深孔加工刀具系统的动态稳定域研究

深孔钻削是-种极具附加价值的切削工艺，由于错齿内排屑(BTA)刀具特殊的构造设计，使其可以钻削长径比达 100以上的零件孔，这是传统钻削方法所不能及 的。然而 ，在实际加工中，深孔刀具系统受到辅助支撑位置、切削液流体力及切 削力波动等多种因素的作用，如何在保证加工正常运行的条件下，实时准确地识别和精确地控制刀具的运行状态从而确保被加工孔的精度已成为深孔钻削研究的热点和关键问题。

近年来 国内外学者关于深孔加工刀具 的动态稳定性问题进行了大量的研究。Chin等依据 Euler-Bernouli梁单元或Timoshenko梁单元分别建立了极少自由度数的钻杆横向振动模型，并将钻杆简化沉浸在静态流体 中以获得钻杆 的振 动模态 和固有 频率 。 。然而实际的深孔加工钻杆系统，经常是由多个部件组成的连续体，且包含有-个或多个辅助支撑。这样钻杆系统难以用简单的模型来描述，因而建立精确的实际深孔加工钻杆系统模型是非常必要的。但是，这样做的结果无疑会大大提高系统维数，加大求解的难度。那么能否利用深孔加工钻杆系统的动力特性，在不损失计算精度的前提下适当加快计算速度，从而便于研究钻削刀具系统的动态特性及稳定性规律就成为了研究学者目前最为关注的问题。Husien等通过引入 齐次边界条件对钻杆系统模型分段离散化的方法来维持原有系统的连续性，讨论了单跨深孔加工钻杆系统 的局部涡动特性 。Messaoud等通过计算机采集钻削刀具系统的振动信号，并结合数理统计分析理论，获得了修正的 BTA深孑L加工钻削刀具系统动态模型 。这些方法均利用了深孔加工钻杆系统的局部动力学特性，采用直接线性化或统计方法保留了非线性自由度，而适当缩减线性自由度的方法，分别处理了深孔钻削时变系统的降维求解问题。然而，它们的钻杆系统模型相对简单，未考虑深孑L加工过程中实际存在的质量偏心、切削液流体力等影响因素。

本文 依据 广义 Hamilton原 理，构建 了基 于Timoshenko梁单元的多跨柔性回转钻杆横 向振动 的有限元模型。通过采用 自由界面模态综合技术 ，在保证大型复杂深孔加工装备动力学分析精度的前提下，将钻杆线性自由度的特征模态进行截断，仅保留具有非线性动力特征的模态 ，其 中舍去的高阶主模态则由剩余附着模态来补偿，从而使得耦合动力系统求解的自由度数有效降低，节约计算资源。利用该缩减后的模型，研究了辅助支撑位置、钻杆长度及排屑孔径对深孔钻杆 固有频率的影响规律。以加工复合扁孔为例，获得了在选定的切削深度和切削速度参数空间中钻杆运动的失稳方式及稳定区域。

1 多跨柔性钻杆深孔加工系统的动力学模型多跨柔性钻杆深孔加工系统的模型如图 1所示。图中 z、f 、z z 分别为钻杆长度、加工深度、钻杆辅助支撑 A和辅助支撑 日的位置；F 、F 为钻杆在 和 Y负方向上的切削液流体力分量；F。 、F 是钻杆在 和 Y负方向上承受切削力的波动分量。依据 Timoshenko梁单元模型 ，刀具系统动力学方程可写为[M] [G] [K] Q，，(1)式中：[ ]、[G]、[K]∈R 分别是质量矩阵 、陀螺矩阵、刚度矩阵；Q、f∈R 分别是外力向量(包括重力 、钻杆旋转 中不平衡力 和切 削力波动 )和非线性切削液流体力向量。文献[10]给出了深孔加工中切削液流体力、切削力波动及不平衡力的数学描述，并通过实验验证了计算方法的可行性。因此，本文选用相同的计算方法来讨论大跨度深孔加工机床的动力学特性。

图 1 深孔加工中多跨柔性钻杆系统示意图Fig.1 Schematic diagram of drilling shaft system第 5期 深孔加工刀具系统的动态稳定域研究 6l3对于具有多个子结构的局部非线性多跨柔性钻杆系统，可根据其线性自由度和非线性 自由度，将钻杆系统的动力学方程表示为Goi[乏 ：]二 ) ) )， c2式中： 为作用在钻杆局部的非线性力向量，X ∈R 、X ∈R 分别为非线性 自由度和线性 自由度 。

依据此分块规则，并结合自由界面模态综合技术 ，将线性特征模态进行截断以缩减 自由度 ，而非线性 自由度仍保持在物理空间〖虑到各子结构的界 面 自由度未 施加 任何约束 模态 ，为 了补偿 截 断高阶主模态的影响，在求得各子结构主模态后，保留若干低阶模态，同时用各子结构的剩余附着模态补偿舍去的高阶主模态。若子结构具有刚体位移 ，则用剩余柔度矩阵中的剩余惯性释放附着模态 ，补偿舍去的高阶主模态，以提高精度 ，节约计算资源。

考虑界面完全 自由，钻杆的自由振动方程为[M] [G] [K] 0. (3)为了获得(3)式的特征模态，可将其转化到状态空间。Husien和 Weihs等的研究结果表明 ，当钻杆系统模型不考虑阻尼影响时 ，已具有 足够 的精度。然而对于钻杆模型中的陀螺矩阵，由于其与切削转速有关 ，因此模态分析不能够被忽略。为了计算方便，采用如下广义无阻尼特征问题的实特征解[-∞ M ][ ]0，.1，2，n， (4)式中：[ ]是正则模态矩阵 ；tO ( 1，2，n)是各阶主模态对应 的特征频率 ，则有] [ ][ ][，]，， 、i[ ] [ ][ ]：diag( 2). 对方程(2)式缩减其线性部分的自由度，将进行第-次坐标变换，即 表示为 /7， 的线性组合， [ ]P， (6)即l[ 。 l， (7)P J(7)式中：矩阵[ ]∈R 的保留特征模态的列是对应于特征频率 ∞ E[0， )(1，2，，/7， )的无阻尼特征值问题的质量正则解；[ ]∈R 是剩余柔度矩阵，可定义为 G。- -f2 。 ：)， c8(8)式 中：对角矩 阵[ ]∈R 是对应 于保 留弹性特征模态的角频率矩阵，其值小于或等于 ；G。

是弹性柔度矩阵，可表示为G。 G ， (9)G ： 01 (10) l l，(9)式中： I-M ， ，[ ，]E R 为刚体模态矩阵 ；(10)式 中：K ∈R r ，可表示为rK。。 K。 K。，]K。 l K K触 Kh l， (11)L ，。 J(11)式中：下标 r、k分别表示界面自由度中产生刚体位移和不产生刚体位移的自由度；下标 。表示不含界面自由度的其他自由度。

由(12)式可得P - P . (13)因此，可得如下整体变换X[ ]Pj T T P ， (14)即二 )[ l i - 0 ] )，(15)式中： 。 ：]； [ 。- ]。

运用变换(14)式，缩减后的部件方程可表示为T MTPT GTpT T Q Tf.(16)从(16)式可以看出，非线性 自由度全部保留在物理空间中，不需要进行坐标变换。因此，节省了计算时间，避免了坐标变换引起的数值误差。

通过缩减，钻杆的局部切削力波动、切削液非线性流体力和不平衡力可以很容易地加入到缩减后的线性方程中。单元刚体的运动方程以及缩减后的柔6l4 兵 工 学 报 第34卷性钻杆的运动方程可以很容易地组装成系统控制方程。由(6)式和(12)式，可得缩减后的动力系统方程为M G qF， (17)式中：g )； M ； ；G G ；FT Q Tf； 、G 、K 分别是钻杆系统质量矩阵，陀螺矩阵、刚度矩阵；F、孽分别是钻杆系统力向量和位移向量。因为非线性系统可以产生高于其激励频率的频率成分，所以 ∞ 的选取必须大于最大激励频率。

引入状态变量 X：q ，宣 ，相应的钻杆系统方程在状态空间中可表示为： f g 1. (18) J lM (F-G -K 霉)J2 刀具运行轨迹的求解及其稳定性判别方法当深孔加工机床设计参数及加工条件确定之后 ，为了准确地获得刀具运行轨迹及其稳定性。本文采用打靶法并结合 Floquet分岔理论的周期轨迹求解及稳定性分析的方法，在选定的 Poincar6截面上，给出刀具中心初始点迭代值。若刀具运行状态为稳定的周期性轨迹 ，则必满足，(X，U)X(t。 )-X(t。)0， (19)其中，U为钻杆系统参数集合。

将(19)式对 求偏导，得墨 ：J-I， (20) 0X 、式中：J ；f为Kr。necker符号。

由(18)式及d (ac) OF×3C， (21)以[X(t。)，J]作为初始值积分-个 Poinear6映射周期 而得到，(21)式中： F(t，U，X)；0C(t。)I，aC(t。T)J.为了有效地研究钻杆系统设计参数变化时刀具周期轨迹的演化规律，采用 CPNF法计算在选定的加工参数空间中刀具稳定的周期轨迹分支。当系统 参数集 U为确 定值 U 时，通 过Newton迭代求出满足精度要求的第 n步解之后，由第 n步解可预测出第 /7，1步解的迭代初值，即f -[ -。× ×△ ，U 1U △ 。

(22)然后运用打靶法校正系统加工参数集 U Un I时的周期解。式 中 可 由系统方程(18)式及面d( ) ×3C ，(23)以(X 。，0)为初始值积分-个 Poinear6映射周期得到 ，(22)式 中：a C (t。)0，a C (t。T)塑( ! 10U 3 方法验证为了验证上述方法的有效性，运用以上理论和算法所编制的程序对图2所示的深孔钻杆系统进行计算。钻杆系统简化为多跨柔性回转梁结构，辅助支撑简化为可移动简支座。运用 自由界面子结构法，将柔性回转钻杆系统间隔划分为 8个单元子结构，子结构节点编号分别为 ab C d、e厂、g、h、i.相关计算参数如下：钻杆长度为 z4 m，钻杆外径为26 mm，钻杆内径为 19 mm被加工孔径为 28 mm，加工深度为 z 427 mm，辅助支撑 A和 B的位置为z ：z (z- )/3.无约束节点的质量偏心为 e ：e 10 Ixm，孔径 内 a、b点 的质量偏心 为 e e 11.2 Ixm，且钻杆各节点 具有相 同的相 角。钻杆材质为高强度合金钢 ，密度为 7.87 x 10 kg/m ，供油压力为2.0×10。Pa，切削液动力粘度为0.026 Pa·S，切削力波动为 0.067 kN。

图 2 多跨柔性回转钻杆系统模型Fig.2 Flexible-rotating drilling shaft systemwith two supports第 5期 深孔加工刀具系统的动态稳定域研究 615图3为转速 ∞905 r/min时，分别采用全 自由度钻杆模型与缩减模型(保留 12阶模态的降阶模型)，计算获得的钻杆系统节点处的周期轨迹，其中以”绘出的轨迹为采用保留 12阶模态的降阶模型计算结果，而以-”绘出的轨迹为全自由度钻杆的模型计算结果。从计算结果可以看出，两种不同模型的计算结果近乎完全相同，这说明缩减后的钻杆系统模型适用于研究多跨柔性钻杆系统的动力学特性 ，且具有足够的精度。

吕昌暑吕位移x/mm(b)6节点(b)at b nodal位移x/mm(c)c节点c)at c nodal图 3 905 r/min时 U、b、c节点处钻杆中心的周期轨迹对比Fig.3 Comparsion of the trajectories of the drilling shaftcenter by the 12-eigenmodes model and ful DOFmodel for f"905 r/min4 应用算例与分析4.1 多跨柔性回转钻杆系统的固有频率根据图2所建立的深孔加工多跨柔性回转钻杆系统模型，研究钻杆系统中辅助支撑位置、钻杆长度及排屑孔径对深孔钻杆固有频率的影响规律，从而改善钻削刀具系统的切削性能及动力稳定性，对深孔加工精度的控制尤为重要。

4.1.1 钻杆结构参数对固有频率的影响取相关加工工艺参数 ：钻杆长度 Z4 m，钻杆外径 54 mm，被加工孔径 56 mm，加工深度为 Z 1 in，辅助支撑 A和 的位置分别为 z z。 (z-z )/3。

对9种不同钻杆内径尺寸计算得到各阶固有频率如表 1所示。从计算的结果可以看出，与铣削加工方式相比 ，长轴立铣的 1阶模态为1 400 Hz，短轴立铣的 1阶模态为 3 500 Hz，钻杆的前 7阶固有频率都相对较低(<1 000 Hz)，这-点与文献[1]的实验结果相-致。图4为钻杆振动的固有频率随钻杆内径变化 的趋 势。从 图 中可 以看 出 ，当钻 杆 内径 从36 mm增加到 52 mm时，钻杆各阶的固有频率随钻杆内径的增大而有所减少，但是整体变化幅度不是很大。这说明增大钻杆壁厚对提高整个钻杆系统的刚性和强度的帮助不大，若钻杆内径过小，则易造成排屑不畅，导致切削液对钻头冷却润滑能力降低。

这种变化规律既能为钻杆的选用提供可靠的依据，又可为今后钻杆结构的优化设计提供参考。

表 1 钻杆内径对钻杆回转振动各阶固有频率的影响Tab.1 The natural frequencies of lateral vibration of drilingshaft under diferent internal diameter616 兵 工 学 报 第34卷褂晤钻杆内径/mm图4 钻杆内径对钻杆回转振动各阶固有频率影响的变化趋势Fig.4 The natural frequencies curve of lateral vibration ofdriling shaft under diferent external diameter4.1.2 钻杆长度对固有频率的影响取相关加工工艺参数：钻杆外径 35 mm，内径26 mm，被 加 工 孔 径 为 37 mm，加 工 深 度 为 Z 200 mm，辅助支撑 A和辅助支撑 的位置分别为z - (z-z )/3.针对不同钻杆长度，计算得到各阶固有频率如表 2所示。从中可以看出，钻杆的横向振动低阶固有频率和高阶固有频率均随钻杆长度的增加而减小，但是二者减少的幅度却呈现出不规则的变化〖虑到固有频率与振幅成反比，所以随着钻杆长度的增加，钻杆的振幅和扭转角也将同时变大。图5为钻杆长度对钻杆振动的固有频率的影响曲线 ∩以看出 ，当钻杆长度较小时 ，钻杆高阶固有频率的降低幅度较大，说明此时钻杆回转振动的各阶固有频率的间隔较大，各阶的临界转速值也表 2 钻杆长度对钻杆回转振动各阶固有频率的影响Tab.2 The natural frequencies of lateral vibration of shaftfor varying driling shaft length相差较大。因此，-定范围内的转速变化不易引起共振。然而，当钻杆长度较大时，钻杆高阶固有频率的降低幅度较小，说明此时钻杆回转振动的各阶固有频率的间隔较小，各阶临界转速值相对集中，所以在-定范围内的转速变化时，容易引起共振 ，这与实际深孔加工中钻杆转速的变化所引起共振的现象相吻合。

褂画图 5 钻杆长度对钻杆 回转振动各 阶固有频率影响的变化趋势Fig.5 The natural frequencies curve of lateral vibration ofdriling shaft for varying driling shah length4.1.3 辅助支撑相距位置对 固有频率的影响取相关加工工艺参数：钻杆长度 f-4.5 m，钻杆外径 45 mm，内径 38 mm，被加工孔径为47 mm，加工深度为 z。1 250 mm，辅 助支撑 A位置 为 z 1 m。

通过改变图 2中辅助支撑 的位置 ，来考察辅助支撑位置对钻杆固有频率的影响。针对辅助支撑相距距离的变化，计算得到的各阶固有频率如表3所示。

钻杆回转振动的低阶固有频率随辅助支撑相距距离的增加而减少，而高阶固有频率会有所增加。这种现象极易导致钻杆在低阶固有频率处发生共振。为了避免钻杆共振，可以通过调整辅助支撑之间的位置、导套与钻杆的结构形式等方法，来改变钻杆回转表 3 辅助支撑相距位置对钻杆 回转振动各阶固有频率的影响Tab.3 The natural frequencies of lateral vibration of drillingshaft for varying the distance between intermediate sup-ports两辅助支撑相距位置Z /ram固有频率/Hz1阶 2阶 3阶 4阶 5阶 6阶 7阶(Z-l )/4 12.67 22.48 41.52 56.21 80.56 110.38 155.77(1-l )/3 1O.98 20.27 39.69 55.33 80.34 117.82 163.15(z-l )/2 9.82 18.31 37.53 54.78 79.96 121.63 186.73∞ ∞ ∞ ∞ 如 ∞ 如 04 3 3 2 2 1 l 第 5期 深孔加工刀具系统的动态稳定域研究 617振动的固有频率。但是，最直接也是最有效的改变激振频率的方法是改变钻杆的回转速度，因为激振频率与转速有最直接的关系。

4.2 深孔切削过程中刀具运动的稳定域分析在现代制造领域 ，有很多专门用途的深孔制件 ，其工作性能和效率撒于关键零部件孔的结构形状和精度尺寸，如大型汽轮机螺栓孔、航天飞行器调压装置倾斜偏壁孔及冷却器复合扁孔等超长精密深孔零件，它们-般是传递动力和能量转换的基础制件，其质量直接影响着相关产品的性能水平。那么，如何合理的选择加工参数才能保证钻杆处于稳定的工作状态 ，从而确保被加工孔 的精度 ，就成为实际操作者最为关心 的问题。

钻杆的稳定性实质上是-个 动态”问题 ，它与影响钻杆系统稳定性 的干扰 因素有关 ，例如钻杆 的质量偏心 、切削液流体力及切削力波动等，而这些干扰因素的变化追根究底是由钻杆转速和加工深度变化而产生的。

运用本文所提出的理论和算法编制程序，并结合文献[10]中给出的稳定性判别方法，以复合扁孑L为研究对象(如图 6所示)，计算获得在钻杆转速及切削深度参数空间中，钻杆运动的失稳边界及稳定区域，如 图 7所 示。相关计算参数 如下 ：钻杆 长度z2 rl，钻杆外径 35 mm，内径 26 mm，被加工孑L径为37 mm，辅助支撑 A和 曰的位置分别为 z z (z- )/3，钻杆各节点质量偏心均为 e e 13m，并且钻杆各节点具有相同的相角。复合扁孔的空切区域角为OL 213.57。，相交值为 1 r20.5 mrn。

孔1 L3 孔2图 6 复合扁孔布局形式(Ot 为空切区域角Jr，为相交值，i1，2)Fig.6 The layout of intersection hole(intersection angle ，intersection length r ，i equal to 1 and 2)图7中，A”代表钻杆周期运动加工区域。在区域 中，钻杆受外界扰动的影响，将呈现出稳定的小幅度涡动(如图 8所示)。图 8中，钻杆中心 的移动轨迹呈现明显的稳定周期特性 ，且钻杆 中心移动轨迹在 与 Y方向的变化范围近似相等 ，轨迹变得比较规则 ，近似-个椭圆，这与实际工况条件下钻削刀具的周期涡动特征相-致 。由于钻杆的稳定周期运动 ，钻削刀具 可获得稳定的周期性轨迹且切削厚度较为均匀。因此 ，选择 A”区域 的切削参数将确保被加工孑L的精度，并能有效地延长刀具的使用寿命。但是，当钻削深度较大时，且选用中等转速进行加工，则极易导致钻杆从稳定的周期运动区域 A”进入区域B”.在 区域B”中，钻削刀具 的回转振动特征表现为倍周期运动 ，如 图 9所示 ♂合较早前的研究可知 ” ，切削刀具倍周期运动的特点是增大了在特定方 向上的切 削厚度 ，从而造成复合扁孔的多角形 ，如 图 9(b)所示 。另-方面 ，当钻削深度较小时 ，选用较高转速进行加工 ，钻杆运动轨极经过拟周期分岔 由区域A”而进入区域C”，钻削刀具的运行轨极表现为拟周期运动，如图 10所示。此时，由于钻杆回转速度较高，钻削刀具的振动幅度将 加大 ，并蕴 含大量 的颤振 能量。Deng和Gessesse等的研究结果表 明 ，刀具颤振能量 的增加 ，会 导 致孑L的加工 精 度 明显 降低 ，易形 成 如图 10(b)所示的波浪型非对称交合复合扁孔。

.量旨3样图 7 加工复合扁孑L时 的稳定域分布 区域Fig.7 The stable region in intersection hole drilling process综合A”、B”和c”三个区域的分布特点可以看出，在钻削的初始阶段，钻杆稳定运动的区域面积较大，可选择的切削转速范围较宽。但是，随着加工深度的增加，可选择的切削转速范围将逐渐减校结合前面对钻杆系统固有频率的分析可知，究其原因主要是 由于钻杆的刚性 随其长度的增加而减弱。

因此，钻削刀具的稳定性也将明显降低。这-趋势6l8 兵 工 学 报 第34卷g吕≥潍图 8 to1 035 r/min，f 576 mm 时a节点处钻杆 中心 的周期轨迹Fig.8 The stable periodic motion of the center of drilingshaft ata nodal for∞ 1 035 r/min，Z 576mm暑吕暑淤位移x/mm(a)o节点处钻杆中心的倍周期轨迹(a)Period-doubling motion of the center of driling shaft at a nodal， - 。 -、 、- . . .- 孔2b)多角形复合扁孔示意图(h)Schematic diagram of muhi-lobe hole图 9 tol 090 r/min，f 768 mm时a节点处钻杆 中心 的倍周期轨迹Fig.9 The Period-doubling motion of the center of drilingshaft for to l 090 r/min.Z 768 mm at a nodal解释了 Deng等在试验中观察到的现象 。此外，从图8～图10的计算结果来看，随着转速的增大，a节点处的涡动幅值明显增大，从而导致被加工孔的误 差 增 大 ，这 - 规 律 己在 相 关 实 验 中 获 得 证实 。

区域D”为钻杆完全失稳加工区域。由于钻杆的不稳定运动，致使钻削刀具极易发生突然崩刃、断位x/mm(a)n节点处钻杆中心的拟周期轨迹(aQuasi-periodic motion of the center of driling shaft at a nodal孔1 孔3交合区域2。 。 - - - - Jl孔2(b)多角形复合扁孔示意图(h)Schematic diagram of multi·lobe hole图 10 1 237 r/min，2 323 him时 a节 点处钻杆 中心 的拟周期轨迹Fig.10 Thequasi-periodic motion of the center of drilingshaft for∞ 1 237 r/min，f 323 mm at a nodal齿、钻杆扭弯及断裂，实际加工中绝不允许选用该区域的切削参数。

5 结论1)以实际的深孔加工过程为研究对象 ，在考虑转动惯量和剪切变形 的前提下，构建了基于 Timosh。

enko梁单元的多跨柔性回转钻杆横向振动的有限元模型。该模型将为复杂深孑L加工装备的动力学设计和加工精度分析提供理论依据。

2)在保证大型复杂深孔加工装备动力学分析精度的前提下，采用模态综合技术将钻杆线性 自由度的特征模态进行截断，仅保留具有非线性动力特征的模态，其中舍去的高阶主模态则由剩余附着模态来补偿，从而使得耦合动力系统求解的自由度数有效降低，节约计算资源。

3)运用本文所提出的理论和算法 ，研究了辅助支撑位置、钻杆长度及排屑孔径对深孔钻杆 固有频率的影响规律。以加工复合扁孔为例，获得了在选定的切削深度和切削速度参数空间中钻杆运动的失稳方式及稳定区域，讨论了切削加工参数与孔圆度第 5期 深孔加工刀具系统 的动态稳定域研究 619误差的作用关系。