一种考虑角速度波动的凸轮轮廓曲线修正方法

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在常规的凸轮机构设计方法中，凸轮的轮廓曲线是在凸轮角速度恒定的条件下，由从动件的运动规律决定的 。但在凸轮机构实际1：作中，从动件的运动规律却经常出现较大的运动偏差，甚至无法正常工作。究其原因，除了凸轮本身的制造及装配误筹的影响外，更深层的原因在于凸轮角速度波动造成的轮廓曲线设计偏差DI。常规的凸轮设计-般都局限于刚体机械系统，并没有将系统中各构件的弹性变化计入设计准则，而这些弹性变化会造成凸轮角速度的波动，主要体现在：(1)构件的惯性载荷，凸轮机构常用于控制作用，承受的r作载荷往往很小，但-般都承受着较复杂的惯性载荷，在这种情况下，凸轮角速度会产生波动，对系统的振动有着重要的影响，也影响了输出运动的精度；(2)构件的弹性，常规的凸轮设计-般假定构件为刚体，而要比较准确地设计凸轮轮廓曲线，尤其对于高速凸轮机构，必须考虑构件的弹性，否则会出现较大的运动误差 ；(3)原动机的机械特性 ，原动机在负载变化的情况下工作时，其转速并不保持恒定，负载变化越大，则造成的凸轮角速度的波动也越剧烈 。这些弹性因素的存在会综合影响凸轮角速度的波动，从而影响凸轮机构的输出运动规律。随着凸轮机构向轻量化、高速化及高精密方向发展，构件的柔度及惯性力都急剧增大，因此有必要将以上各因素的弹性变化考虑在内，从系统弹性动力学角度设计凸轮轮廓线 。拟研究包含原动机、减速机构及凸轮机构在内的系统动力学模型的建立，并寻求凸轮角速度的波动规律，探讨凸轮轮廓曲线的修正方法。为不失-般性，以如图 1所示的电机-齿轮减速器-摆动从动杆凸轮机构组成的机械系统为对象进行探讨，并通过-个具体算例进行验证。

(a) b)图1含摆动从动杆凸轮机构的系统Fig.1 The Cam System of Swinging Folower Member2弹性系统动力学方程的建立2.1电机-减速器子系统的动力学方程从图1(a)所示，可知齿轮减速器的传动比为：： -O)a： (1)来稿日期：2012-08-10基金项 目：江苏省首批高校优秀中青年骨干教师和校长境外研修计划项目资助作者简介：金旭星，1971-)，男，浙江浦江人，研究生，讲师，主要研究方向：机械创新与优化设计第6期 金旭星：-种考虑角速度波动的凸轮轮廓曲线修正方法 213式中： 、 -主动齿轮和从动齿轮的角速度； 、 -主动齿轮 下以-实例讨论轮廓曲线的修正，机械系统的参数，如表 1所示。

图 1(a)中的 为电机的驱动扭矩，根据电机的机械特性可表示为二次函数： 鼬 c ： (2)式中：A、B、c-由电机机械特性决定的常数，参照如图2所示。点A和 C分别为电机稳定运行阶段的起点和终点特征值，点曰为电机的额定工作点。

D图2电机的机械斗寺J陛曲线Fig.2 The Mechanical Characteristic Curve of Motor电机的扭矩平衡方程为： - - -( ) (3)式中： -作用于电机轴上的阻力矩； -阻尼器的阻尼系数；～ 电机转子和齿轮减速器的等效转动惯量。

设8为凸轮运动的角位移，则可得到电机-减速器子系统的动力学方程为： fA- ) (B-Ca)3i ( ) (4)2.2凸轮机构子系统的动力学方程如图 1(b)所示，设 妒为从动杆运动的角位移 ； 为外载荷扭矩； 为恢复弹簧的刚度系数； 为阻尼器的阻尼系数。

对于凸轮机构子系统，系统动能 E为：E 1 J32 1 4，b (5)式中： 、 -凸轮和从动杆的转动惯量 ，故：- 6 (6)(It外力和外力矩的功率P为： ( - )，brL，bg，b (7)式中： -从动杆的初始角位移。

得到凸轮机构子系统的动力学方程为： - ， --K( - ) - -c J (8)占2.3系统的动力学方程由子系统的动力学方程(4)和(8)可得整个机械系统的动力学方程为： 2 3拄 二 I ! ： 坚 f9)Z ( )6式(9)的建立过程中，计入了系统中各弹性因素的作用，既包含了机械系统的动力学特性-转动惯量、刚度系数及阻尼系数，又包含了系统所受的外力和电机的机械特性。若给定所期望的输出运动规律 (占)及任意的初始条件，就可以用数值方法求解该非线性微分方程，从而可求出保证给定输出运动时凸轮的角速度随时间变化的规律，即求 ∞6 。

3凸轮轮廓曲线的修正凸轮轮廓曲线的常规设计，无论是图解法还是解析法，都是在假定凸轮角速度恒定的条件下进行的。而根据系统弹性动力学的分析结果，凸轮的角速度波动显然会影响凸轮的轮廓曲线。以表 1摆动凸轮机构的机械系统参数Tab.1 The Mechanical System Parameterof Swinging Cam Mechanism电机参数 凸轮机构参数3.1凸轮角速度波动规律凸轮角速度的波动规律可通过求解二阶非线性微分方程式(9)得出，这里采用四阶龙格库塔法，它是求解机械运动微分方程的常用方法，具有较高的计算精度，而且能自动起步，给定了初始条件后无需借助其它算法即可逐步求解 。同时，利用相关的数学软件如MATI AB可拟合出精度较高的甬数表达式。

将表 1中的参数代人系统动力学方程(9)，为不失-般性 ，设定初始条件 占(0)0，C.O 0 (0)耵，从动杆按简谐规律 9-0.5cos运动。数值分析时，在 MATI AB中编制-个与式(10)对应的程序史件，再利用其包含的四阶龙格库塔算法拈ode45”进行求解，最后利用曲线拟合命令Cftool”可得到精度较高的函数表达式，本例拟合得到的考虑凸轮角速度波动时的实际角速度表达式为：O)b6：3.67e-9.884t3.1880.00213sin2t-0.0192cost-0.0762sint (10)从式(10)可以看出，该凸轮的实际角速度表达式为-个五项式，经过对各弹性因素值拟合路径的分析，可知其中的第～、二项反映了电机机械特性的影响，其中，第二项的数值为 3.188(rad/s)，与表 1中的 值非秤近，说明这个值是凸轮角速度波动的稳态值，至于两者之间的偏差，则是由拟合过程的误差造成，但这也从另-角度验证了式(1O)的高度可靠性。第三、四项代表着凸轮机构的弹性影响效应，第五项则蕴含了齿轮减速器的弹性因素对凸轮角速度的影响。与 相比，除了第二项稳态值外，其余各项的变化幅值都很小，符合凸轮角速度的实际波动状况，各弹性因素的影响响应，如图3所示。

图3各弹性因素对凸轮角速度的波动响应Fig.3 Angular Velocity Fluctuation Results ofthe Cam From Flexibility Factors由图 3可知，电机的机械特性对凸轮角速度的影响只局限于启动阶段，虽然波动最大，但时间很短；减速器和凸轮机构的弹性影响虽然较小 ，但这种对凸轮角速度的波动贯穿整个运行过214 机械设计与制造No.6June.2013程，且两者的相位呈现错位现象；启动时，凸轮机构和减速器的弹性效应都对凸轮的角速度起了阻碍作用，而且减速器更明显，主要原因在于-是减速器在传动链的前级，二是其转动 对较大。当从动杆的载荷变小时，基于各自的转动惯量原因，凸轮机构和减速器都对凸轮的角速度起了助推作用，从而增大了凸轮的角速度∩见，凸轮的实际角速度的波动综合了以上三种弹性因素的影响。

3.2考虑角速度波动的凸轮轮廓曲线解析法设计摆动滚子从动件凸轮的轮廓曲线日，如图4所示。

凸轮以角速度叫逆时针转动，凸轮回转中心0与从动杆回转中心。的距离为a，从动杆长度f，利用反转法原理，可得曲线上任-点曰的坐标为：xasinS-lsin(脚 n )，y-acos&-/cos(脚 n ) (11)图4解析法设计滚子从动件凸轮轮廓曲线Fig.4 The Pmfile Curve Design of Roler FolowerCam by Analytical Method为进行量化比较，揉离为a35mm，从动杆长度/20mm，0--0.5。则按常规设计法时，即凸轮按照角速度 0'It等速转动时，其轮廓线的表达式为：x35sin(art)-20sin['rt0.5cos('rrt)0.5]y35cos(wt)-20cos['trtO.5cos(7rt)0.5] (12)若考虑凸轮的角速度波动，则以式(10)积分-次所得8(t)代入式(11)，则有：x35sin[B(t)]-20sin[c$(t)pO.5]y35cos[8(t)]-20cos[8(t) 0.5] (13)式(12)可描述凸轮角速度恒定时的凸轮轮廓曲线，即按照常规设计方法所得的原始轮廓曲线，而由式(13)可得到凸轮的修正轮廓曲线，则融合了机械系统中各弹性因素影响后的凸轮角速度波动，更加符合客观现实，两者的比较，如图5所示。由图5可知，当考虑系统弹性对凸轮角速度的波动影响时，按照解析法设计出的凸轮轮廓曲线与凸轮角速度恒定得到的结果存在差异。与原始轮廓曲线相比，在摆动从动件的两个最大行程位置处，修正后的凸轮曲线向径明显增大，说明在这两个位置时，系统弹性对凸轮角速度的综合影响表现为较大的减速作用；而在两个最小行程位置处，修正后的凸轮曲线向径却明显减小，此时，系统弹性对凸轮角速度的综合影响则表现为较大的增速作用；在曲线的其余位置，两种设计结果基本吻合，且曲线过渡圆滑，说明凸轮在这些工作位置时，角速度的波动很小，这也与图3得到的结论相呼应。

图5修正后的凸轮轮廓曲线Fig.5 The Corrected Profile Curve of Cam4结论(1)原动机的机械特性及传动机构的弹性变化都会影响凸轮角速度的波动，原动机只影响启动阶段，传动机构则影响整个工作过程。

(2)若弹性变化因素的惯量不同，在系统传动链的位置不同，则对凸轮角速度波动的影响效果也不同，并且存在着相位差，凸轮角速度的波动是多种因素影响的综合。

(3)在从动件的极限行程位置，凸轮角速度的波动最剧烈。

修正凸轮轮廓曲线时，在从动件处于最大行程位置区域，应适度增大向径，在处于最小行程位置区域，则应适度减小向径。

(4)弹性动力学系统方程是依据电机-齿轮减速器-摆动从动件凸轮机构导出的，其方法具有-般性。对于其它凸轮机构的轮廓曲线修正问题，有-定的参考意义。