基于齿廓法线的非圆齿轮齿廓数值算法

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中图法分 类号 ：TH132.424 doi：10.3963/j.issn.2095-3844.2013.03.048非圆齿轮是 圆齿轮的-种变形，即其滚动节圆已变为非圆形 ，称之为节曲线l].非 圆齿轮用于传递两轴间的非匀速转动，具有运动精度高，结构紧凑，刚性好，传动平稳和易实现动平衡等优点.随着 CAD/CAM技术的发展 ，非圆齿轮逐渐在轻工自动机械、机床、仪器仪表 以及其他产业机械等诸多行业 中得到 日益广泛的应用l2]，但是其齿廓的方程求解-直是-个难题l3].武传宇 和李建刚l5]分别基于滚齿和插齿给出了具体的数值算法.插齿模型可用于对内凹节曲线齿廓的求解，但根据插齿数值算法，特别是对所有点都在插齿刀的实体内或外的判断困难，运算量大.本文基于插齿刀的数学模型，运用齿廓法线法和数值逼近的思想，提出-种简单、高效的非圆齿轮齿廓的求法。

1 基于插齿法加工的数学模型如图 1所示 ，假设非圆齿轮沿定点 0转动 ，插齿刀沿 .32轴 移动并 自转，保证节 曲线纯滚动.以非圆齿轮的轮心建立 固定坐标 系 0。z。Y。，坐标系0 .32 Y 和非圆齿轮 固连 ，插齿刀和坐标系 0z32 Yz固连。

设齿轮 1的节曲线方程为r- r(q9 (1)若插齿刀齿数为 z (非圆齿轮的齿数 z-kz ，其中足必定要为整数，否则无法加工)，插齿刀模收稿日期：2013-01-05童 婷(1990-)：女，硕士生，主要研究领域为机械工程图 1 插 刀加工 非圆齿轮的几何关 系数为 m，压力角为 ，基圆半径 r。- /2。

节曲线切向与径失夹角 (2).d. . . . .r. . . . . .(. . . .4. .-)- ( )- s(粤 ) (3)插刀中心距 LL-√r(56) r；-2r。r(≠)c。s(号 (j5)(4)插刀中心转角 y (j5)y ( )- 声-嘲 n(sin)(5)r。 P 十 r第 3期 童 婷，等：基于齿廓法线的非圆齿轮齿廓数值算法 · 653 ·插刀相对定坐标系转角 )， ( )y2(6)- )-咖 n( )(6)将插齿刀以逆 时针方 向给轮齿编号 ，每-个轮齿上有两段齿廓线，可得左右相应渐开线齿廓线的表达方程式如下。

z ，- lz c。s( )- sin ( ).y。 - z sin (，z ) c。s( )z -XkCOS(n譬擎2(tan a-a)-sin( 2(tan d- a))Yz1- Xk si n ( 2(tan d- ))十 L- 十 十 LykcOS( 2(tan - )( 7)式中：- (COS(aK ) (dK )sin (aK ))1Y (COS(aK )(aK0K)sin(aK ))(-z Y。 )，(z .y )分别为第 个齿上左右 2段齿廓坐标 ， -1，2， ，z；rb为 插齿 刀 的基 圆半径 ；a 为压力角 ； 为展角 ；a为节 圆上压力角。

根据 图 1，将插齿刀上 的点 由坐标系 0 32'变换到定坐标系 0。37。 下 ，得Mo (95)-再将定坐轮坐标系 01z1Vcos(- )I sin(- )1 0标 系 0ozoYY 下，得- sin (- )COS(- )0(8)。 上的点变换到非 圆齿0] l 1JL 1r-cos - sin LCOSMo2-I sin COS L sin ll o o 1 J2 齿廓曲线的数值方法如图 2所示 ，P。为 此时刻 节 曲线 上 的瞬心点，c。为此时齿廓的啮合点，，l。为啮合点上的法向量 ，根据 ·n-0。，则 P。必在 。上 ，在非圆齿轮转动角度 后 ，则此 时瞬心点为 C ，啮合 点为 P ，对应于插 刀上点为 c ，P ，相应 的插刀转动的角度为 。

图 2 非圆齿轮啮合点其具体的算法如下：对于任意的 ，必有-点P 为该时刻 的瞬心点.由式(1)可得- r(声 )COS 1Y -r(≠ )sin f利用式(2)可得出当在该时刻插刀的转角- ㈣ u ∞ - - - Ll从而可求出 P 的坐标为z- 。cO。 (11)-r。sin f下面就要求 P 为瞬心时在齿轮每个齿廓上的啮合点，即求过此点对于每个齿廓的法线所在点，直接求法要联立方程，计算困难，采用数值逼近方法，对任意-段齿廓(见图3)，齿廓上的点由方程 (7)给出，由方程 (7)中 a 为参变量求 出G z ，.y )，可得出任意点的法矢 聆 ，- - ·(9) 相应 P；C 向量为1 ，I - - .T&- 协 --x[i2]Mol('1)Moe(Y2)由图 3可知 ，越接近于 点 ，则 越小.因此，只需判断( - )( - )<0，即可得出在C 与 之间.使用二分法取中间，多次循环，可使数值逐渐逼近真实值.求出 ( ：， ：)，再利用式(8)、(9)、(10)进行坐标变换，即得相应在非圆齿轮上的啮合点 C (z ，Y )。

， -1 J 二二J∽-， r - l 武汉理工大学学报 (交通科学与工程版) 2013年 第 37卷图 3 齿廓的法向量由图 5中可见，在齿轮的三段尖顶部分 ，发生了明显的根切现象，是不满足设计要求的，需要改变 中心距或者选用齿数模数重新设计。

3 设计实例及其说明 4 结 束 语传动函数为 i 2-1.414 21sin(3 )的-对非圆齿轮 ，其 a-50，z-24，m-2.074 mm.由于其节曲线有内凹部分，不能利用滚齿加工的数学模型进行设计计算.这里，利用上述的非圆齿轮齿廓数值算法进行计算。

建立以插齿加工齿轮的数学模型，如图4所示；再根据上述算法，利用 MATLAB编程求得主动轮和从动轮的齿廓见图5。

图 4 插刀加工齿轮位移关系图 5 主从动轮实例利用该数值解法，可以求出渐开非圆齿轮的齿廓，并且当插齿刀的齿廓为圆或者正弦等其他齿廓时，也能计算得出相应齿廓的非圆齿轮；可用于内齿轮，或者节曲线内凹非圆齿轮的设计.其算法简单易实现，能为用插齿刀加工非圆齿轮提供各轴坐标数据 ，也能基于齿面数据用 电火花线切割直接加工非圆齿轮，值得推广和应用。