考虑干涉的平面3-RRR并联机构的最优化工作空间设计

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Optimum Design of a Planar 3-RRR Parallel M echanism withLeast Interference Design M ethodologyTA0Zong-jie。 AN Qi(School of Mechanical and Power Engineering，East China University ofScience and Technology，Shanghai 200237，China)Abstract：This work analyzed the influence of interference on a planar 3-RRR mechanism workspace。

The optimum structure was attained using the avoiding interference design methodology theory.Accordingto its kinematic model， the conditions when interferences happen were given. Based on that， theworkspace volume function with link-shape ratios a1 andⅡ2 were calculated and plotted.By numericalcomputations，the total workspace and the interference distributions of the optimum mechanism werepresented.In addition，its singularities were studied in an analytical way.This work solved the problem ofinterference minimization，and optimized the workspace of the parallel manipulator.This methodology canbe applied to other planar mechanisms in the future。

Key words：workspace；planar 3-RRR parallel manipulator；interference；optimization当前 ，数控技术 日新月异 ，各种高端数控设备得到广泛应用，比如 ：数控加工中心 、激光雕刻机、微型机械系统 、三维 打愈等 。这些应用需 要在平面范围内任意位置定位 ，并且要求较大的转动范围、较快收稿 日期 ：2012-09-1 7作者简介：陶宗杰(1985-)，男，博士生，研究方向为机器人学。

通信联系人：安 琦，E-mail：anqi###eCUS.edu.en的反应速度 以及较好的精度控制等。能够实现此种要求的最典型的机构就是平面并联机构。随着人类生活质量的不断提高，这样的机构很有可能在不久的将来走进人们的家庭。

240 华 东 理 工 大 学 学 报 (自然 科 学 版) 第 39卷目前 ，对 于平面并联机构 的研究是 国际上 的学术研究热点之- 。Merlet等l1]通过设置终端参 考点 ，提供了分析并描述并联机构工作空间的方法 ，可以推广到各种并联机构的研究中。如果以移动副和旋转副作为联接 ，平面并联机构-共可以分为 7种配 置 方 式2，分 别 为 ：3-RRR、3 RRP、3-RPR、3 PRR、3-RPP、3-PRP和 3 PPR，许多研 究都 围绕着这些机 构 展开。Goselin等 对 -种 新 型结 构3 RPR并联机构做 了运动学和动力学分析，并说明了该机构可以应用到高精度和高速度要求的诚。

对于 3-RRR并联机构 的运动学问题 ，0ctO1TIO等[4-提出了-种高效的降阶计算方法，避免 了复杂 的高阶非线性方程计算。但这些文献都没有考虑到机构在运动过程中，由于杆件之间干涉所导致的-些运动学问题，比如：实 际工作空间的减小，如何最大程度上避免干涉，以及最优化工作空 间的机构结构设计等。虽然 Arakelian等[5 考虑了奇异位形对工作空间的影响，并提出了如何增大工作空间的方法 ，但由于没有考虑到干涉问题，仍没有达到真正意义上的工作空间最优化 。

关于避免干涉的机构设计方法 ，过去往往基于经验主义，很少有普遍适用的具体理论可以参考 ，但也有学者做 了为数不多的研究 。Ling和 Chas6 提出了-种先验的考虑干涉的平 面机构设计方法 ，将两个存在干涉的平面杆件置于不 同的层面 ，以避免干涉。Sen和 Joshi[ 对文献[6]进行了改进，通过改变杆件的形状将层面理论推广化 ，能更好地解决杆件干涉问题。然而这些研究仍然没有系统化地阐述避免干涉的设计方法 ，在研究平面并联机构时，大部分文献只对理论工作空间进行分析 ，而没有考虑实际机构可能会发生的干涉所导致的工作空间减小问题 ，这使得 目前研究的平面并联机构在实际应用中存在运动空间范围有限的问题。

本文以 3-RRR平面并联机构为对象展开研究 ，通过对平面机构干涉问题 的理论分析 ，提 出了-种系统化的避免干涉理论 ，将该理论应用于平面机构的研究中，提 出了最优 的平 面机构结构及其尺寸。

该机构能够实现更大的转动空间，并通过数学建模 ，详细分析 了该机构的空间运动规律。

1 研究方法1.1 平面 3-RRR并联机构运动学分析图 1所示为平面 3 RRR并联机构的运动学原理图，根据 Gosselin 的最优化配置 ，各杆件位置关系可用几 组 向量来表示。图中，△T 了、 T。为机构输出终端 ；T 为上臂杆件( - l，2，3)，BJ 为下臂杆件(主动杆件)，各个杆长均为 ；虚线i角形为固定于全局坐标系上的基架 。

图 l 平面 3-RRR并联机构原理网Fig.1 Kinematic diagram of 3-RRRplanar parallel mechanismB 、B。和 B。分别为固定底座的旋转副 的轴向向量，其位置 向量分别为 [0.5l， 0.5l/a。j]、[-0.5/，-0.5z/3。j]、E0，z/3。。]。J.、t，。和 J 为上臂杆件与下臂杆件之间联接旋转副的轴向向量，可以表示为 ：J - EB /cos 0 B /sin ， ] (1)其中：0 为对应 的下臂杆件与坐标轴 间 的夹角；B 、B 分别为 B 对应的 轴、 轴方向的元素值。

设终端参考点向量 V 、为[ ， ]，线段 T与 轴的夹角为 。则 T 、 和 可以表示为/cos(-要乒) /sin( 要 )T -[ c--- - ， 。- -- ]3 3/cos( ) /sin( )T2- [ c-- ， c-- - ]3 3/cos(7要j5) lsin(7 5)T。- [ --- - ， --- -- ]，/S √3(2)、 、 和 0 、 、 的关 系可 由如下非线性方程组求得 ：f(Tb- Jl ) (T1 ～ Jl ) - Z(丁 -l/ )。(T -I ) - z (3)l(T -J ) 4-( - 。 ) -其 中，T T 和J 、， 分别表示向量 T 和l， 对应的 、 轴方 向的元素值 。

第 2期 陶宗杰，等：考虑干涉 的平面 3-RRR并联机构的最优化工作空间设计 241因而，上臂杆件和下臂杆件上各点可以通过 向量来 表不 ：L - t1( - t，， )L (t)- .， t2(1， - B ) (4)其中：t ，t ∈[O，1]为位置系数；L岛表示上臂杆件，而 L 表示下臂杆件。

根据式 (4)，可以判 断出平 面 3-RRR机构的上臂杆件和下臂杆件之间存在运动空间重叠的现象，即干涉。这会最终导致机构运动空 间的减小 ，因而需要寻求-种减小干涉的方法 ，以实现最大化的工作空间。

1.2 平面机构避免干涉的方法及新机构的提出运动机构在最初设计时都有-定的设计运动范围，即运动空间。然而，当实际机构被加工 出以后，由于机构中各杆件是实体且具有-定体积尺寸，会形成干涉 ，导致实际机构 的运动空间小 于设计预期的问题。特别对于结构复杂的机构，传统的经验设计已经不能解决问题，须系统地对其运动空间的最大化问题进行研究 。

根据分析和归纳，可将避免干涉的方法分为 3类。类似地可以将球面机构避免干涉的方法应用到平面机构之上 。由式(4)可知 ，上臂杆件和下臂杆件由于运动空间的重叠 ，无法在同平面解决干涉问题 ，适用于第 2类问题。由此将上臂杆件与下臂杆件分别置于不同平面，可以彻底避免干涉的发生。然而，上臂杆件之问或下臂杆件之间也存在-定的干涉，但 由于机构的各 向同性以及拓扑结构的原 因，无法将各个杆件再分置于新 的平面。因而，可以将 每根杆件的-部分置于另-平 面，通过分析这部分杆件长度对于总体工作空间的影响 ，进而求得与最大化工作空间相 对应 的最优化 的杆件结构。如图 2所示 ，对整体 3-RRR平面并联机构 的结构进行改进 。

图 中 Y形部分 为输 出终端 ，三角形部分 为基础平台 ，3根上臂杆件 和 3根下臂杆件分别联接输 出终端和基础平台。

2 机构工作空间的最优化设计上臂杆件之间的两两交点可以表示为fP - t， (J， - )P - .， U (.， - 1)其 中，上标 U表示上臂杆件 ，定义 n：(是2) 31(志-1。2，3，， 表示取余数)，类似地，对于下臂杆件问的两两交点也有 ：fP l， (t， -B， ) P -t，计 (J -B ) (6)图 2 改进后 的 3-RRR平 面并联机 构Fig.2 Modified 3-RRR planar parallel mechanism如图 3所示 ，对于上臂杆件，置于不同平面的部分占整个杆件长度的比例为 a (上方短粗实线部分)，下臂杆件为 a (下方长粗实线部分)，虚线部分为铰链位置 。

图3 -组改进后的上臂杆件和下臂杆件结构Fig.3 Modified structure of upper and lower limbs可 以将杆件两两干涉的情况分为 3类 ，如图 4所示 ，其中图 4(a)和图 4(b)情况下杆件发生干涉 ，而图 4(c)情况则不发生干涉。

(a) (b) (c)图4 干涉情况分类Fig.4 Classifications of mechanism interference结合式(5)和式(6)，容易求得上臂杆件之间不发生干涉的条件Condil： (f - d1)( 1- 口1)< 0 (7)第 2期 陶宗杰，等：考虑干涉 的平面 3-RRR并联机构的最优化工作空间设计 2431 51 0O 50- O 5- l O1 0 -0 6 -0 2 0.2 0 6 1.0 -1.5 -1 0 -0 5 0 0 5 1.0 1 5XC， c ，图 7 终端旋转角 ≠给定的情况下运动空间中的干涉区域Fig.7 Interference area in the workspace with respect to a given其 中，- c- - cos ÷cosc- ～ -÷Sinc - - l-(yc-B y)COS -(zc-B )sin ]sin(O - )- [( c-B )cos 0 -(zc-B )sin ]sin(O - )- - 詈 ( -1) (13) --百十了 J十P 。

根据此雅克 比矩阵，机构的奇异点 出现在两种情况下 。第 1种情况为 det(J1)- 。。时，即雅 克比矩阵中每行的各项分母为 0。则对 d 进行化简 ：in 0 - 。 0 -lf、3 tf 3- sln(O - ) (14)可 以令cos - ， sin -(15)则式(14)化简为sin COS ～ COS 0 sin - sin(O - )-- sin(O - ) (16)式 (16)表示的是当 和 B 重合时机构出现的奇异位形。此时 ，第 个上臂杆件 和下臂杆件折叠 在-起 ，输出终端不随输入量 的变化而变化 。

另外-种奇异位形为 det(F)：0的情况，先将a 作如式(17)形式的化简 ：- ～ - 刚 ：/-3(T- - (I， - -( - J )- c。s (17)此处 ，定义 为第 根上臂杆件 的倾斜角。同理化简 b ，C ：c - -c - ÷[(z -I， )sin -( - )c。 ](丁 - J )。

--丁- m -sin(q - )v二 。 - Z(18)当 a /a - a /b 时，雅克 比矩 阵中任意两列对应元素成 比例 ，满足 det(F)- 0。由式(17)和式(18)可 以看 出，当且只当 ： 时，即所有上臂杆件相互平行 ，奇异位形产 生▲ 而可推得，若△.， J。与△T T 相似，会产生此种奇异位形。

另外-种则是当 c -0，雅克比矩阵任意-列元素为 0，即当 - - 7c(i-0，1，2，)时(由于T 点与.， 点无法重合，则 a， 和b 无法等于 0)，满足 det(F)- 0。此时， 、 和 -， 三点成-直线。

5 结束语在对平面 3-RRR并联机构进行理论分析 的基础上 ，对避免干涉方法进行 了归纳总结，运用 了-种能够减少干涉、增加工作空间的结构设计方法，进而建立了-种新型的3-RRR并联机构，该机构能够具有最优化工作空间。

对新提出的平面 3-RRR并联机构进行数学建模分析 ，在建立杆件的运动学模型的基础上 ，构建 了机构上臂杆件和下臂杆件空间不发生干涉的数学模O O O O 244 华 东 理 工 大 学 学 报 (自然 科 学 版) 第39卷型表达。经数值方法计算，得到杆件形状系数 a 和 [3]变化对并联机构空间范围的影响规律 ，从而计算出当a 。： 0.64时，工作空问达到最大(约为2.808 3 rad)，即为该机构的最优化工作空间。

通过对最优化 3-RRR并联机 构的工作空间进行数值计算，绘制了3-RRR并联机构工作空间干涉范围；用解析方法分析 了描述机构运动学 的雅克 比矩阵 ，并给出了机构的奇异位形分布情况。本文通过对平面 3-RRR并联机构的工作空间的优化 ，提出- 种新型的机构结构 ，并围绕其应 用进行 了-系列理论分析 ，未来能更好地应用到需要平 面并联机构的诚。