旋转机械振动信号压缩小波基优化选取方法

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随着计算机网络的发展及企业设备管理水平的提高，大型旋转机械振动信号的在线监测和诊断系统正朝着多机网络化和远程诊断的方向发展1]。由于振动信号的数据量非常大，会对网络传输构成很大的压力，所以在传输前对旋转机械振动信号进行数据压缩，无论对减少传输时所用的带宽或减少存储容量，还是减少传输和存储时的出错，都具有重要意义。对于旋转机械振动信号的压缩，目前常用的压缩方法主要有数据席、正交变换和预测编码等 ]。其中，因为小波变换具有非常好的刻画时频局部特征的能力 ，所 以特别适用于旋转机械振动信号的压缩 。但是 ，可以用于小波变换 的小波基有很多，旋转机械故障信号也是多种多样 的，特别是复杂的突变类信号 ，含有丰富的高频分量。如何通过选择-个合适的小波基，在保证-定压缩比的前提下，旧能保留原始振动信号中完备的故障特征信息就非常关键◆支撑 、消失矩 、正则性、对称性及正交性是小波的重要属性，也是进行小波基选取所参考的基本要素4]。因此，笔者将首先给出小波压缩的通用方法，然后分析旋转机械振动信号的特点及小波基的几个重要属性 。通过 以上分析 ，给 出旋转机 国家自然科学基金资助项 目(51135001)收稿日期：2011-09-2O；修改稿收到日期：2011-12-23械振动信号压缩过程中小波基的选取方法。

1 基于小波的阈值压缩方法信号压缩编码的通用流程分为以下 3步 ：采样 、量化、编码。其中如果采样满足乃奎斯特定理，则每秒取样数已确定，那么数据率或信噪比将主要撒于每个样值的量化过程 。通过小波变换 ，最大化地去除时域信号的相关性，并根据信号在不同子带内的能量特点 ，分配不同比特以达到压缩总 比特数 的目的。

20世纪 90年代初 ，Donoho提出了非线性小波阈值的概念5]，其中心思想是在含噪信号小波分解后的各层系数中，对大于和小于某-阈值的小波系数分别进行处理，然后再利用处理后得到的小波系数重构原信号。阈值主要包括硬阈值和软阈值，其中阈值函数的选择十分关键，大量的文献给出了阈值函数的选 择方法l6 ]，主要可分 成 以下 4种口 ：a.固定阈值；b.Stein无偏似然估计阈值；e.启发式阈值 ；d.极大极小阈值 。

近年来 ，随着小波理论的不断发展 ，又出现了很多创新性 的阈值 压缩思想，如 Birge-Massart策略 、均衡稀疏标准口引、去近零值口 、保 留特定能量阈值法等1 、能量相关性 阈值口 以及分层 阈438 振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷值m 和梯度阈值 " 等。这极大地丰富了小波的阈值压缩理论，使阈值压缩方法成为了现在小波信号压缩的主流方法。

转机械故障(如碰磨、轴划痕)的突变类信号往往是周期性的，必须尽量减小小波的紧支撑长度，以减少大幅值小波系数的数量。

2 旋转机械振动信号的特点 3·2 消失矩转子系统是-个多 自由度振动系统 ，转子的强迫振动和自激振动可能产生不同的故障特征信号。

但是振动信号的整体特征总可用其工频及主要倍频和分频来表征，设旋转机械振动信号经过数据采集后形成的离散化时间序列为 F(nat)，At为采样周期 ，则为NF(nat)- >：A COS( At ) (1)i- 1还有-些特殊故障，如碰摩、轴固有缺陷和-些齿轮箱的故障，其在时域波形上的反映会有所不同。这些故障会在时间波形上产生突变类信号F (nAt)，另外若考虑噪声信号 F (nat)，则-个振动信号的完整描述为NF(nAt)：> A cos(o At0 )i- 1F (nat) F (nAt) (2)由式(2)可以看 出，在满足-定压缩 比的情况下，为了不引起误诊断，必须完整保留突变类信号成分F (nAt)，这是人们进行小波选取时的重要参考。

3 小波基的几种重要属性及其对信号压缩的影响在基于小波变换的旋转机械振动信号的压缩过程中，对于小波基选择，主要考虑以下 5个因素口引：a.紧支撑长度 ；b.消失矩 ；C.正则性 ；d.对称性 ；e.正交性。

3.1 紧支撑长度紧支撑小波能满足空间局部性要求，按照紧支撑特性可以将小波分为两类：-类是频域紧支撑的，对应于滤波器组中的IIR型滤波器，称为 Meyer型小波 ；另-类是时域紧支撑的 ，对应于滤波器组中的FIR型滤波器，称为 Daubechies型小波。由滤波器特点可知，除非截断为有限长 ，否则 Meyer型小波无法用于离散小波变换 ，为了避免截断误差 ，-般要求采用时域紧支撑的 Daubechies型小波。

此外，如果信号在紧支撑小波的内部有-孤立奇点，那么可能会产生大幅值的小波系数。表征旋小波消失矩与信号压缩编码效率有很大关系，本文称小波 具有 N 阶消失矩 ，当对于-切正整数 走

Ingrid Daubechies指出[1 ，当所选用小波的消失矩高于-个函数 厂( )在-个区间上的-致 Lips-chitz指数时，随着小波分解尺度的增加，小波幅值按如下关系变化 。

定理 设 -厂(z)∈L (R)在点 z。上为 Lipschitz，若小波消失矩 N满足 N≥a，则存在常数 A>0，使得对于z。的-个邻域内的所有点 z和任意尺度S>0，有f (，s)I≤ A(s I z-z。f。) (4)由此可见，随着小波分解尺度的增加，高消失矩的小波能在更迅速的衰减小波系数 的同时，改变 同- 子带内振动信号正则性不同的组成部分的幅值对比。但是，如果-个小波的消失矩 R，则它对应的滤波器长度不少 于 2R。这说 明消失矩越高也意 味着小波函数紧支撑 区间越 大，越不利于局部化分析。

根据被处理信号的特点选择具有适当消失矩的小波，文献[2O]在这方面做了广泛的研究。

3.3 正则性尺度函数正则性与小波的消失矩具有很强的相关性 ，对于-般的尺度函数 ，高的正则性对应于相应小波函数高的消失矩r2 。

设尺度函数 ( )的 N 阶导数存在 ，对于任意 t，I8∈R，若有I ( l9)- l< f I l。 (5)其 中：0

根据上面的定义可以看出，具有 Na阶正则性的尺度函数 -定是 N阶连续可微的，这说明正则性可以有效地表征尺度函数 ( )在 时域 中的光滑度及在频域中的能量集中程度。由上面对于旋转机械振动信号的分析，其整体特征函数可以表征为若干三角函数基的线性组合，具有无穷的正则性。

也就是说在其他条件相同的情况下，选用的尺度函数正则性越高，对应的压缩重构信号的误差越校第 3期 翁 浩，等：旋转机械振动信号压缩小波基优化选取方法文献E22-243给出了尺度函数正则性的评估和构造方法。

3.4 对称性具有对称性 的小 波基 因其具有线性相位 的特点，可以提高信号处理和压缩重构的质量。小波函数 如果满足：a. (口4- )- (口-)，t，a∈R，则称小波是对称(偶对称)的；b. (口 )- (＆- )，t，a∈R，则称小波是反对称(奇对称)的。

对称或反对称小波可以由具有线性相位的完全重构滤波器生成 引∩以证明，如果有限长滤波器和h有奇数个非零样点且关于 n0对称，那么尺度函数 和 关于 -0对称 ，而小波 函数 和 关于移位后的中心对称。如果 h和 有偶数个非零样点且关于 -1/2对称 ，那么 和 关于 t-1/2对称 ，而 和 关于移位后 的中心反对称 。

对于旋转机械振动信号压缩而言，小波基的对称性主要影响振动信号突变类的信号成分 ]。使用非对称小波基进行分解后，突变类信号形成方向相反，大小不等的两个峰值。如果采用软硬阈值压缩的方法，如果阈值选取不适当，其中-个峰值极有可能被滤掉，从而产生重构失真。此外 ，非对称性小波在分析突变信号时，会产生同-突变点在不同尺度上的位移现象，若使用完全阈值压缩的方法，-部分非噪声的突变点也很有可能被滤掉，从而引起比较大的重构失真。

3.5 正交性正交小波基是由-个小波母函数经过伸缩和平移， ( )- 2 ， (2 t- ，2) (m， ∈ Z) (6)构成的 L。的-个标准正交基 ]。由此构成不 同尺度 的小波子空间也是原空间 L (R)的正交 子空间。

而双正交小波由于将满足尺度空间的平移正交性和小波空间的分解正交性条件放宽，故存在-个尺度函数和小波函数与原空间对应的小波函数和尺度函数分别正交的对偶空间，所以在滤波器的设计上有更大的自由度。

1)因为非紧支撑的小波无法用于离散小波变换，所以振动信号的压缩要求使用紧支撑的小波。

2)可以在双正交空间里构造正反对称的尺度函数和小波函数从而得到线性相位的分解和重构滤波器。而 Ingrid Daubechies已经严格 证 明了在 紧支撑正交小波中除了haar小波外，其余小波是不可能同时具有对称性和紧支撑特性的。

3)双正交小波 由于不是对于 L (R)的正交分解，相同消失矩条件下往往具有更长的支撑，且不同子带之间存在着相关冗余，这将导致更大的小波系数和更长的子带长度。

4 最优小波基的选择基于以上的分析，可以得出基于小波的旋转机械振动信号压缩的-般要求：1)减小原始信号的时域相关性，使变换以后的小波系数旧能少，幅值旧能小；2)提高重构信号的信噪比的同时，特别注意保留与系统故障有关的信息。

4.1 相同消失矩情况下不同类型小波的横向比较4.1.1 正 交 小 波紧支撑正交小波分解能够满足去除各子带数据相关性的要求，但是由于不具备线性相位，可能减小重构信噪比，所以，可以通过选择具有近似线性相位的小波来优化小波基的选择。Daubechies型小波是最为经典的紧支撑正交小波，其构造公式为1 H(co)1 -(c。s号)P 1-COS2詈)(7)其中：H(co)为尺度函数共轭镜像滤波器的频域形式 ；P 为 - 个 多 项 式 ，满 足 ：P (Y) -0 L J通过选择多项式 P 中关于单位圆对称的复根(实根)对来构造长度为 的滤波器 h 可以得到最接近于线性相位的滤波器I H((o)I ：NU( )NU(1/z) (8)其中：wu(z)满足1 己，( )I -P (sin (詈))的最低次数多项式的根。

若 U(z)根的模平方小于 1，就是 Daubechies小波；若大于 1，这就是 Symlets小波。

另外，根据 R Coifman对于小波函数的要求，即小波函数 2N阶矩为零，尺度函数 2N-1阶矩为零，Daubechies构建了Coiflets小波，其具有更好的440 振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷对称性和更大的消失矩，但是代价是增加 了紧支撑长度。

4.1.2 双 正 交小波双正交条件相对于正交条件有所宽松 ，因此在小波基的构造上 表现 出更大的灵活性 ∩以构造出对称或反对称的小波，从而提高信号的重构精度。在双正交小波 中，性 能最 好的是 Cohen、Dau-bechies和Feauveau基于样条函数构建的CDF(Co-hen-Daubechies-Feauveau)双正交小波 (bior)，其具有以下 4个特点 ：a.滤波器的个数有限；b.系数全为有理数 .c.对称性；d，线性相位。

但是 CDF小波分解由于不是对原信号的正交分解，所以分解后各个子带的小波系数仍存在相关性冗余；另外在 CDF小波中，分解滤波器的长度 L是由分析小波的消失矩 N 和重构小波的正则性 N共同决定的L- 2N N - 1 (9)所以在相同消失矩的情况下，CDF小波至少有 2倍的紧支撑长度。典型正交与双正交小波的时域波形如图 1所示 。

t/s(a)db2t/S(c)coifl3之- - 2t/s(b)sym2t/s(dbior2.2图1 典型正交与双正交小波的时域波形4.2 小波的消失矩与支撑长度的折衷由上面的分析可知，-个振动信号可由整体特征信号、突变类信号和噪声信号构成。对于整体特征信号 ，由于其具有无穷可微性 ，所以高消失矩的小波函数在细尺度下会有效地衰减小波系数。另外文献[17]证明，小波函数正则性阶数 r越高，信号压缩后重建的效果越好 ，只是重构效果 的改善速度还与构造滤波器h( )的长度有关，随着h( )的长度的增大，重构效果改善趋于不明显。

为了取得更大的压缩 比，-个直观的方法是提高处理小波系数的阈值 ，让旧能多的连续小波系数为零 ，为以后 的编码创造条件。那么根据上面的分析 ，需要小波根据原信号的正则性特点满足-定的消失矩要求，使突变类信号随着尺度的增加而增大 ，噪声信号随尺度的增加而减小 。

5 实 验5.1 实验 I：选择适当的小波消失矩5.1.1 实验设计现用-个实例来详细 比较不同种类的小波，在不 同消失矩的情况下，用于旋转机械振动信号压缩的效果 。2008年 12月 25日，中国石油东北某大型炼化公司某化工厂 EC301透平压缩机组工作 出现异常，经诊断为气流激振与轴表面划痕组合故障。

图 2为压缩机轴振动 的时域波形图和频谱 ，采样频率为 5 120 Hz，采样点数为 1 024。

15010050吾0坚- 5O- 100- 150目、 趔0 200 400 600 800 1 000 1 200采样点数(a)时域波形0图 2500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000f/Hz(b)频谱压缩机轴振动的时域波形和频谱对图2所示振动信号进行小波压缩编码，具体过程如下。

1)选择小波函数在讨论最优小波的选择方法中，由于只有有限∞ 如 加 m 0第 3期 翁 浩，等：旋转机械振动信号压缩小波基优化选取方法 441支撑的小波可用于离散小波变换。所以，为了简化问题 ，只考虑 haar，db，sym及 coif四种紧支撑正交小波，-种双正交小波 biorNr.Nd和-种非紧支撑截断小波 dmey。

2)小波分解对图 2所示的轴振动信号进行小波分解，分解层数为 3层，得到完整的子带小波系数。

3)阈值压缩选择阈值确定不同类型的小波 系数 ，分配不同的比特量化。为了简单起见，考虑不分配比特给小于阈值的小波系数 ，即将幅值 小于阈值 的小波系数置零。阈值函数为 Donoho-Johnstone提出的-致阈值确定模型l7]，如式(10)所示T- /2log (10)其中： 为噪声信号的均方差； 为离散信号长度。

4)系数编码对剩余系数进行熵编码来降低数码率，实验采用 Huffman编码。

5)信号重构信号重构过程为压缩过程的逆过程，并求出重构信号的频谱。

5.1.2 实验 分析从信号压缩的角度考虑，直观的想法当然希望选择的小波函数能在产生高压缩比的同时，保证信号高的重构信噪比。但同时也应该看到 ，在 以图 2为代表的复杂组合故障中，信号的高频部分包含了丰富的突变类信息。如何通过选择适当的小波消失矩，在满足-定压缩比的同时，完整地保留这些突变类故障信息，是首先要考虑的问题。

上述 6种小波所得的不同峰值信噪比如表 1所示，信噪比(Signal-to-noise ratio，简称 SNR)定义如下.2SNR - 10× log1o (11)N 1 - N-1其中： 。-- ∑ (-z - )。；D-- 1∑ (z -； )。； 1 z- 1- N- 1- ∑ -z ； 为原始信号的离散值；3～2 为重构信 i号的离散值 ；z为原始信号的平均值。

由上面 6种不同小波在真实复杂故障振动信号压缩中实验比较发现，高消失矩对于振动信号高频部分 的衰减是非常明显 的。对于 db和 sym两种正交小波，高的消失矩可以使信号能量更多地集中于表 1 -致 阈值模型 中各种小波的峰值信噪 比表小波消失矩 coif dmey biorNr.Nd38.412f/kHz(c)sym4kI-Iz(d)sym5图 3 常用小波压缩 重构频谱 (db2～db7) 图 4 常用小波压缩重构频谱(sym2～sym7)2 6 O 4 8 鹃 弘 ∞3 9 3 O 9 即诣 船7 8 7 卯 ∞船1 [u 9 7 4 7 诣 % 硒钉 ∞ ∞1 5 4 2 4 8 阻 ∞ ∞∞ ∞1 2 3 4 5 6 7 m442 振 动、测 试 与 诊 断 第 33卷h h h h 图 5 常用小波压缩重构频谱(haar，coil1～coifS)h 鲁4 n垂图6 常用小波压缩重构频谱(dmey，bior1.1blor2.4)小波分解 的低频部分 。此外对于正交情况，分解 和重构的小波函数是完全相 同的，高消失矩的小波同时也具有高的正则性 ，时域函数更加光滑，从而有效地提升了信号重构的信噪 比。对于 coif小波，虽然构建的方式与以上两种小波相同，但是其具有更宽的支撑长度 ，时域波形也更接近于对称 ，所以在相同消失矩的情况下具有更高 的重构信噪 比。同理，具有完全对称性的双正交小波具有更高的信噪比。但值得-提的是，对于双正交小波而言 ，选择高正则性的对偶重构小波同样有助于提高信噪比。

观察不 同小波在不同消失矩情况下重构波形的频谱发现，高消失矩小波有效衰减高尺度系数的能力会使重构信号的高频分量损失严重(如 dmey小波)，这会使突变类信号所表征的故障无法识别，从而引起误诊断。所以不能片面地仅凭信噪比来选择高消失矩小波，从全面的表征旋转机械故障信息的角度考虑，恰恰应该采用低消失矩的小波。

5.2 实验 1I：选择适当的小波从频谱 图上看 haar，db2，sym2，coifl，bior1.1和 bior1.3六种低消失矩小波能够有效地保 留振动信号的高频信息 。通过使用不同的置零阈值来确定在使用以上小波进行振动信号压缩过程中，压缩比与重构信噪比之间的关系 ，进-步横 向比较 6种小波的压缩性能。

5.2.1 实验设 计仍然选用实验 工的故障振动信号进行压缩，通过不断提高阈值，减少压缩后的剩余小波系数。对于压缩信号进行重构，并给出应用不同小波函数进行压缩后压缩比与重构信噪比之间的关系，绘制了关系曲线。文中采用的压缩比与信噪比定义如下。

压缩比为压缩后数据 比特数 占原始信号比特数的百分比。

信噪比(SNR)为2SNR - 10× log10 (12)，、 1 ～- 1其中：0-2- (Xi m )。；D- (Xi-； ) ； -1∑ ；c 为原始信号的离散值； 为重构信号的 i- 1离散值； 为原始信号的平均值。

5.2.2 实验分析图 7给出了应用不 同小波 函数进行压缩后，压缩 比与重构信噪比(SNR)之间的关系曲线 。

由图 7可以看 出，在高压缩 比的情况下 (压缩t：L>45 )，压缩阈值 比较大，由于双正交小波 同时具有对称性和线性相位 ，所 以可在相 同压缩 比的情况下取得更大的信 噪比。在双正交小波中，重构滤波器的长度对应着尺度 函数的正则性 ，由本研究对于正则性的分析可知 ，高正则性的重构尺度函数能信噪比/dB图 7 典型低消失矩小波压缩比与重构信噪比关系曲线∞ 能 舭 铊 ∞ 弘 如丑好第 3期 翁 浩，等：旋转机械振动信号压缩小波基优化选取方法 443在相同条件下减小重构误差，所以在高压缩比的情况下，bior1.3小波的效果最好。

随着压缩比的不断升高，haar小波因为同时具有正交性和对称性 ，所 以取得了很好的重构信噪比。

但是由于 haar小波完全不具备光滑性，所以无法用于实际实际信号压缩，只能作为理论研究参考。双正交小波虽然子带信号之间有-定的相关冗余，但是总体效果依然与 haar小波相近，所以综上所述，在复杂旋转机械振动信号的压缩过程中，应该尽量选择低分解消失矩、高重构正则性的双正交小波。

6 结束语通过以上分析可以看出，恰当地选择小波基确实有助提高旋转机械振动信号的压缩性能。而小波基的选择需要从小波自身特点和振动信号特点两方面来考虑。小波函数的属性包括消失矩、正则性、正交性、对称性及紧支撑性等。离散小波变换要求小波具备紧支撑特性，而消失矩、正则性及对称性均有助于提高重构信噪比，正交性有助于提高压缩比。

从旋转机械振动信号特点来分析，以周期信号为主的故障信号，应该选择高消失矩的小波，有助于在相同信噪比要求下，提高压缩比。以突变类信号为主的故障信号，应该选择低消失矩的小波，有助于保留完备的故障信息，而其中低分解消失矩，高重构正则性的双正交小波是相对适合的。