基于简化Jones-Harris方法的球轴承接触角研究

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Contact angle of bal bearings based on a simplifed Jones-Harris methodZHANG Xue-ning，HAN Qin-kai，CHU Fu-lei(State Key Laboratory of Tribology，Tsinghua University，Beijing 100084，China)Abstract： As one of the important structural parameters of bal bearings，the contact angle has a great impact onload distribution，motion relation，lubrication，and friction，et a1.of bearing components.Based on the simplifcation ofvariables coupled relations involved in solving inertia forces，a simplifed Jones-Haris method(SJHM)used to study thecharacteristics of contact angle in ball bearings was proposed.The disadvantage of the direct iteration method used to getthe influence of inner·-race deflection angle on contact angle was overcome through giving the inner-race deflection angle inadvance.The validity of SJHM was verified with a calculation example of b218 bearing.Then，the influences of multiplefactors on contact angle were analyzed.The results showed that the centrifugal force has a much greater impact on theinner and outer contact angles than the gyroscopic moment does；the contact angle is very sensitive to the variations ofinner-race deflection angle and the inner-race deflection angle can make the inner and outer contact angle of the samerolling element increase or decrease simultaneously。

Key words：bal bearings；contact angle；simplified Jones-Harris method；inner-race deflection angle；inertia force接触角作为滚动轴承重要的结构参数，对轴承组件的载荷分布、运动关系、润滑、摩擦等都有重要的影响 。而且在工程应用中为了研究转子系统的动态稳定性，也必须对滚动轴承的接触角有足够的了解。因此，国内外许多学者对接触角的变化规律进行了研究 。Jones首先建立了滚动轴承接触角分析的力学模型8 J，而后 Haris对该模型进行了改进 J，他们提出的分析方法被后继学者所广泛采用，该方法被称为Jones-Harris方法，以下简称 JHM方法。

JHM方法可用于分析许多因素对接触角的影响，如轴承结构参数、载荷、转速等。大多数基于此方法的基金项目：国家自然科学基金(51075224，11102095)；清华大学摩擦学国家重点实验室自主研究课题(SKLT11A02)收稿日期：2012-04-17 修改稿收到 日期：2012-07-13第-作者 张学宁 男，博士生，1985年2月生研究是以转速为参数笼统地分析惯性力影响下接触角的变化规律，本文明确地将惯性力分为离心力和陀螺力矩，分别讨论了二者对接触角的影响。

工程实际中，转子系统不可避免的会存在偏心，这样转子系统在运转过程中产生的惯性力就会对支承轴承产生转矩的作用，进而使内圈产生偏转角。虽然根据 JHM方法建立的力学模型可以考虑轴承内圈所受的转矩，但是，由于内圈偏转角对接触角的影响非常大，基于 JHM方法迭代求解内圈偏转角时，很难得出收敛的结果，所以从 Jones、Haris以及基于此方法研究接触角的学者的结论中并没有看到内圈偏转角对接触角影响的规律。为了解决这个问题，本文建立模型时考虑了偏转角，并在迭代求解时通过预先给定偏转角的值，得出了内圈偏转角对接触角的影响规律。此外还讨论了轴承轴向载荷和径向载荷对接触角的影响。

第 13期 张学宁等：基于简化 Jones-Haris方法的球轴承接触角研究 1711 滚动体简化惯性力的确定从力学的角度来看，离心力和陀螺力矩都是物体运动过程中表现出来的惯性效应，本文从广义上将二者统称为惯性力。为了确定滚动体所受的惯性力，首先需要确定滚动体的自转、公转速度，通常情况下，这两个速度和滚动体的接触角之间存在耦合关系，为解除这种耦合关系，使问题的分析得到简化，本文做出如下假设：(1)不考虑轴承打滑。

轴承运转过程中，滚动体的运动可以分解为绕 自身转轴的自转运动和绕轴承轴线的公转运动，当滚动体自转轴和轴承轴线不平行时，滚动体会受到-个惯性力矩的作用，这个力矩被称为陀螺力矩，它可以表示为：MgJwR03 sin3 (1)式中：.，为滚动体绕自转轴的转动惯量；03 为滚动体绕自转轴的自转速度； 为滚动体绕轴承轴线的公转速度； 为滚动体自转轴与轴承轴线的夹角。

滚动体绕轴承轴线公转时的离心力表达式为：F ÷md ∞2 (2)式中：m为滚动体的质量；d 为轴承的节圆直径。

在前述假设下，轴承中运动部件的速度可以根据纯滚动理论推知，当轴承外圈静止，内圈与轴以相同的速度 n转动时，滚动体的自转速度 为：： [1-(Dc0s /d ) ] (3) R L L 吣 m J j式中：n为轴承内圈转速；D为滚动体直径； 为轴承的名义接触角。

滚动体的公转速度 03 为： (1- D cos ) (4)滚动体 自转轴与轴承轴线的夹角 满足下面的关系：r sins。 、卢tan I-- I (5)eo 。 /式中：ot 表示滚动体与外圈的接触角，这里做-简化处理，外接触角 以名义接触角 ot代人，上式可以重新表达为：f， -、tan l D I (6)co /将式(3)，式(4)，式(6)代入式(1)即可求得陀螺力矩 ，将式(4)代入式(2)可得滚动体的离心力 F 。

2 接触角分析力学模型滚动体的运动规律以及它和内、外滚道的接触、摩擦特点-直是滚动轴承研究的难点 ，而滚动体的受力、变形对接触角的变化有重要影响，因此建立合理的滚动体受力模型对于问题的研究很关键。由第 个滚动体的球心和轴承轴线确定的平面切出的滚动7转轴 /， f If 、/ 、、图 1 滚动体的力学模型Fig.1 Mechanical modelof roling element体截面如图 1所示。忽略截面外的摩擦力，假定陀螺力矩敲被截面内滚道与滚动体接触区的摩擦力产生的力矩所平衡，这样就有图 1中给出的滚动体的受力情形，A A oi为滚动体与内、外滚道接触的摩擦力系数，考虑陀螺力矩被内、外滚道的摩擦力矩所平均分担，取A A 1。

图 1中，ot Oloj分别表示滚动体的内、外接触角，Q Q。，分别表示第 个滚动体与内、外滚道的接触载荷。对于球轴承，根据赫兹接触理论，接触载荷满足：Q K (7)Q。fK 6。f (8)式(7)、式(8)中 6。 分别表示第 个滚动体与内、外滚道的接触变形， ， 分别表示第 个滚动体和内、外滚道的接触刚度系数，给定轴承材料、结构参数后接触刚度系数的值可以由文献查得9 J。

沿图中 和 Y方向建立第 个滚动体的力平衡方程Q sin -Q sin --Aij M-c。s A osM厂zc咖 0 (9)Q s Q s sinSin 0 (1o)滚动轴承在外载荷以及惯性力的影响下，组件之间的空间位置关系会发生变化，通过组件之间位置关系的分析可以找出轴承接触角的表达式，图2给出的是假设外滚道静止不动，轴承受载前后，外滚道沟曲率中心、内滚道沟曲率中心和第 个滚动体球心空间位置的相对变化。点 A、c、o表示三者在受载前的相对位置， 、c 、o 表示三者在受载后的相对位置。 ， ，A∽A 提为了分析的方便引入的辅助变量。

根据图2中给出的位置关系可以得出如下的第172 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷图2 轴承组件相对位置的变化Fig.2 Variation of relative position of bearing components个滚动体与内、外滚道的接触角表达式：- o s (万 ) (11) ( ) (12)此外，由图2根据勾股定理还可以得出如下的约束关系( 1 - 1，) (A2f-X27) -[( -0.5)D6 ] 0 (13)霹f罡f-[( -0.5)D6。，] 0 (14)式(11)至(14)中，A A：，表示轴承受载后第 个滚动体处内、外滚道沟曲率中心之问的轴向和径向距离，由内圈的位移和滚动体的位置角确定。

为了确定轴承在外载荷作用下的内圈轴向位移6。、径向位移 6 ，需要建立轴承内圈的力平衡方程。图3表示的是滚动体在轴承节圆上的分布，内圈除了受到轴向载荷 F。、径向载荷 F 、力矩 的作用外，还要受到每个滚动体施加在内圈上的接触力和摩擦力的作用。

考虑所有滚动体对内圈的作用，内圈在轴向和径向的力平衡方程如下：Fo骞(Q n - cos )o( 5)Fr耋(Q s sinaq)COSOj0 )式(9)、(10)、(13)、(14)是对第 个滚动体进行分析得出的力和几何的约束方程，对于含有 个滚动体的轴承-共有4z个方程，加上内圈的两个力平衡方程，总共是4z2个方程。对应每个滚动体有 ， ∽四个未知量，内圈位移6。，r也是未知量，所以未知量的个数也是4 2个，联立4 2个方程采用迭代的方法可以求解所有的未知量～求解出的未知量代人式(11)和式(12)即可得到每个滚动体与内、外滚道的接触角。

图3 滚动体沿节圆的分布Fig.3 Distribution of roling elements in pitch circle3 结果与讨论在模型建立中考虑了内圈偏转角 0对接触角的影响，但是在求解中偏转角 0并不是作为-个未知量经迭代求解得出，而是通过预先给定它的值来研究偏转角对接触角的影响规律。采取这样的处理方式有两点原因，第-，内圈偏转角通过实验测试的方法易于获得；第二，从后面的分析可以看出，内圈偏转角对接触角的影响很大，如果将其作为迭代求解的未知量，很难得出收敛的结果。

根据前面的分析，以 b218轴承为对象，采用本文提出的SJHM方法对模型进行了求解，通过与 JHM方法得出的结果相对比验证了方法的有效性，在此基础上分析了其他因素对接触角的影响规律。b218轴承的参数值如表 1所示。

3.1 方法的验证图4给出了轴承受纯轴向载荷，内圈转速分别为0r/min和 10 000 r/min时，采用 JHM方法和本文方法计算得出的位置角为零度处的滚动体的内、外接触角随图4 本文方法与 JHM方法所得结论的比较Fig.4 Comparison of results betweenJHM method and method of this paper第 13期 张学宁等：基于简化 Jones-Harris方法的球轴承接触角研究 173轴向载荷的变化。转速为 0 r/min时，内、外接触角相等；而转速为 10 000 r/rain时，内、外接触角出现了差值 ，内接触角变大，外接触角变校从图4中本文方法与JHM方法所得结果的比较可知，无论在数值上，还是在趋势上，二者的结果基本-致，从而证明了本文方法的有效性。

表 1 b218轴承参数Tab.1 Parameters of b21 8参数 取值40。

1611.628 111.628 1102.793 8147.726 422.225名义接触角滚动体数目z内滚道沟曲率半径 Fi/mm外滚道沟曲率半径 ro/mm内滚道直径 d /mm外滚道直径 d /mm滚动体直径 D/mm3.2 离心力和陀螺力矩对接触角的独立影响分析许多学者对于接触角的分析只是给出不同转速对接触角的影响规律，但是转速是通过使滚动体产生惯性力，进而通过惯性力对接触角产生影响。滚动体的惯性力包括离心力和陀螺力矩，如果仅以转速为变量研究接触角的变化规律，那么得出的结论是离心力和陀螺力矩共同作用下接触角的分布，为了分别研究这两种不同的惯性效应对接触角的影响，需要将它们分开讨论。

0 60 l2O l80 240 300 360 400滚动体位置角 )图5 陀螺力矩对接触角的影响Fig.5 Influence of gyroscopic moment on contact angle图5给出的是仅考虑陀螺力矩的影响时所有滚动体的接触角∩以看到，当转速升高导致陀螺力矩变大时，所有滚动体的接触角都变大，但从纵轴可以看出变化的幅度很小，而且陀螺力矩不会使滚动体的内、外接触角出现差值。图6是仅考虑离心力的影响时所有滚动体的接触角，由图可见，离心力会使滚动体的内、外接触角出现差值，转速的升高导致离心力变大时，这种差值会变大。同时可以看到，离心力的作用下，滚动体与滚道的内接触角 变大、外接触角 。变校图5与图6相对比，从接触角的数值上可以看出，离心力对C蓬塑董垃蒸忙滚动体位置角，(o)图6 离心力对接触角的影响Fig.6 Infl uence of centrifugal force on contact angle接触角的影响比陀螺力矩的影响要大得多。

从上面的分析可以得出，相比于离心力的影响，陀螺力矩的影响可以忽略。因此，惯性力对接触角的影响可以认为就是离心力对接触角的影响。

3.3 径向载荷对接触角的影响由图7可以看出，当轴承不承受径向载荷时，相同转速下，不同位置处滚动体的内接触角或外接触角分别相等。但是，从图8可以看到，当轴承有径向载荷的作用时，相同转速下，不同位置处滚动体的接触角会出现差值，而且径向载荷越大，这种差值越大。同时可以看到，径向载荷对于不同位置处滚动体接触角的影响是不同的，对于0。和 180。处的滚动体，接触角变化最大，这是因为这两处的滚动体处在径向载荷的作用线上，径向载荷对这两处的滚动体的变形影响最大，进而使接触角变化最为显著。当滚动体远离径向载荷作用线时，径向载荷对接触角的影响变校 嘏 罂鲻，程 留垃 0 6O l2O l80 240 300 360 42O 480滚动体位置角 。)图7 无径向载荷时的接触角Fig.7 Contact angle without radial force3.4 轴向载荷对接触角的影响从图7可以看出轴向载荷并不会导致同-转速下、不同位置处滚动体的内接触角或外接触角出现差值。从图9可以看出轴向力增大可以使不同位置处滚动体的接触角差值变小，所有滚动体接触角整体上的趋势是向轴承受静载时的接触角靠近。

∞ ∞ 帅e 蛭攫i参 ， 罨犟嚣聪枢174 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷《 援罂鲻畚，.翟嚣耸忙遂媛疆髂交，岛蛙蟋忙滚动体位置角，《 )图8 径向载荷对接触角的影响Fig.8 Influence of radial force on contact angle滚动体位置角/(。)图9 轴向载荷对接触角的影响Fig.9 Influence of axial force on contact angle3.5 内圈偏转角对接触角的影响由图 10可以看到，轴承内圈偏转角也会使不同位置处的滚动体的内接触角或外接触角出现差值，不过与径向载荷导致的差值不同，内圈偏转角导致的差值对于内、外接触角而言效果是-样的，也就是会使内、外接触角同时增大或减校这是因为偏转角作为内圈的-个整体位移，会使滚动体与内、外圈的接触线相对于轴承的径向平面偏转同-个角度，这样就导致了同- 个滚动体内、外接触角的同步变化。

根据轴承接触角的定义，位于内圈偏转轴上方和下方的滚动体的接触角变化趋势应该相反，这也可以从图10中看出，位于偏转轴上方的滚动体位置角分布在0。9O。、270。-360。，这些位置处的滚动体的接触角变大；位于偏转轴下方的滚动体位置角分布在90。-270。，这些位置处的滚动体的接触角变小；处在转轴上的两个滚动体位置角为90。和270。，偏转角对它们的接触角没有影响。这些规律与其他学者通过几何分析的方法得出的结论相同 。

通过图 10还可以看到，接触角对内圈偏转角的变化非常敏感，从图上大致可以看出内圈发生0.028。的偏转角，接触角的最大变化量约达 3。。正是因为接触角对内圈偏转角变化的敏感性，所以采取了建立模型时考虑内圈偏转角，但是在求解时预先给定偏转角的、 强. L ，曼芝青筵0警 滚动体f fJ，(。)图 10 内圈偏转角对接触角的影响Fig.10 Infl uence of inner-racedeflection angle on contact angle- .n：0r/nlili十 7 " ；： 鼢 I1 0 O0。

6O l2O l8O滚动体位置角，(。)O图 三个内圈偏转角下接触角的比较- 处理方法，否则很难得到内圈偏转角影响下接触角的变化规律。此外需要指出的是，国内外尚缺乏内圈偏转角对接触角影响的实验研究，这-方面的研究工作有待进-步开展。

和 - . 。时，所有滚动体接触角的相对变化，当 分别取 . 。和 -. 。时接触角变化的对称性与上面的分析是-致的。

结 论对分析滚动轴承接触角的 方法所涉及的变量关系进行了简化，提出了求解球轴承接触角的 方法。采用该方法得出的结果与 方法得出的结果-致，证明了本文所提出的 方法的正确性。鉴于接触角对内圈偏转角变化的敏感性，模型中考虑偏转角，但预先给定偏转角的值，在此基础上，通过深入分析陀螺力矩、离心力、轴向载荷、径向载荷、内圈偏转角对接触角的影响规律，得出了如下结论：惯性力会使同-滚动体的内、外接触角出现差值，但真正导致差值出现的是离心力，陀螺力矩不会导致差值的出现，而且离心力对接触角的影响要比陀。

∞ ：孚 ∞ 如-。)，嫂是莓采 ，般留 蠡 忙第13期 张学宁等：基于简化Jones-Harris方法的球轴承接触角研究 175螺力矩的影响大得多。

(2)径向载荷会使不同位置角处滚动体的接触角出现差值，径向载荷越大，差值越大。

(3)增大轴向载荷有利于减小不同位置处滚动体接触角的差值，而且轴向载荷的增大会使滚动体的内、外接触角都趋近于轴承受静载时的接触角。

(4)接触角对轴承内圈偏转角的变化非常敏感，内圈偏转角会使同-个滚动体的内、外接触角同时增大或减校本文提出的接触角简化分析方法及所得结论为接触角影响下的转子系统动态稳定性研究提供了依据。