基于粒子群的可靠度重要抽样方法

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模拟是基于对现实所作的假设和所构思的模型来复制真实世界的过程。模拟方法有理论和试验两种方法。理论模拟实际上是-种数值或计算机试验方法。在工程上，模拟可用于预测或考察-个系统关于系统参数或设计变量的性能或响应，从而评价替代设计或确定最优设计。随着计算机的发展，模拟方法已变得非常普遍。当问题涉及已知概率分布的随机变量时，就需要进行Monte Carlo(MC)模拟。-方面，MC方法所得到随机变量的样本点多集中在随机变量的均值点附近；另-方面，实际的产品的失效应为小概率事件，因而均值点处于可靠域而不在极限状态曲面上。由于以上的两个方面，使得在使用MC方法时落在失效域内的样本点很少，因此对失效概率很小的问题，直接应用MC模拟方法效率很低。于是学者们提出了-类针对 MC的改进方法：重要抽样方法(Importance Sampling，iS)t。文献蹴 重要抽样方法在可靠性计算上的应用做了较为深人的研究；Au和Beck基于物理化学中的Markov仿真，提出-种自适应重要抽样方法 ；文献嘲提出-种 球重要抽样方法。重要抽样方法作为-种改进的MC方法，其计算效率有较大的提高，但对于高维的工程问题，重要抽样方法需要解决的关键问题是构造重要抽样密度函数。目前构造重要抽样密度函数的-般方法是：将重要抽样的密度函数中心放在极限状态方程的设计点，从而使得按照重要抽样密度函数抽取的样本点有较大地比率落在对失效概率贡献较大的区域，进而使得通过模拟算法得到的失效概率结果较决地收敛于真值圈。因此，在应用重要抽样方法时，-个关键的问题是如何确定设计点。尝试采用粒子群优化算法来解决这个问题。

2粒子群算法粒子群算法是文献1995年首次提出的。文献[7在 1998年对粒子群算法引入了惯性权重 ，并提出了在进化过程中线性调整惯性权重的方法，来平衡全局和局部搜索的性能。该方法被学者们称为标准的PSO算法。至PSO方法诞生以来，对标准IX30算来稿日期 ：2012-08-l1基金项目：国家高技术研究发展计划(863计划)(2006AA04Z405)作者简介：郭秩维，(1981-)，男，山东人，博士，工程师，主要研究方向：强度，寿命及可靠性分析；白广忱，(1962-)，男，北京人，博士，教授，主要研究方向：可靠性分析与设计252 郭秩维等：基于粒子群的可靠度重要抽样方法 第6期法的改进方法就层出不穷。提出采用基于扩展域的PSO方法来求解最优化问题。

minf(x)s.t c ( )≤0， il，2，，n；dj(x)-0， jl，2，，m；∈lXkrtln#f J，kl，2，，n (1)下面构造-个约束冲突函数 Vio(x)，它将粒子群中的点分成两类。-类是可行点，另-类是不可行点。函数Vio(x)定义如下rio( )∑max[c ( )，0]∑f ( ) (2)根据公式(2)，对于任意的可行点都满足 Vio(x)O，对于任意的不可行点都满足Vio(x)>O。同时，函数Vio(x)也描述了不可行点对约束违反程度的大校Vio(x)越大表明不可行点违反约束的程度越大，反之则越校定义扩展域控制变量8，对于给定的任意两个搜索点 。和 下面分四种情况定义两个搜索点的优劣：(1)如果搜索点 ，和 都在扩展域内，即Vio(x，) 并且Vio(x：)Q，则当，( 。) x：)时，搜索点 .比 为优；(2)如果 Vio(x )Vio(x )，则当，( ) ( )时，搜索点 比2为优；(3)如果搜索点 。和 都在扩展域外，即 Vio(x。) 并且Vio(x2) ，当Vio(x1)s，则搜索点 比 为优。

扩展域控制变量8是随粒子群的进化逐渐变化的量，这里采用文献 介绍的策略。

为了使粒子更快地聚集到最优点，这里采用如下粒子群更新策略：(J1) (＆)× ) ( )Ixsgn(v )rx[p (矗)-x ( )](1-r)x[po( ) ( )] (3)式中： -粒子在当前代的最好位置，互J( ) (k)l控制着粒子当前代的运动步长，sgn(v )决定着运动方向。当粒子群在更新过程中，产生越界时，采用如下限定策略：(J)弓( )r× (%)l， ( )< ； (4)( ) ( )r×l ( )I， (后) - (5)式中：r--均匀分布随机数；面-粒子群的平均位置。

3基于粒子群的重要抽样方法在重要抽样方法中，假设重要抽样概率密度函数为 ( )，则失效概率p，可写为： ㈤ ㈤ [错 ㈤] (6)若用 v)对 进行抽样，得到样本Ui(U ，A， )r，则PJ的点估计值为： ，[＆( )] 专 (7)- 般 ( )的具体形式可取为正态分布的联合概率密度函数。 ( )中各个分量为相互独立的正态随机变量，其均值取为设计点，方差可取为对应随机变量方差的(1～2)倍。

当随机向量 ( ，X：，A， ) 的各个分量相互独立时，公式(7)中的 ( )/h v )可进-步分解成：器鼻 ㈤若随机向量 ( .，X ，A， ) 之间存在相关性 ，可通过-系列变换将 变换为独立标准正态空间中的变量 ，其相应的功能函数变为 ( ) (u)。则在独立标准正态空间中，失效概率的解析表达式为：p，I (u)du (9)式中： (u)-独立标准正态联合概率密度函数。按照重要性抽样方法，结合公式(6)和(7)，pr的估计值可写为： ( )] (10)基于粒子群的自适应重要性抽样方法 (Adaptive importancesampling based on particle swarm method，AISP)就是利用粒子群的约束优化算法，求解极限状态方程 ( )0( ( )0)对应的最可能失效点，将此点作为 ( )的均值点，从而确定重要密度函数ho( )的抽样中心，并根据确定的联合概率密度函数hv( )进行抽样，从而计算结构舰 构的失效概率。其基本步骤如下：(1)利用粒子群约束优化算法计算极限状态方程的设计点 ；(2)以设计点V为抽样中心构造重要抽样密度函数 (口)，并由 ( )产生 n个随机样本点 F( ， ，A，V )( 1，2，，n)～随机样本 代人功能函数，根据状态指示函数，[ ( )]或，[ ( )]对 ( )/h (巩)或( ) ( )进行累加 ，；(3)根据公式(7)或(10)求得失效概率的点估计值。

4算例算例 l假设结构的极限状态方程为：g(X)-X2X3X4- )其中， 。至 ，服从正态分布，各个随机变量的数字特征，如表 1所示。

表 1随机变量数字特征Tab.1 Ntmerical Characteristic of DistribtJtion随机变量 xl x2 X3 X4 X5 X6 X7均值 O.Ol 0，3 360 2.26E-4 0.5 O.12 40变异系数 0.3 0.05 0.10 0.05 O.10 O.05 0.15直接抽样方法(MCS)和基于粒子群的自适应重要抽样方法(AISP)的计算结果，如表 2所示。

表 2 MCS与 AISP方法计算结果对比Tab.2 Comparison of Results Between MCS and AISP表中：，r--防真模拟的次数；由于 ，-随机变量的函数，在相同的仿真次数下， 的值也会有波动，因此这里采用 的样本均值和样本变异系数来对比两种方法的计算结果。

从表2中可以发现，在相同的仿真模拟次数下，AISP方法的样本变异系数要小于MCS方法，即在较少的仿真次数下即可收敛于问题的解。算例2本例考虑卫星帆板展开机构的磨损可靠性问题。卫星帆板展开机构的示意图如图 1所示。卫星帆板展开机No.6June.2013 机 械 设 计 与制 造 253构的仿真样机，如图2所示。其由卫星本体、摇臂以及帆板组成。

卫星本体与摇臂、摇臂与帆板之间通过铰链联接，传递运动。这里考虑铰链的磨损问题，其可靠性模型为：在规定的机构展开次数Ⅳ下，铰链的磨损量 不能超过设计允许的磨损量 。相应的功能函数的数学表达式为gW -w(kl，k2，D1，D2， l， 2，E1， ，钾，L，P) (12)式中： -铰链的磨损量； 厂销的线磨损系数；尼-彳L的线磨损系数；D -销的直径； L的直径； 。-销材料的泊松比；E -弹性模量； 厂I孑L材料的泊松比；E厂弹性模量； 孑L和销的接触长度；埘-铰链处的角速度； -铰接力函数。

其中D。，JD ，E.，，E：和，J是正态随机变量，其分布特征，如表3所示。k。和k：为常数，数值为7.8e-8；销材料的泊松比为0-3，孔材料的泊松比为0.34÷链处的角速度和铰接力，可通过机构仿真软件计算得到。在不同展开次数下，如表4所示。不同方法得到的结果。

铰链 5 铰链 1 铰链 2摇臂 铰链 6卫星本体图 1卫星帆板展开机构示意图Fig.1 Satellite Panel Diagram图 2卫星帆板展开机构仿真样机Fig.2 Satelite Panel Simulation Model表 3卫星帆板展开机构设计变量随机特征Tab.3 NumericaI Characteristic of Distributionof Design Variables for a Satelite Panel表4不同仿真次数下的MCS和AISP方法的计算结果Tab.4 Comparison of Results about Diferent SimulationNumbers Between MCS and AISP算例 3本例考察有限宽度的平板其边缘受到交变载荷作用下的裂纹扩展寿命的概率分析问题。其示意图，如图3所示。其中ai为裂纹的初始长度 ，as为裂纹的断裂长度，△ 为载荷变化范围。其功能函数为：鲁Ⅳ(△ ，a/，C，K，c)-Ⅳ幽 (13)式中：c-Paris常数；K -断裂韧陛常数；～ -设计循环数。

各个变量的分布类型及数字特征，如表5所示。表6列出不同方法的失效概率的计算结果，如表6所示。

图3平板裂纹扩展示意图Fig.3 Crack Propagation Diagram of a Pan el表 5平板问题设计变量的随机数字特征Tab.5 Numerical Characteristic of Distribution ofDesign Variables for a Panel表 6平板问题不同方法的计算结果Tab.6 Comparison of Results of DiferentMethods for a Panel Problem5总结提出-种基于扩展域粒子群算法求解结构/机构可靠度问题的新方法，即基于粒子群的自适应重要性抽样方法(AISP)方法。

方法的核心思想是通过粒子群优化算法求解极限状态方程对应的最可能失效点，以此点作为重要抽样函数的抽样中心，并根据确定的联合概率密度函数进行抽样。方法本身不受问题维数的限制，并且方法求解过程中，仅仅需要功能函数的响应值，而不需要进行相应的梯度计算，因此不管求解的可靠度问题为显式问题或是隐式问题，方法都可适用，克服了以往重要抽样方法的不足。计算结果表明：提出的AISP方法计算精度与已有的方法计算精度相当；在相同的仿真次数下，失效概率的预测精度要好于MCS方法，即采用比MCS方法较少的仿真计算，即可得到较好的计算结果，提高了计算效率。