基于状态空间模型的精密机床装配精度预测与调整工艺

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Assembly Accuracy Prediction and Adj ustment Process Modeling ofPrecision Machine Tool Based on State Space M odelHONG Jun GUO Junkang LIU Zhigang W U Xiaopan(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering，Xian Jiaotong University，Xian 710049)Abstract：In precision machine assembly process，the product quality is not only depended on the tolerance design，but also on theassurance of the assembly process planning.Therefore，there is a strong need to develop a mathematical analysis method to predictan d control the variation in assembly process，an d to find out the assembly process efect to final accuracy.By the expression of thevariation state in diferent assembly process in form of diferential motion vector(DMV)method，a generic mathematical model thatdirectly links variation of key characteristics(KCs)and the assembly process variation SOurCes is built.The state space modeldescribing variation propagation of KCs in machine tool assembly，measurement and adjustment is proposed.Based on this model，the efect of current assembly and adjustment process to final accuracy can be predicted to decide the current adjustment method tothe final assembly accuracy assurance.The methodS validity is verified by a simulation of the assembly of a precision horizontalmachining center。

Key words：Machine tool assembly Variation propagation Assembly process State space model0 前言精密机床装配精度保障在产品设计阶段主要来源两个方面：零件公差设计和装配工艺规划。通过公差设计控制单个零件加工误差，通过装配工艺·国家自然科学基金(50935006)、国家高技术研究发展计划(863计划，2012AA040701)和陕西势学技术研究发展计划(2010K01-115)资助项目。20121205收到初稿，20130228收到修改稿控制装配过程中的积累误差。因此，为保障精密机床的最终几何精度要求，必须从公差分析和装配偏差控制着手，建立几何精度表达和传递的数学模型，对整机装配精度进行预测，通过装配调整工艺来保证整机装配几何精度。

随着计算机辅助公差设计(Computer aidedtolerancing，CAT)技术研究的不断发展和深入，各国学者提出了多种描述公差区间的数学方法L1之J。基于不同的公差表达方法，可以实现设计阶段装配体公2013年3月 洪 军等：基于状态空间模型的精密机床装配精度预测与调整工艺 115差分析jJ。然而，在机床等精密机械制造与装配中，对于最终的装配精度要求十分严格，例如精密机床几何精度要求-般在微米范围内〖虑到加工能力和加工成本的限制，不可能仅通过提高公差要求来保证机床装配精度。在精密机床实际装配过程中，通常采用测量和调整等工艺手段实现对装配偏差传递过程的监测与控制。基于装配偏差正态分布假设的蒙特卡罗公差分析方法仅能反映大批量装配偏差分布规律，对具体的每-步装配调整工序无法预测与控制。目前企业在制定装配工艺规范时主要依赖生产经验，装配精度-致性差，可靠性难以保证。

尚无-种有效的定量分析方法来描述精密机床装配工艺对整机精度的影响规律。

状态空间模型是-种描述和预测多工序加工和装配偏差传递过程的有效方法。MANTRIPRAGADA等4j提出了将机械装配过程分为两类：① 装配偏差完全由零件的加工误差确定；② 装配偏差不由零件的配合特征确定，而由装配过程中夹持零件进行连接的夹具确定，夹具的位姿可以在线调整，并根据两类装配的特点，运用状态空间模型描述了零件在装配过程的尺寸变换。田兆青等 J进-步建立了描述多工位夹具偏差与零件尺寸偏差关系的状态方程，描述了任意形状工位上任何数量零件的装配偏差传递。然而这些研究主要针对汽车车身、飞机机身等薄壁件装配过程，在这些装配过程中，主要依靠定位元件保证装配精度，误差主要来 自于夹具本身。LIU等 将偏差描述扩展到三维空间，构建了刚体零件的三维偏差传递过程状态空间模型，但仍主要将定位元件偏差作为误差来源。对于精密机床装配，并非通过定位元件控制装配精度。基础大件特征面的加工误差通过装配过程形成体间误差，由测量和调整工艺对装配过程中偏差积累和传递进行监测和控制。因此需要研究加工误差导致的配合特征变化引起的体间误差表达，构建包含精密机床测量与调整工艺的状态空间模型，为整机精度预测、偏差溯源、装配工艺优化等奠定基矗本文提出了将精密机床装配测量和调整工艺进行数学表达，运用状态空间模型进行整机精度预测的方法。首先构建描述零件几何特征的坐标系，对加工误差导致的关键特征方位偏差进行数学建模，确定装配过程偏差源表达。其次针对精密机床装配过程，构建状态空间模型并建立模型参数与装配工艺参数的对应关系。最后通过某型精密加工中心计算实例，证明了该方法的有效性。

1 精密机床零件几何特征建模与分析如图1所示，精密机床几何精度来撒于设计、制造、装配等多个环节。针对每个环节，需要建立相应的几何特征误差描述数学模型，并且对照装配过程中关键特征偏差积累和传递的表达，构建设计公差和加工误差与装配误差源的转换关系。

精密机床几何精度形成设计 制造 装配几 关键几何I 懦 .与传递I L 何 特征-误 GPS规范I 整差 l装配误差调整I 机 精误 度差 几何特征公 基于新-代 包含测量与调整工建 差的小位移 GPS标准的 艺的装配过程偏差模 旋量法表达 产品特征 传递状态空间模型评价与表达图 1 精密机床几何精度形成与误差建模1.1 产品关键几何特征描述通过三种坐标系对装配过程中关键几何特征进行描述，即参考坐标系 、零件坐标系 和特征坐标系 OF，如图2所示。

Z图2 描述装配过程关键几何特征的坐标系参考坐标系 选取为基础零件床身的装配基准面，用来确定装配过程中每个零件以及特征相对于基准参考的位置和方向，同时也可看成整机装配过程中测量基准。特征坐标系 Or位于对装配偏差传递有影响的关键特征几何中心处，表征关键特征的位置和方位。对于精密机床固定结合部，特征坐标系和零件坐标系的原点定义在配合特征的几何中心，对于滑动导轨等相对运动结合部，为了测量方便，定义为与高序零件装配安装面的几何中心，如双导轨组成的进给系统定义为 4个滑块组成平面的几何中心，通过与4个滑块联接的高序体零件的安装平面几何中心确定实际位置和方向。各个坐标系的方向与机床坐标系方向保持-致，当零件特征与机床坐标系存在倾斜角度时，如车床中的倾斜平面，应使特征和零件坐标系与进给轴方向保持-致。

- 般情况下精密机床零件之间为串联装配和l16 机 械 工 程 学 报 第 49卷第 6期误差传递关系，假设零件坐标系 OR与该零件与下- 个装配零件配合的关键特征坐标系重合。对于龙门式等并联装配关系的机床结构，同样有上述假设，但高序体零件的零件坐标系实际位置和方向由与低序体零件配合的几个特征坐标系转换得到。

存在加工误差时， ari为实际特征或零件坐标系，由于加工误差相对于零件基本尺寸来说很校因此，可以通过以下齐次坐标变换表示二者之间的对应关系，)- ：1 -1- p 口O O8 a- 口 b1 cO l式中，。c、 、)，和 a、b、C分别为变动坐标系相对于理想坐标系的方向和位置变化。

1.2 平面特征公差的表达与转换精密机床装配中，部件之间不论固定结合的螺栓连接面还是相对运动的导轨安装基准面大多为平面特征，因此本文以平面特征为例描述其公差模型。

将零件几何特征的变动通过6自由度的微小变动表示，同样，平面特征也可以通过 3个平动矢量和 3个转动矢量表示实际偏差，这两组矢量即为小位移旋量(Smal displacement torsor，SDT)。文献[7对平面尺寸公差给出了其各分量变动范围，即变动不等式。平面度等自参考特征、平行度和垂直度等互参考特征同样可以通过变动不等式和约束不等式的形式将设计公差表达为数学形式 J。设计阶段加工误差可以看做满足公差要求的-组误差值，即表征该误差特征的微小变动满足公差表达的变动不等式和约束不等式。

如图3所示，以精密卧式加工中心立柱装配为例，坐标系 OB表示基础坐标系，D1和 分别为床身和立柱的零件坐标系。粗实线表示立柱的名义几何特征尺寸，虚线表示有加工误差的实际特征表面。

假设在机床装配过程中加工完成后零件的实际特征表面与装配配合面重合，即在图3中坐标系 Dl表示Z图3 零件公差与装配误差转换立柱加工后的实际表面，也是床身与立柱装配的配合表面，同时也是床身的零件坐标系。

通过实际加工表面特征相对于名义特征的坐标转换对加工误差进行描述，1"，-1.k与 分别为装配特征面相对于理想特征面的变换，那么齐次矩阵1.k与 死 中的 6个微小变动量的变动范围，可以通过公差要求产生相应的转换矩阵。

由图3可以得到装配零件的两个装配特征面之间的实际转换矩阵为A； . Ak t (2)式中， 为理想装配特征面的转换矩阵， 实际装配特征面转换矩阵。

. ： -l 1。k- . 0l- 1.k- 0- . 1.tO8k k nk k- ， ，1 Ck。

Ck- 1，k1假设 .k与 中的变动量相对于 为微小量，并且在机床各零件坐标系之 间没有角度变换，即： l 00 10 00 00 ak01 Ck0 l那么，将实际坐标变换表示为 1A7- B0- - A7l△0A，a- △口lO忽略高阶误差项，可以得到a Aa△6△c1Aa-a-1， a，- l。 - -1，Ab--l， ， Ckak-1， - ak- 1，-‰ 十 ， 轧 - (6)Aa --1. . p-pk。 kpk k△ --1， ，由此，基于零件的公差信息，得到特征变动误差与装配过程误差输入之间的转换关系。

1.3 平面特征误差测量结果认证、表达与转换根据新-代GPS标准，通过对零件几何特征的，l C 。 0l18 机 械 工 程 学 报 第49卷第6期d (9)式中， 为相对于基础坐标系的微分平移和旋转变换。 的表达式为 0 -6z 6v dx6z 0 -6x dy- 6v 6x 0 dz0 0 0 0(10)低序体序列中第k个零件装配完成后，其零件坐标系实际位置和方位相对于理想位姿的偏差用 6个元素组成的6×1矢量，即运动微分矢量表示，并认为实际位姿偏差相对于零件名义尺寸为微小量(七) (七)： (11) 、式中， 为微分平移矢量， 为微分旋转矢量。

机床装配偏差传递可以等价为坐标转换中的误差传递。零件坐标固结于装配零件的配合表面，得到第 k个零件装配完成后相对于基础坐标系的微分平移矢量 和微分旋转矢量-。×R-， )](12)瓦 甲 ，Ri-I为 3×3旋转 矩 阵 ，pi-1为 3×1半 移 矢量 ，由零件理想坐标系0f相对于理想坐标系Oi-l的转换得到4 ] (13) 1lJ微分误差矢量 和 可以表达为尼 ( ]：( ] ( ) ( ]△z( ]△ ( ]△ (甏]△ c·4式中， ( l，Ax2，， )T，Ay(Ay1， ，，Ayk)T，Az-(Az，Az2，，Azk)T，AOx(AOx1，△ ，，△ T，AOy(AOyl，△ ，，△ T，hOz(hOz1，△ 2， ，△ T均为由设计公差或测量误差得到的Nx1列矢量∩以进-步改写为nAT，，式 w(1，吵 ·)， 1，，2)， ，2)， ，2)， l，3)， ，3)， ，3)， 3)， ，3)， Il0 0 0，D， l△0 0 0 ： 2J， I△0 0 0 ，3)， %3)l ，3 J A(15)式(15)表示了在第 k个零件装配完成后，由第 k个零件的偏差引起的总偏差累积，可以看出平移和旋转误差影响装配体最终的位置误差，而最终的方位误差只与旋转误差有关。

在机床装配中，后-步装配的零件会对之前的装配特征误差状态造成影响(如重力产生的变形)，另外精密机床在加工空间中的实际误差不仅来源于末端零件的误差状态，同时撒于相邻体间在相对运动中的误差状态。因此将状态变量扩展，定义实际状态变量 ( )为装配体Ⅳ个零(部)件的6个运动微分矢量组成的 6N1列矢量，那么第 1步装配第 k个零件完成后，状态空间方程为dl(k1)(k1)(k1)(k1)di(k)(k)(k)(k)1fi： △△A (16)式中， 为式(15)中低序体序列中第 k个零件偏差的系数矩阵。 为零矩阵。 为该零件装配后引起已装配的其他零件坐标系变化。当仅考虑重力的影响时，高序体零件引起低序体零件的变形同样可以看做零件的特征变化，满足上述误差传递的叠加关系，因此表示重力影响时， 可以表达为 l：l jAx，， 1 f 1f ，.1.I△.1△，1△.1；- l：ll△ 1△ 1△ l(17)《 《 稚 荤 聚2013年 3月 洪 军等：基于状态空间模型的精密机床装配精度预测与调整工艺 l19式中，(△ ，△ ， ， ， ，△ ， ，△ ， ，△ ， ) 表示第m个零件装配后，由于重力作用引起第r1个零件的零件坐标系变化。

通过以上分析，将系统的状态定义为误差矢量(七)，k表示低序体序列中的第 k个零件装配。

面(七)定义了第七个零件装配的实际零件坐标系相对于理想零件坐标系的偏差。相应的状态空间方程可以写为J (七 ) ) (七)F( )面(尼)蜃(七) (181 I) c( ) (七)4- (七) 、式中，C1 为输出矩阵，表示由测量可以得到已经装配完成的零件的误差项 ； (七)为测量的随机误差。

2.4 测量与调整过程的状态空间方程如第 1.3节所述平面特征的测量与评价方法，对已安装零件的关键特征进行测量，依据新-代GPS规范评估得到其平面方程。基于平面方程，对关键特征进行修正。为简便起见，测量基准可以认为是基础坐标系，则容易得到：理想平面坐标系 ；调整前平面坐标系 ；调整后平面坐标系 口；以及对应的方向矢量 、 。由式(8)同样可以得到基于理想零件坐标系的调整前后配合特征角度变化量，及其对应的微分旋转矢量。

对应于状态空间方程的-般表达式，对照式(17)和式(18)可以建立机床装配过程装配体偏差状态空间方程lx(k1) (后) (七)4- (尼)(厂(七)4-，( )面(七)4-雪( )I ( )c(七) (七)4- ( )(19)精密机床装配过程可以看做是离散事件动态系统，，(七)∞(七)4-雪(七)为系统的误差输入，当装配过程确定的情况下，由零件误差的测量结果，重力作用下零件变形结果，可以估计每个装配过程的误差输入。

实际机床装配过程中，调整是在装配完成的基础上进行的，状态空间方程可以进-步改写为I m(k)A(k)X(k)4-，(Ji)西(七)4-誊(七)(七) ( ) (七) (七) (20)IX(k1) ( ) (.i) ( ) 、I (七4-1)C(k)X(k1)4- (Ji)式中 m(i)--第七步装配完成后未调整之前的中间状态变量t2(k1--装配过程调整中描述特征误差变化的6Nx1运动微分矢量(后)--误差调整矢量 由零件坐标系到基础坐标系的转换矩阵上述过程同样可以表达为图7形式。

图7 精密机床装配过程状态空间模型根据精密机床装配、测量、调整过程的状态空间模型，零件加工误差、重力变形等因素引起的装配特征尺寸变化为系统误差，零件装配完成后的测量结果为中间状态观测值，根据测量值确定系统的调整量，即输出反馈，最终得到-个装配工序的装配体偏差状态，即下-装配工序的输入状态。

实际装配过程中，可以根据装配完成后的测量结果，基于零件误差测量结果和零件变形估计与计算，对后续装配过程状态进行递归计算，预测可能的最终装配状态，当不满足设计精度要求时，需要进行调整。调整包括该工序完成后装配特征面的调整、已装配零件的调整以及未装配零件的特征面调整。调整方法包括相对装配位置的调整以及采用刮研等方法对特征面 再加工”的修整。

3 实例分析以某型号精密坐标镗床为实例，按照本文所述建模方法，对床身，立柱，滑座，主轴箱4个部件的装配过程进行建模与分析，机床结构与坐标系如图5所示，各零件的理想零件坐标系相对位置如表1所示。

表 1 组成零件相邻体间理想位置关系注：I为单位对角阵3.1 装配过程偏差积累与传递分析计算对于机床来说，零件之间的位置偏差最终可以通过进给系统进行补偿，因此本实例计算中，装配过程中主要考虑零件的方位偏差。计算中认为装配过程偏差来源于加工误差和重力影响两个方面，通机 械 工 程 学 报 第49卷第 6期过对单个零件关键特征表面进行测量，可以得到加工误差引起的装配偏差如表 2所示。

表2 各零件加工误差引起的装配偏差 rad运用有限元分析可以对各零件装配中对低序零件的变形影响进行计算。在本例中，根据相邻体间相对位置，计算得到各个零件对低序零件的装配偏差影响如表 3所示。

表 3 装配过程中重力变形引起的装配偏差床身(A0x.，1，△ ，1，△ .1)立柱(△ ，△ 0，△ ，2)滑座(△‰ 3，△ 。，，△ ，3)(-1.23，0，0)(1.65，-0.29，0.84)(0.26，-0.06，0.12)- (1.83，-0.51，0.26)(0.86，-0.21，0.08)- (1.24，0，O)本实例中床身立柱结合面为固定连接，而立柱、滑座、主轴箱的零件坐标系直接决定了进给系统精度和加工误差，因此对其微分旋转分量进行求解。

由图 8可以看出，装配过程偏差呈现积累和传递的趋势。由于床身、立柱装配过程中，高序体误差尚未引入，因此，在第 1、2个装配工序中立柱、滑座、主轴箱零件坐标系偏差保持-致，在后续的装配过程中，由于高序体零件误差的引入以及重力变形的影响，各零件误差状态分别变化。

辩蝗鑫第k个零件装配完成后图8 装配过程微分旋转分量积累计算基于状态空间模型对装配过程零件坐标系偏差状态进行计算∩以实现对最终误差状态的估计和预测。例如在本例中根据计算得到的所有零件装配完成后的状态变量，可以计算出各零件坐标系的实际偏差，判定是否满足设计要求，如果不满足设计要求，可以通过状态变量的变化过程确定需要进行调整的装配工序。图8中，假设对各零件最终误差状态的要求为max(8；， ， )≤0.005，可以直观判断出装配过程中哪个工序中误差累积超差，进而进行误差调整。

3.2 装配测量与调整过程分析计算本文采用对 已装配零件的零件坐标系特征面进行调整的方法，即床身与立柱装配完成后对立柱与滑座的装配面进行调整。运用状态空间模型，依据测量得到的零件误差对装配最终状态进行预测，确定调整环节与调整量。

由图9可以看出，通过关键特征装配调整，保证了最终状态各项误差值满足设计要求，本例中的调整量如表 4所示，初始装配过程 相对较大，调整过程中个零件坐标系△ 调整量相应较大。

叩2×删样挺第k个零件装配完成后图9 包含调整工艺的装配过程微分旋转分量累积计算表 4 各零件装配角度误差调整量 tad应用状态空间模型对精密机床装配过程偏差传递进行了分析计算，对照精密机床实际装配中的测量、调整工艺，预测末端零件实际偏差即整机装配精度。该方法构建了实际装配过程的测量和调整工艺的数学模型，为综合最终精度要求、工艺能力、测量方法等因素，进行精密机床装配过程工艺优化奠定了理论基矗2013年3月 洪 军等：基于状态空间模型的精密机床装配精度预测与调整工艺 1214 结论(1)建立了装配偏差传递中零件公差、加工误差的数学模型。提出了加工误差测量结果的评定方法和关键特征偏差的转换方法，建立了设计公差和测量结果与装配过程误差输入的对应关系。

(2)建立精密机床装配过程的状态空间模型，根据每道工序装配偏差，预测装配调整工艺对整机精度的影响规律，确定保障整机装配精度的各道工序调整策略。

(3)通过精密机床装配过程的分析实例，验证了基于状态空间模型的精密机床装配精度预测与调整工艺方法的有效性。