，河南 郑州 450003)摘 要：针对两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解复杂的问题，基于Hamilton能量原理，采用有限元方法建立了约束阻尼板结构的动力学方程，对所建立的动力学方程进行了求解；最后以两相约束阻尼悬臂板为例，对其结构关键部位的动响应进行了计算，计算过程中引入了Krylov缩聚理论；通过对缩聚前后所得关键部位响应的比较，验证了将Krylov缩聚理论应用到约束阻尼结构动力学求解中的合理性；结果表明所采用方法可为工程结构的阻尼减振降噪提供理论依据 。

关键词：两相材料；约束阻尼结构；动力学；缩聚理论；减振降噪中图分类号：TH16；TM930．116 文献标识码：A 文章编号：1001—3997(2013)10—0203—03Two-Phase Structure of the Dynamics Constrained Damping MaterialModeling and SolutionWANG Ming—xu ，CAO Xian-zhou ，MU Zhong-tao ，WANG Zhen(1．School of Mechanical＆Electrical Engineering，He’nan University of Technology，He’nan Zhengzhou 450007，China；2．CHTC，Heavy Industry Co．，Ltd．，He’nan Zhengzhou 450003，China)Abstract：For two-phase structure ofthe dynamic constrained damping material modeling and solvingproblems，it based onenergy principles，used the finite element method to establish a constrained damping plate structure dynam ic equation．Whencalculated the dynamic response of the key parts of the cantilever plate with constrained damping structure，the Krylov’theory，which is the the principle of condensation，was cited to build the condensation dynamics mode1．The comparison ofthe resuhs before and after the polymerization proved the theory that applied to solve constrained damping in structuraldynamics to be reasonable．Results show that this method can be used as proofs to study the damping ofengineering structuresvibration and noise reduction.

Key W ords：Two-Phase Materials；Constrained Damping Structure；Dynamics；Condensation Theory；Vibration andNoise Reducfi0n1引言在工程结构的振动控制中，振动和噪声的控制问题成为工业部门最为关心的问题之一，约束阻尼结构具有很强的减振降噪功效。自1959年约束阻尼层装置【1问世以来，国内外研究者对此做了广泛的研究。如文献垛用等效梁方法和层合梁分析复合材料圆轴的振动问题，利用虚功原理和Rayleigh法来推导方程和求解。

文献嚏 立了一个锥形的线绕复合材料Timoshenko圆形轴的数学模型，采用 Galerkin方法求解结构的自由运动。对圆柱壳附加约束阻尼结构，文献睬 用动力吸振器方法研究在柱壳表面粘贴约束阻尼条控制器振动。由于板振动的复杂陛，研究者主要采用有限元的方法来对约束阻尼板结构进行求解。如文献啦用Kantorovich方法研究了在一边固支对边自由边界条件下部分覆盖带状 CLD板的动力学特『生和动力学响应问题。文献 采用三层夹心结构对约束阻尼板动力学性能进行建模和计算。文献 分别采用 Galerkin单元法和分布参数传递函数方法对约束阻尼板的动力学问题进行研究 ，文献191以大型挠性航天器简化模型一中心刚体和固接板混合系统为研究对象，根据拟坐标拉格朗日方程，建立了包含所有高阶小量的主动约束阻尼结构的动力学模型。文献l】 采用三节点高次单元对构件进行离散，建立附加约束阻尼层复合材料空心圆截面梁单元模型。文献?采用多层谱有限元方法对主动约束阻尼层结构梁结构复杂耦合振动特性进行了研究。文献旧引入位移模式，考虑附加部分对原结构运动相对性和阻尼层横向剪切效应，研究了约束阻尼层板振动特性。

针对两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解复杂的问题，采用 Hamilton原理构造约束阻尼板的动力学方程和边界条件，引入 Krylov缩聚理论对所建模型进行动力学缩聚对方程进行求解，对结构关键部位的动响应进行了计算，分析了两相材料约束阻尼板结构的动力学特性。

来稿日期：2012—12—14基金项目：河南工业大学高层次人才资助项(201 1BS021)；郑州科技攻关项目(20120588)；国家“十二五科技支撑计划”资助(201 1BAD03B01—03)作者简介：王明旭，(1980一)，男，河南叶县人，博士，讲师，主要研究方向：结构动力学优化设计204 王明旭等：两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解 第10期2约束阻尼板的振动方程约束阻尼板，如图 1所示。图中编号 1、2、3分别表示基层、粘弹性阻尼层和约束层。h 、h，为基层和约束层的厚度，约束层与基层的弹性模量分别为 E、E，泊松比分别为 ，密度分别为P 、 ；粘弹『生阻尼层的厚度为 。，其复剪切模量为 G 泊松比为 ，密度为 ；板长为 2n，宽为 26，约束阻尼板所受载荷为q(x，Y，t)。

20图 1约束阻尼板各层的几何关系图Fig．1 Main Configuration of Constrained Damping Structure约束阻尼板各点的位移有如下描述：fl~-ZWx —hl／2s 5 1／2(x,y，z)={ +( 1／2)Ol hi，2 I／2+h2tu-zW 2Ol h1 12+h2≤ ≤ 2^ 3f -hl，2 ≤ l／2 (1)v(x，Y，z)={ +( —hl／2 hi，2 zs l／2+h2tv-z 2卢 hI／2+h2冬 ≤ l／2 2 3W(x，Y，z)=式中：U(x，Y， )、V(x，Y， )、W( ，Y， )—板内任意点( ，Y， )在 ，Y，Z方向的位移 ； —基层中面的初始位移 ； 一阻尼层在XY平面和 YZ平面的附加剪切角。广义位移 uW、a ，Y和t的函数。

2．1基层的本构关系由约束阻尼板的位移几何方程(1)可知，在基层内任取一点，该点与基层中面的距离为 ( ≤ ≤ )，假设基层中面的初始位移分别为 ，法向位移为 ，根据薄壳理论，该点的应变为：s 一 挚I 势 一应力为：(2)E ， 、=—÷ l + 8 )1： E
s (Ssy s ) (3)1G =式中：G= 、 —基层材料的剪切模量与泊松比；s s— 基层内所取点在X，Y方向的应变与X，Y平面内剪切应变； 、O"s ，Tsxy—基层内所取点在 ，Y方向的应力与X，l，平面内剪切应力。

2-2约束层的本构关系由约束阻尼板的位移几何方程(1)知，约束层内任取一点，该点距基层中面的距离为 (hi／2 2 z i／2 2+h，)，根据薄壳理论，该点应变为：老 誓等 挚 号} =等+軎一 茜 等 詈应力为：(4)： —
Ec( )1： ( ) (5)lG 南 式中：Gc= 了 、 一约束层材料的剪切模量和泊松比 、s y —约束层内所取的点在 ，y方向的应变与 ，l，平面内剪切应变；orc 、or r 一约束层内所取的点在 ，y方向的应力与 ，y平面内剪切应力。

2．3粘弹性材料的本构关系由约束阻尼板的位移几何方程(1)可知，在阻尼层内任取一点 ，该点距基层中面的距离为 (hi／2 z-h．／2 ：)，根据薄壳理论，该点应变为：睾等 挚 号l ：等+誓一 等 ， )等 )应力为：(6)也 ， 、= 【 )1( 4-tZvo~'x) (7)l= G T
vxy
= 式中：Gv=南 、 —粘弹性材料的剪切模量和泊松比；8一、s 一阻尼层内所取的点在 ，Y方向的应变与 ，y平面内剪切应变； 、Tcxy一阻尼层内所取的点在 ，y方向的应力与 ，y平面内剪切应力。

2．4结构动力学方程的建立根据哈密尔顿变分原理，可以得到约束阻尼板的动力学方程 ：No．10Oct．2013 机械设计与制造 205M~+C,x+Kx=q (8)式中： 束阻尼板的质量阵；c一约束阻尼板的阻尼阵；K一约束阻尼板的刚度阵； —广义的位移。

3 Krylov缩聚理论约束阻尼结构受载荷作用的动力学模型：+C + =JPh． ∈R u∈Ry=Vx+W~ (9)式中： L_输入分布矩阵；V、 出广义位移和广义速度分布矩阵。将上式化为一阶微分方程：酗 良z=产 (1o)令： lMC M
。]， ]， ]，则：一 1cl良z+褪z (11)则模型的低频矩量为：：(一1)‘矿( 肪) J6，(i=1，2，?，。。) (12)将式(9)代入式(12)得：P]从式(13)中可以得到下面的迭代关系：[ c由式(14)可知：训 c ，由{ Qd： ? d}张成的子空间为阶Krylov子空间，相应的 为Krylov向量。

由{ Q2d? d}作为投影矩阵 来对系统进行降阶
，投影矩阵 的计算为关键步骤，同时随着k的不断增加，数值不稳定现象可能由于投影矩阵中的向量彼此不正交而在迭代过程中出现，因此首先需要对投影矩阵进行正交化处理。具体过程参考文献【1 。

4算例约束阻尼悬臂板，如图2所示。板一端完全约束，尺寸为：(1．2x0．8)m，基层厚h：r-．0．003m、约束层厚hi=0．002m，基层材料的弹性模量为210GPa、密度为7800k咖 ，泊松比为0-3；约束层材料的弹性模量为 70GPa、密度为 2700k咖 。，泊松比为 0-3；粘弹性阻尼层厚h：r．-0．002m，材料的密度为800k咖 。，泊松比为0．3，粘弹性材料满足三参数模型，本构关系为： t 叼。8 t 且qo=lO0000，q。=500000000，P。=0．001；一端约束，对边中点 处受单位阶跃激励，位于板宽的中点 (1．2，0．4)，划分成 12x8个单元，模型共有728维，降阶后有 150维，降阶前后结构A处的频率响应，如图3所示。

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一 『图2约束阻尼悬臂板Fig．2 Cantilever Plate with Constrained Damping根据前面建立的约束阻尼板的振动方程及状态方程，采用Krylov缩聚理论计算结构的响应。

图3 A点的位移频响曲线Fig．3 Curves of Frequency Response at A由图3可知，采用Krylov子空间方法对约束阻尼结构进行模型降阶，降阶模型与原模型的频率响应曲线比较吻合。说明Krylov子空间降阶方法能使降阶模型保持原模型的动力学特性，可用于约束阻尼结构的动力学模型降阶，此外降阶幅度大，大大提高了计算效率。

5结论(1)针对两相材料约束阻尼结构的动力学建模与求解复杂的问题，基于能量原理，采用有限元方法建立了约束阻尼板结构的动力学方程。该方程能够准确描述约束阻尼结构的动力学特性。(2)采用Krylov子空间方法对约束阻尼结构进行模型降阶，降阶模型与原模型的频率响应曲线的吻合程度表明Krylov缩聚理论，不仅能明显提高求解的计算效率，而且使降阶模型保持原模型的动力学特性。(3)研究将为工程结构的约束阻尼减振降噪理论求解提供一条思路。

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从振型图可以看出，振动主要体现在行星轮和太阳轮上，内齿轮的振动相对较弱。其中行星齿轮和太阳轮的固有振型主要以轮齿圆周振动和扭振为主。第一阶振型主要是行星轮与太阳轮的圆周振动，从第-N第六阶振型图可以看出，斜齿行星轮系的振动主要体现在行星轮的振动上，说明斜齿行星传动系统中，行星齿轮更容易发生共振。故通过分析可得，单个齿轮发生共振的最主要的振动形式是圆周振动，并且在斜齿行星轮系结构中，行星轮相比于太阳轮更容易发生共振。

5结论利用 PRO／E软件建立了斜齿行星轮系参数化模型，通过接口技术导入 ANSYS中求解了斜齿行星轮系装配体的接触模态，得到了行星轮系的固有频率及对应的阵型，可作为在斜齿行星机构设计过程中使外激振频率避开齿轮系统固有频率的理论参考，避免传动系统发生共振。对斜齿行星轮系的模态振型分析可知，齿轮发生共振的主要形式是圆周振动，其中行星轮比太阳轮和内齿轮更容易发生共振现象，应在设计中避开共振区域。

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