6-UPS交叉杆型并联机床的运动学正解算法

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Forward Kinematics Analysis of 6-UPS Parallel M achineTool with Cross RodFANG Xing ZHAO Ruoyu WU Hongtao MIAO QunhuazⅥ NG Tongyue LIU Yuanwei(1.Institute of Mechanical Engineering，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 2 1 2003；2.Colege of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing UniversityofAeronautics&Astronautics.Nanjing 2 1 00 1 6；3.Key Laboratory of Jiangsu Province for Numeric Manufacturing Technology ，Huaiyin Institute of Technology，Huaian 22300 1)Abstract： 6-UPS Cross rod parallel machine tool is an improvement ofthe Stewart parallel mechanism.As two layers in the movingplatform destroy the symmetry of generally Stewart platform，it is dificult to calculate the analytical solutions of the forwardkinematics problem eficiently.Lodrigues parameters are used to describe the rotation matrix.Through the an alysis of the couplingrelationships among the position and orientation variables of the moving platform，and eliminated position vector parameters in thebasic motion equations，the 4th order equations which have three parameters are obtained.Thus，with the use of Newton iterativemethod，the iterated function that solved the equations is constructed.The method is proved correct and efective through the analysisof the actual paralel machine tools。

Key words： Paralel machine tool Direct forw ard solution of the kinematics Lodrigues parameters Newton iteration0 前言并联机床是并联机构在数控机床设计上的运用，因其结构简单、运动惯量型工作空间大的特国家 自然 科学 基金(50375071)、江苏省 高校 自然科 学基金(09KJB460003)和江苏省重点实验室开放基金(HGDML-0809，CJ0905)资助项目。20111123收到初稿，20120528收到修改稿点，被认为是数控加工中心未来的发展趋势。其中Stewart型并联机构又以其刚度大、承载力强的特点成为机床设计中的首眩6-UPS交叉杆型并联机床是平面平台型 Stewart并联机构的改进形式，其动平台采用上下双层结构，6个顶点交叉布置，以此达到增强刚度、增加工作空间的目的。

虽然并联机构已经在航空航天、医疗及运载机械中得到广泛的应用，但是尚有许多基本的问题并58 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期表不为ekPRa - k-I，2，，6 (4)式中 ， --杆的长度- - 杆的方向单位矢量口 --动平台顶点在动坐标系中的矢量，ak(口x， 口y， 口：， )T- - 定平台顶点在静坐标系中的矢量， ( . by. 0)将式(4)两边取模，并将顶点坐标、位置矢量和旋转矩阵代入，将其展开之后，就有杆长的标量方程式，为了简化表达，略去式中的下标 k， -ai2-6i 2a we2a 2a We-2 -2 2 1Sfl-Sy2-Sz2 2 主 ×ayby2lSx塑2Sy2gz2 axbr2熹 × - -t 2. 鼍旦；t 2 byayOx azOx azo ---·-- - Z--- -- -- 1s Sy 七s 1s s 七s(5)P P P P( Wy wo式中， 是位置矢量 P在动坐标系中的表达形式。

2 运动学正解过程2.1 消元过程式(5)的9个未知变量中， 、 、 、 、 、是描述动平台参考点的位置矢量，通过使用消元方法，使这 6个变量由罗德里格斯参数表示～式(5)改写为如下形式Aqb (6)解出 ，其表达式为PpPxPvWxWz- 2by，- 2by，z- 2by，s- 2by，4- 2by，s- 2by，口。 -fl22f， 口 -2A，≮ by.·2f6，≮ by口 - 2，2口 -2A，：口 by2f6， 口 by口6 66 - 2f，6口 -2A，6 by.·2f6，6 by，广I s U- syE-碍s2- 1Sx2 -1S2Sy2Sz12r -2Sz2 xSy ISx Sz (81， -- 2Sz2SxSy -J4，j 1 r -2SzS2SyJ s，j 1 ， -2 -2SzSyJ6，j 1十 又动平台位置在静坐标系中的位置矢量P与其在动坐标系中的位置矢量 之间有如下关系P-RW (9)将旋转矩阵表示为罗德里格斯矩阵形式，式(9)又可以表示为(h P㈣ (10)这样可以得到关于罗德里格斯参数的3个方程1 ey- - -SyWe0- Pv - - SxWe0 (11)I - - -We0可以验证这 3个方程中，任取其中两个是相互独立的。同时由动平台位置矢量模长的平方是-个数 值 ， 与 坐 标 系 的 选 择 无 关 ， 可 以 得 到 We。 ， We 。这样罗德里格斯参数可以由 3个相互独立的方程求解。

2.2 牛顿迭代经计算得知，用于计算罗德里格斯参数的 3个方程是三元四次的方程组，若采用解析算法，不仅需要大量的计算时间，判别增根的过程也很复杂。

因此根据 Newton迭代公式，构造了迭代函数来求解这个方程组的实数根。Newton迭代公式为xk1xk-f(xk)/f (xk) (12)根据上述公式，首先需要求出方程组关于 3个罗德里格斯参数的偏导数方程，其表达式如下gL kS：g2 ks 七g3 kS g kSx2Syg5 kS Szg6，kSy Szg1ks Sxg8 ksz Sg9ks s yg10， y· gll，Sx g12，Sy g13，Sz g14，SSyg15，kSSzg16，kSySzg17，kSxg18，Syg19，· g20，k-I，2，，9 (13)将所得偏导数方程代入 Newton迭代公式中，整体迭代过程如图2所示。

蚴胍 胍 胁1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 2 - - - - - -1 l 1 1 1 l 2012年 7月 方襄等：6-UPS交叉杆型并联机床的运动学正解算法 59图2 Newton迭代流程图3 数值算例及分析在本节中利用-个具体的算例来验证本文方法的正确性。动、静平台的顶点坐标，即a 、 的值如表 1所示。

表 1 动、静平台顶点坐标首先设定-组反解条件，由于机床具有安装时的约束条件，与动平台上层连接的运动杆长度必须在 977.4 rnnl以上，与动平台下层连接的长度必须在 1 012.94 mil以上。根据这个条件，设定动平台位置矢量为P r-155-155-1 IO0)旋转矩阵为r o.42 -o.738 535 o.527 414、1 0.898 535 0.42 -0.127 414 I l- 0.127 414 0.527 414 0.84 /j对应的罗德里格斯参数分别为 0.244 339、 O.244 339、Sz0.610 847。经过反解计算可以得到 对 应 的 杆 长 分 别 如 下 ： 1 451.87、z21 401.63、 f3 1 429.84 、 f4 1 059.28、 1 349.32、 1 323.26。根据本文提出的方法，经过消元与化简之后得到用于求解罗德里格斯参数的方程组为46.056 3154.815S108.6o4 4 593.44s，496.124 SxS v、898.76Sx sv-125.905 S sv324.047 1.695 68 y 259.522 1 897.07 -2 596.42 366.799 743.375 Sz148.848 SxSz125.905 Sx Sz-12 999.3×S vS z54.987 4SxsvS z275.52S SvS z、361 s Sz-o.002 51 S xs s z275.646s S z45.4064Sz -275.52 Sxs -648.755 s S -743.381 SxS vS 340.12s， 743.381 0-415.2534 593.39 -948.248 1 898.76 。-125.905 S -154.781 Sr465.816 Sxsv、.695 68x259.522 s 3 1 034.97 1 897.07x- 2 596.42- 366.799 339.939 S z-12 999.4sts z314.509 S S z275.52 s Sz-148.798 s Sz-1 235.42 S Sz-O.002 519 SSvS z366.799 S s z275.646 sxS Sz414.987 -648.758 -743.381 Sz 275.646 SvS 340.1 19 sxSvS 340.、19 S 0- 3.985 58×10622 530.8S -1.737 26×10。S 50 119.7S 295 057s 270 253 sv255 920SxS v-548 176 258 7o9s v-3.193 37x 10 -24 1 243 -868 832 Sx Sy 543 600 Sy 257 829 ， -1.163 07×10。S， 2.846 69x10 269 288 1.246 71×10 -2 098.93 S Sz24 935.6S vS z、1 559.7sxSvSz-195 784 s svs z .245 76x 10t S sz1.089 68x106 sxS S z95 579 s S S z-3.635 06x10 ， -20 524.2 S 2. × 6z894 58 10 Sz272 212 260 618 SSySz。1.434 42x10b S s -3.542 16x 10bSz3271 248 sxs 22 929 SyS 644 235 Sz 0采用第 2节所述的牛顿迭代方法计算该方程组，由于数值计算中起点的选柔造成不同的函数值逼近路线，因此选取3组不同的起点值用于观察算法的逼近路线，迭代计算的全部结果如表 2所示。

6O 机 械 工 程 学 报 第 48卷第 13期其中第-组解是预设的结果，将其代入式(3)，即可得到动平台姿态的旋转矩阵，另外动平台的位置矢量也可以由式(7)求出，至此运动学正解完成。

4 结论(1)提出了-种求解 6-UPS交叉杆型并联机床运动学正解的数值计算方法。采用罗德里格斯参数表示旋转矩阵，通过分析动平台位置矢量和姿态变量之间的关系，利用运动基本方程进行消元计算，得到了只含有罗德里格斯参数的三元四次方程组，该方程组可以得到运动学正解的全部解析解。

(2)采用牛顿迭代方法，构造出用于求解三元四次方程组的迭代函数。使用该迭代函数在数学软件 Mathematica上对具体构型进行计算，选认适的起点，迭代 7次得到正确结果。需要指出的是，起点的选择对迭代结果的正确非常重要，如何能够降低起点选择对计算结果的影响，有关内容还需要进-步的研究。