表面带横向单粗糙峰或单粗糙谷的等温冲击问题分析

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Analysis of the isothermal falling ball problem with a singlerough bump or groove transverse surface irregularityWANG Na ，ZHAO Yi-meng。，WANG Jing ，(1.School of Mechanical Engineering，Qingdao Technological University，Qingdao 266033，China；2.Yantai Service Center of Survey and Design Review，Yantai 264003，China)Abstract：With numerical techniques，the effect of a single transverse bump or groove on steelball surface on the problem of isothermal falling ball is explored.The pressure is instantane-ously evaluated with a multi-grid method，the elastic deformation is calculated with a multi-integration technique.The results are compared with those in smooth contacts. Further-more，the influences of the wavelength of the bump or groove on the pressure and the thick-ness of Iubricating film are also discussed in the paper。

Key words：rough bump；rough groove；wavelength冲击载荷接触是机械工程中比较常见的工况，如齿轮的轮齿进出啮合的瞬间承受冲击变载，滚动轴承的滚子在变载情况下与滚道的接触等.纯挤压问题是时变冲击载荷润滑问题的-种极限状态，对其进行研究有助于进-步研究其他时变润滑问题，同时它又是稳态弹流润滑理论和时变弹流理论的重要衔接点.重力落球问题是指钢球从-定高度 自由下落冲击玻璃盘所引起的弹性流体动力学反应.而重力落球问题就是-种典型的纯挤压问题，它受到各国学者们的广泛重视.Imado和 KidoE1]研究了在冲击试验和半绝热压缩中润滑油的温升变化 ，在压缩试验中发现，当油的黏压系数较小时将会产生较高的温升，而在冲击试验中刚好相反.Conway和 LeelL2]对冲击过程中压力的分布进行了分析，发现润滑油黏度随压力的增加是导致凹坑出现的主要原因.Larsson和 LundbergE。]利用光干涉技术对钢球冲击玻璃盘进行研究发现浅坑出现在润滑油匮乏的接触中心.Dowson和 WangE ]研究了冲击过程的弹性流收稿日期：2012-04-16基金项目：国家 973子课题(92Ol1cB7O66O2-1)作者简介：王 娜(1987- )，女，山东邹平人.硕士，研究方向为润滑理论分析.E-mail：candyna218###126.com。

通讯作者(Corresponding author)：王 静 ，女，博士，副教授.E-mail：wj20011226###163.corn。

98 青 岛 理 工 大 学 学 报 第 34卷体动力润滑问题.Guo等l5]解决了纯挤压弹性动力润滑中非中心浅凹出现的两个问题，研究发现，当盘上有足够的润滑油，且冲击高度较小时边缘凹坑将会出现，最小膜厚的位置也从边缘移向接触中心；带有中心浅凹的挤压油膜在稳定状态下，如果施加的载荷突然增大时将会出现边缘浅凹；这些均可认为是边缘区域局部挤压效果造成的。

以上研究均是在假定两表面光滑的情况下进行的，但在工程实践中，完全光滑的接触表面是不存在的，而且在弹流润滑中，油膜厚度与粗糙度的数量级都处于微米或亚微米级，此时表面粗糙度对膜厚的影响较大，不应被忽略.而冲击载荷条件下考虑表面粗糙度的微弹流研究尚不充分.Kaneta等嘲最近发表了关于冲击加载条件下表面粗糙度对弹流润滑油膜影响的文章.卢洪l7]提到了粗糙度对弹流润滑油膜的影响.Kaneta研究的试验工况为钢球在油膜中直接挤压，无初始冲击速度；笔者是研究作自由落体运动的钢球冲击半无限大平面，钢球上的表面凸起或凹痕对油膜压力和膜厚的影响。

1 控制方程1.1 无量纲 Reynolds方程无量纲 Reynolds方程为(e裴) (e )- cPH ce- 。/( ) 12 oa/(PHh5)其边界条件无量纲化为P(X ，Y， )- P(X，Yout， )- 0 (2)P(X，y，)≥ 0 (0≤ X≤ X ，0≤ Y≤ Yo ) (3)无量纲初始条件为P(X，y， )l -。-0 (4)式中：X-z/以，Y-y/a分别为无量纲坐标变量；X -z /a，Yo -Y /a分别为无量纲边界坐标；n为接触圆的半径长度，m；P-pipH为无量纲油膜压力； H为计算引入的最大 Hertz接触压力，Pa，并取PH-1 GPa； - 。/a为无量纲时问， 为参考速度，并取 - 1.0 m/s；H-h/ho为无量纲油膜厚度；ho-n。/R。为膜厚参考量，m -p/p0为无量纲密度； - 叩/ 为无量纲黏度。

1.2 无量纲膜厚方程无量纲膜厚方程为H(x，y -H )等 干s(x，y)A1 dx (s)其中：(x， -jXcos(轰(X-X0)(1 XX ol≤) (6)l 0 (otherwise)式中：H。-ho/h。为无量纲钢球位置；y为综合曲率半径之比)，-R /R ； 为无量纲计算全域；常数 -2声 /( 。)；S为粗糙度的无量纲形式； 为无量纲幅值； 为无量纲半波长。

1.3 无量纲动力学关系无量纲钢球位置、速度与加速度为Ho0(kAt At)- Ho0(kAt) 0(kAt)·At 0.5a0(kAt)·( ) (7)-o(忌 )- 。(是 )a-。(是 )· (8)0o(kAtAt)moI IP(X，Y，kAt)dXdY-g (9)JIJ初始条件为Hoo(0)- h nij/h0 (1O)第2期 王 娜，等：表面带横向单粗糙峰或单粗糙谷的等温冲击问题分析 99o(O) 0(0)·R /(auo) (11)ao(O)- ao(O)R / 5 (12)式中： - Atu。 为无量纲时间步长； 。m。uo/(p R a。)为无量纲钢球质量；a。-aoR /u5为无量纲加速度； -gR / 5为无量纲重力加速度；-0- voR /(au。)为无量纲速度。

1.4 无量纲黏压关系无量纲黏压关系为7 expA1[-1(1AzPHP)] (13)1.5 无量纲密压关系无量纲密压关系为p- [1C1PHP/(1C2PHP)] (14)2 计算过程为了对方程进行离散，需要先确定网格的划分.笔者计算使用 5层网格，即M -5.X，Y方向最高层网格数为 NA -NB- 256.笔者所研究的整个撞击过程是指钢球第 1次下落与反弹的过程，其所持续的时间分为 NT个瞬时，每个瞬时的时间取 At-0.2 s，对于油膜压力变化较为剧烈的阶段，为了得到更准确的数值解，有时亦取 At-0.05 Vs等.需要说明的是，由于事先无法准确预计M ，所以在运行程序时会提前设定 1个较大的值.当油膜压力降为 0时，程序中关于压力迭代的过程就会终止，此后钢球做匀加速运动，直到 N丁个瞬时结束。

在每-个瞬时，压力的计算使用多重网格法，弹性变形的计算使用多重网格积分法，文献[8-9]对它们的基本概念和原理已经做了详细的叙述，笔者不再赘述。

具体地讲，第( 1)个瞬时的计算流程如下：①应用式(7)和式(8)求出(是1)At时刻球的位置 H。

和速度 ；②使用多重网格积分法和多重网格法进行弹性变形和压力的求解；③得出本瞬时结束时钢球的加速度 a。.本瞬时的全部结果均为下-瞬时的初始条件，计算转入下-瞬时.整个的纯挤压过程就是这样-个瞬时接着-个瞬时地进行数值求解的.各个瞬时压力的收敛精度为相对误差 Errp0.001。

3 结果与讨论3.1 不同波长单粗糙峰对压力和膜厚的影响在研究中，钢球下落前的高度 -0.5 mm，初始油膜厚度 h 0i-10 fm，钢球及其附加物的质量 m。

0.066 kg，两固体的综合弹性模量 E -117 GPa，润滑油的环境黏度 r/o-0.432 Pa·s，黏压系数 a2×10 Pa～，当量曲率半径R -12.7 mm，粗糙峰的幅值A0.5 fm，波长值如图l所示.为了直观起见，得到的压力、膜厚均以有量纲形式给出，以下亦同。

图 1给出了第 2O，60，100，140，240 fs的不同波长的粗糙峰对压力和膜厚的曲线的影响.作为对比，光滑表面解也在图中给出.由图 1可知 ，当钢球上有 1个粗糙峰时，在各瞬时，粗糙峰所在位置的压力比光滑表面的压力要大，油膜厚度比光滑表面的油膜厚度要小.而不同波长的粗糙峰对压力和膜厚的影响也不同.粗糙峰的波长越长，各瞬时的压力越大，对膜厚造成的波动也越大.在钢球冲击盘初期 ，中心位置的油膜厚度不随波长的变化而变化，但随着冲击的继续进行，中心位置的膜厚发生了很大的变化.粗糙峰波长越大，其弹性变形就越大，因此中心膜厚随粗糙峰波长的增加而增加.相应地 ，压力曲线尧生变化。

图 2为不同波长情况下得到的中心压力、中心膜厚和最小膜厚.由图 2可知，不同波长下的压力膜厚的变化趋势与光滑解是相同的，但是中心压力值比光滑解压力略大，中心膜厚和最小膜厚值均比光滑解的小.中心压力随波长的不同变化不是很显著，如图 2(a)所示.中心膜厚和最小膜厚均随波长的增大而略有增加，粗糙波长为 30 fm的中心膜厚和最小膜厚最小，如图 2(b)、(c)所示。

0(a)2O s压力0蠡0O 0.2 0.4 0.6(c)6O s压力(g)140 s压力O 0.2 0.4 0.6(i)240 s压力基i (b)20las膜厚gi X(d)60 s膜厚X(f)100 ps膜厚莹迤X(h)140 s膜厚X(j)240 g膜厚图1 不同波长单粗糙峰在不同瞬时对压力膜厚的影响sm ooth； ---三 30 m ； 。·Lb60 I-tm ； - - Lb100 pm ； -L b200 pm ； ··L b300 gm第 2期 王 娜 ，等：表面带横向单粗糙峰或单粗糙谷的等温冲击问题分析 101us(a)中心压力∥llS(b)中心膜厚f，us(c)最小膜厚图2 粗糙峰的波长对弹流润滑油膜的影响- - smooth；---·b 30pm； ·····b。6O btm； ·- Lb 。100 m； Lb200tm； b 300pm图 3为波长 60 m的单粗糙峰在 200 s的压力三维图和膜厚等值线图.由图 3(a)可见，中心单粗糙峰使得在 XO，y-±1.0位置附近的压力显著增加，对应位置的膜厚等值线分布(见图 3(b))出现波动。

(a)压力三维图 (b)膜厚等值线图 3 200/s单粗糙峰对压力膜厚的影响(Lb60m，Xo-O.O)3.2 不同波长单粗糙谷对压力和膜厚的影响在研究中，钢球下落前的高度 矗 -5.0 mm，其他输入参数同 3.1.图 4给出了第 20，60，100，140，160肚s的不同波长的粗糙谷及光滑表面的压力膜厚.由图 4可知，当钢球上有 1个粗糙谷时，在各瞬时的压力比光滑表面的压力要小，油膜厚度比光滑表面的油膜厚度要大.而不同波长的粗糙谷对压力和膜厚的影响也不同.粗糙谷的波长越长，对压力和膜厚分布的总体影响越大.并且当粗糙谷的波长较小时，中心位置的膜厚与波长较大的情况相比要大-些.随着粗糙谷波长的增大，中心膜厚变小了.当钢球开始反弹，接触区域开始收缩，粗糙谷波长越长，则引起的周围压力越偏离光滑表面压力值。

图 5为不同波长情况下得到的中心压力、中心膜厚和最小膜厚.由图 5可知，不同波长下的压力膜厚的变化趋势与光滑解是相同的.粗糙解得到的压力比光滑解要小，如图 5(a)所示.中心膜厚随波长的增加而减小，且粗糙解均比光滑解的得到的中心膜厚值要大，如图 5(b)所示.最小膜厚随波长的变化不大，且跟光滑解的值相差很小，如图 5(c)所示。

图6为波长 60/，m的单粗糙谷在 100 s的压力三维图和膜厚等值线图.从图中可以很直观地看出中心凹痕会使压力减小，相应位置的膜厚也会出现波动。

102 青 岛 理 工 大 学 学 报 第 34卷c，山 0矗(a)2Os压力(c)6Os压力O2111l10000芷0适。

O.2 0.4 0.6 0.8 1.0(e)100 rts压力X(g)140 s压力x(i)16O s压力(b)20Its膜厚(d)60s膜厚皂i i (h)140Its膜厚0.0 O.2 0.4 0.6 0.8X(j)160Its膜厚图4 不同波长单粗糙谷在不同瞬时对压力膜厚的影响smooth；----b60gra， Lb 100Itm； -L 200Itm； L 300Itm第 2期 王 娜，等：表面带横向单粗糙峰或单粗糙谷的等温冲击问题分析 1O3山 0t/u8(a)中心压力鲁i 、图5 粗糙谷的波长对弹流润滑油膜的影响smooth；·-- 三h 60 gm； · Lb100 pro； ---- L b200/.tm； Lb-300 m(a)压力三维图202 -1 0 l 2(b)膜厚等值线图 6 100 us单粗糙谷对压力膜厚的影响(Lb-60 btm，X0-O.O)3.3 钢球质量对纯挤压过程的影响钢球下落前的高度 ho"-1.0 mrn，初始油膜厚度 hoi -5.0 m，粗糙峰的幅值取为A-0.5 btm，波长L 60 btm，钢球及其附加物的质量mo如图 7所示，其他输入参数见 3.1章节.图 7给出了不同钢球质量时中心压力、中心膜厚及最小膜厚随时间的变化.由图 7可知，无论是光滑解还是粗糙解，在其他条件相同54321O 200 400 600 800 1000t/ts(a)中心压力- - 0.066 kg smooth； · m0.066 kg二b 60 pro、 0 200 400 600 800 1000t/ls(b)中心膜厚图7 钢球质量对纯挤压弹流润滑油膜的影响· · · · 0.5kg smooth； ·，” 2，0kg smooth；- - 0.5 kgLb60 IⅢ ； ··，” 2 0kg三b 60 gm；f，us(c)最小膜厚 蜥5.0 kg smooth；～ -。聊5.0kg五b：60gmg ≈青 岛 理 工 大 学 学 报 第 34卷的情况下，中心压力的第 1压力峰随着钢球质量的增加而增加，而第 2压力峰却随之减小，如图 7(a)所示.随着钢球质量的增加，中心膜厚值基本不变.但在冲击的最后阶段 m-5 kg的中心膜厚会有所减小，如图 7(b)所示.最小膜厚随冲击质量的增加而减小，在冲击初期变化不大，如图 7(c)所示.不同质量的钢球在下落反弹过程中所耗时间是不同的，由图 7可知质量越大冲击过程耗时越多.而对不同的钢球质量来说 ，与光滑表面解相比，中心横向粗糙峰的存在均使中心压力值上升，中心膜厚和最小膜厚下降。

4 结论1)钢球冲击盘的过程中，与光滑表面相比，表面带横向单粗糙峰会使压力增大，润滑膜厚度减小，且随着粗糙峰波长的增大，压力也会相应增大.中心油膜厚度和最小油膜厚度随波长的增大而减小。

2)当钢球表面带凹痕时，冲击过程中各瞬时的压力会发生微小的变化，且中心压力的粗糙解比光滑解要小.润滑膜厚度较光滑表面会有不同程度的增大，且随波长的增大而有所减小，但最小膜厚的变化不大。

3)随着冲击质量的增加，中心压力的第 1压力峰值增加，而第 2压力峰值却减小.中心膜厚值基本不变，最小膜厚值减小，钢球下降-反弹过程所耗时间会相应延长.而对不同的钢球质量来说，与光滑表面解相比，中心横向粗糙峰的存在均使中心压力值上升，中心膜厚和最小膜厚下降。

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