旋转机构转子部件脱落的幅值谱研究与变幅信号谱的简单分析

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旋转机构在其运行的过程中，其转子部件由于受到周期性的力作用，会导致部分部件疲劳及松动，在部件松动以及脱落的过程中，系统的振动会发生变化，主要影响在它的幅值上，根据脱落程度和快慢程度的不同，还可能引发其它频率的产生。

本文就是针对转子部件脱落过程的幅值谱进行简单的分析，以发现其内部运算带来的-些基本特性。首先根据帕斯瓦尔定理和傅式变换的线性叠加原理，对转子脱落信号幅值谱中幅值的简单猜测引出矛盾，并进行数据试验；然后结合两个原理的基本定义和数据处理的方法阐述两者的区别和试验数据现象的本质，说明两者的不矛盾性。最后引入-般的变幅信号，例如转子不对中产生的周期性的变幅等，用实验说明简单傅式变换的不足与原2013年3月28日收到，4月22日修改 国家自然科学基金(51177046)、河北省自然科学基金(E2011502024)、中央高校基本科研业务费专项资金(12MS101)资助第-作者简介：万书亭(197O-)，男 ，博士，教授，博士生导师，研究方向：汽 轮发 电机状 态监测 与故 障诊 断。E-mail：13582996591### 139.corn。

通信作者简介：詹长庚(199O-)，男，硕士研究生，研究方向：在线监测与故障诊断。E-mail：zhanchanggeng###126.tom。

1 转子部件脱落的幅值谱分析1.1 幅值谱问题的引出转子在旋转的过程中，由于部件的脱落，其幅值会随着脱落程度进行变化。现给定信号情况如下：转子正常旋转，转频为f5 Hz，采样频率 51.2 Hz，整周期采样；采样点数N1 024，其中前-半点是在振幅为 1.0时获得。突然转子的某个部件脱落，导致后-半数据点是在振幅为1.4时获得。

在将采集到的数据进行傅式变换后，查看转子在该转频处的幅值大校按照傅式变换的线性叠加原理：两信号在时域内相加，通过傅里叶变化之后，频域内仍满足对应相加的关系，关系表达式如下若有 (t) ∽ ； ：(t)二 ( 则有Ⅱ 1(t)bx2(t) Ⅱ ( 6 ( 。这样的分析，信号中两者各占-半，那么其大小应该是简单的两者线性变化关系： ：L ：1.2。

二 1.2 实验数据处理用Matlab软件进行信号仿真和数据处理，时域21期 万书亭，等：旋转机构转子部件脱落的幅值谱研究与变幅信号谱的简单分析 6089频域转换采用内置Fn1变换，为解决非单正弦信号(幅值变化看成是简单正弦信号的叠加)分析时的幅值不准确，引入了兜老师的比值校正法 。仿 篓真信号如图1。

c1fs50 1：N1 024；A1 1；A2 10： 5 0；phi 2 248n0 ：N-1：tn/fs；%采样频率和数据%信号的幅值，频%时间序列xlA1 sin(2 pi ftphi) (t<(N/2·1)/fs)； %分段函x2 A2 sin(2 pi ftphi) ( <(N/2-2)/fs

频率/Hz加矩形窗的频谱图图 2 运行结果幅值结果跟线性相加的 1.20相差不大，差之比为 1%，不能确定是由于误差的还是分析的原因，要想区分开两者，可以将其幅值差扩大，将其幅值调整为 A，1.0，A 5.0，那么按照线性的推测，实验结果应当是 3.0左右。此时的运行结果如图3。

实验幅值为 3.601，与预测的 3.0有-定的差距，差值比占据20%，继续扩大两者的幅值差，A 1.0，A 10.0那么按照线性的推测，实验结果应当是 5.0左右。而此时的数据结果是 7.090；差值 比为40%左右，很明显，这样简单的从表面上按线性理论分析的结果差强人意。

1.3 能量角度去分析根据上述简单线性求取平均值的的不准确性，说明从表象看到的叠加是不科学的。既然不能简单的从叠加性去分析，而用能量的方法，能量在时馨- 加矩形窗的频谱图图3 幅值改变后运行结果频转换的过程中没有发生能量的变化。

根据帕斯瓦尔定理 信号在时域中计算的总能量等于信号在频域中计算的总能量，关系式表达为∞ ∞ 2 f X2(tO)dtJ I ( I df (1)说明从能量角度，无论是在时域还是频域去分析，只要能够维持这个系统的能量平衡，那么对应的方法是没什么问题的。

2 理论验证幅值谱与原信号关系鉴于上述能量角度帕斯瓦尔定理的说明，展开了时域和频域的分析。

2.1 频域角度推导从频域能量角度去看(帕斯瓦尔定理右侧)，因幅值谱也可以反映能量，只是能量与信号的幅值平方成线性关系，所以针对等距的两段信号简单的列出了如下的公式41 /2A22/2A (2)A 为对应段幅值，/4为等效后幅值；则有A/(A1 /2 2 /2) (3)对于将信号分成多段的，假设其幅值为 A ，占的份 额 为 那 么 系统 的总 能量 可 以表 示 为、r- ∑A A ，得A (4)- 2 -A ∑ √ 6090 科 学 技 术 与 工 程 13卷将 第 - 部 分 的 数 据 代 人，A √ (1 14 )1.216 5；A-2 √吉(1 52)3·6Q5 o。

与实验的数值比较，两者几乎完全-致，只有在效位第五位上有所差别，相 比简单线性叠加而言，这已经是比较准确的了。

2.2 时域角度推导从时域能量角度去看(帕斯瓦尔定理左侧)，因时域函数的平方积分即为其能量，在单频或者其它频率信号微弱的时候，可以将-个分段的变幅信号通过能量的关系等效于其它的-个稳定的单频正余弦。简单表达如下原信号为 (t)k(t)sin(2rft ) (5)(其中k为-个随时间变化的函数，此处默认为简单的函数)我们可以假设出-个幅值不随时间发生变化的正弦函数Y(t)Asin(2，rfi ) (6)(这里面的A为恒值)根据能量的关系求解出A，简单推导如下J (tO)dtf Y (t)dt铮I k sin (2 )dtJ A sin (2 )dt (7)得A (8)将实验的数据代人： NT NT √J0 1 (f)sin。(2 o)dt/； in2(2fio)dt1.216 5。 (9)： √上 ( )sin2(2fi ) sin2(2W )d3.605 0 (10)与频域的推断完全-致，说 明从能量角度去两者之间的关系在单频情况下是可行的。

2.3 变幅过程的分析与实验在上述两个角度的基础上，进行了幅值连续简单变化信号的傅里叶仿真测试；将幅值变化分为线性和抛物线两类过程，即：A (t)klt或 A (t)kzt ，为便于计算，将幅值从0到1O进行变化，频率修改为 5.01(非整数不失-般性)，采样点数增加至4 096个。那么按照数据，( A1)lk2 c -按照之前的分析，在频域能量角度看有：每个幅值平方与其对应的份额之积累加即反应能量，即A 寺上Adt。按照这个假设可以计算出两种幅值变化信号的理论值。

2.3.1 幅值按线性 变化时A 寺J0( )dtlOT35·73 5 (12)2.3.2 幅值按抛物线变化时Az寺 ( z )dtlOT64.472 1 (13)同理，将其在时域内进行计算，即找到-个与原信号同频的等能量信号。

2.3.3 幅值按线性变化时(为整周期采样)频率较之前变化了-点，近似于整周期采样，就可以保证 sin(2 )在 0时刻和 时刻的值接近，默认为sin(2 )-sin0，那么，幅值按线性变化时(t)k1 sin(2 ) (14)㈤ sin2(2rft ；sin (2 )dtTN/ T/2 5.773 5 (15)2l期 万书亭，等：旋转机构转子部件脱落的幅值谱研究与变幅信号谱的简单分析 60912.3.4 信号幅值随时间变化呈抛物线时：(t) 2sin(2 ) (16)上A sin2(2fio)dt10T；r . 上sin(2 o)dt五√ 4.472 1 (17)对比能量的两个角度看信号的结果可知，从能量角度去看信号，两者的结果是-致的。在线性变化时，信号幅值在5.77左右；抛物线变化时，信号幅值在 4.47左右。

从实验仿真去验证该角度的可靠程度，在上述参数的基础下，仿真结果如图4。

频率/Hz最大幅值n x4 184频率 5.01 幅值 am5 916 相位 P。 1(a)线性变化仿真频率 /Hz幅值 口 2 964频率 5 01 幅值 0 4.346 相位p(b)抛物线变化仿真图4 变幅过程的幅频图对比计算数据可以得到幅值线性变化时误差叩1 ： I 孕 ×10%l：2.42%。 - I幅值抛物性变化时误差叼2： l ×10%i：2.90%。 f- I误差基本是在可以接受的许可范围内。

2.4 线性叠加的本质根据 傅里 叶变换 的线性 叠加 性 口 (t)(t)二 0 ( 6 ( ，结合试验的实际数据，口 b 1， 1(t) A1 sin(2crfi) 2(t) A sin(2，trft)其中函数-在前半时间轴，函数二在后半时问轴，目标函数 (t) (t) (t)♂合傅里叶变换的公式 ]( I (f)fj-i2tdtJ( 1( )X2(t))e-J2dtf 1(t)e-J2dtJ X2(t)e-J2dtX1∽ ∽(18)所以单从公式上的推导是完全没有问题的，实验数值与估计数值之间叠加性不是那么准确，可认为是因为对其理解有所欠缺(取A 0便于计算)∽ f 1( )e-j2rfidtJ 2(t)e-j2dtf A2sin(2rft)e-j2dt；t(N-1) (19)可以看出，当把积分区间变得无穷大的时候，其实它是跟单独的单频正弦信号-样的，同样可以看作是进行了加矩形窗后的数据进行分析。简单的线性叠加之所以不满足，因为线性叠加是在两者都是在整个区域内计算后的叠加，可以将第-次试验中两者幅值分别为1和10的那个作为基础信号，将两个这样的信号叠加，看看其是否满足，试验结果如下。

在那个实验中，测得其幅值为7.090，现为两个信号直接相加，按照叠加性，那么现在的幅值应该是A 2A 14.180，与上述的实验结果幅值科 学 技 术 与 工 程 13卷兽图5 叠加性分析14.200非秤近，从而说明线性叠加性是适用的，只是在相应的诚表达出不同的形式，与能量角度查看信号并不矛盾。

3 普通变幅信号的分析上面都是在简单的变幅情况下的简单分析。

将变幅信号变换为周期性，以查看实验的结果与分析结果两者的差别。现给定了如图六的信号表达式，将信号分为8段，根据需要修改每个信号的幅值就可以更改某幅值在整个信号中所占的比例。

xlA1 (t

表1 分段函数的计算与仿真数值所占份额 校正幅值 等效功率 曲线拟合O/8 0.ooO1/8 1.9602/8 3.8273/8 5.51O4/8 7.0535/8 8.2816/8 9.1987/8 9.7728/8 10.O00O.0oo1.9513.8275.5567.0718.3159.2399.80810.0oo0.Ooo3.5365.0006.1247.0717.9068.66o9.35410.0000.0003.5354.9926.1237.0707.9058.6609.35410.000通过数据发现，两者部分点存在较大的误差，说明上面的从单频能量角度去看问题不能很好的满足实验结果～上述的实验数据通过matlab描点曲线拟合，得到了-条近似正余弦的函数，不难得出其函数式为：AAsin( 要1其中 为所占份、 ，额，采样正弦函数计算数值如上表所示曲线拟合列。

能量角度首先看整体的效果，所占份额之和为1的两个部分的能量之和(即为平方和)仍为总的能量 100；然后从图像上去观察如图7，通过等倍数放大(matlab里的 CZT函数 )，可以知道随着段数的增加，在单个频率上能量的减少。

3 3 5 4 4.5 5 5 5 6 6.5 7 7.5频率/I-Iz(a1信号二分时频谱图 1 3 3 5 4 4 5 5 5 5 6 6 5 7 7 5频率 /Hz(b)信号四分时频谱图； ；-rrr。 n ：- · · · - - · - - - · -I-·--··- 。

～ v ～ - ， ， w y5 3 3 5 4 4 5 5 5 5 6 6 5 7频率 /Hz(c)信号八分时频谱图图7 信号分段后对应的频谱图就是说系统的能量部分消耗在其它的频率点上，若从能量方面去考虑，应该是所有的频率点的能量之和与总能量相等，这样就可以解释为什么在段数增多时的单频能量守恒的不准确性了。

其实像这样段数很多信号，其幅值周期变化后，可以将其幅值分解成多个正弦信号，从而原来简单的单频分析就显得捉肩见肘。这也是傅式变化不能很好解决频率相乘类变化信号的原因。其姗 鲫 -∞21期 万书亭，等：旋转机构转子部件脱落的幅值谱研究与变幅信号谱的简单分析 6093实在工程实际中，变幅信号其实不当当是脱落问题，在转子轴心不对中的时候，系统的振幅会随着时间呈周期性变化；在齿轮箱内部也存在许多的幅值信号调制现象，为了准确的辨别信号中涵盖的信息，对调制解调的研究给我们带来了许多的很好的方法 ]，像 HHT变换 小波变换等。

4 结束语本文通过实例引出问题，在适当的信号假设、理论分析和实验数据的处理的基础上，总结思考得到如下的结论：(1)脱落变幅信号的频域幅值不能简单的将两部分的幅值加和求平均，这不是真正的叠加性；(2)从能量角度去分析信号，可以很好的解决脱落变幅问题的幅值解释；信号所含总能量在时频域内是等效的，不管从哪个域分析，结果-致；(3)从 Fvr的线性叠加原理和能量守恒角度去分析简单单频信号的理论基础是-致的，两者不存在冲突，表面上看到的不满足叠加性其实其是由内在运算导致的，正是这样的表面不满足才是科学的；(4)对于复杂的变幅信号，因为其频谱图不再是简单的单频信号，或者说是看成简单的单频信号带来的误差足够大，分析变得没有实际意义，但从能量之和仍保持恒定上说明从能量角度去分析问题方法在-定的条件下是可行的。