基于数值方法的内超环面齿轮齿廓离散建模

Discrete M odeling of the Tooth Profile of the Stationary Internal ToroidalBased on Numerical M ethodHong Mei， Yao Ligang(School ofMechanical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou Fujian 350108，China)Abstract：The tooth surface of the stationary internal toroidal gear that is the key pans of thetoroidal drive is a complex space curved surface.In order to realize the complex surface of the NCprocessing and using the finite element method for the contact analysis，whether obtaining theaccurate entity model of the stationary internal toroidal gear or not is the key to resolving theproblem.In this paper aiming at the stationary internal toroidal gear digital modeling problems，according to the mathematical model of the stationary internal toroidal gear，the grid divisionmethod of the helical tooth surface is given，the method of the stationary internal toroidal geardiscrete modeling based on the numerical method is put forward.The method adopts cuttingplanes to scatter the stationary internal toroidal gear model into data point cloud，SO as to get thestationary internal toroidal gear discrete model as the basis for later complex curved surfaceinterpolation reconstruction。

Key words：toroidal drive；stationary internal toroidal gear；discrete modeling；entity model超环面行星蜗杆传动，如图1所示，由中心蜗杆、行星蜗轮、内超环面齿轮、行星架以及滚动体组成，它将蜗杆传动和行星传动有机地结合成-体，是-种滚动啮合的行星蜗杆传动。这种收稿日期：2012-10-29；定稿日期：2012-12-25基金项目：提高超环面行星蜗杆传动精度的研究，国家自然科学基金资助项目 (50675035)；超环面行星蜗杆传动系统的修形设计与加工的研究，衅技发展基金项目 (600621)作者简介：洪 玫 (1980-)，女，辅厦门人，讲师，博士研究生，主要研究方向为数字化设计。E-mail：ahiahm###sohu.com图 学 学 报 2013血图3 行星蜗轮与内超环面齿轮啮合坐标系行星蜗轮的球形轮齿是内超环面齿轮齿廓的包络母面，如图4所示为其在空间坐标系 .中的位置， (f0， ， )为球形滚动体的参考坐标系， 。，(乇， ， )为球形滚动体的动坐标系，与球形滚珠固连。球形滚珠半径为P， 、1，为滚珠的球面参数。

jn-，2·图4 行星蜗轮与内超环面齿轮啮合坐标系由图4经坐标变换，可得行星蜗轮轮齿在坐标系 2，中的方程为：r2，：[x2， Y ，Z2，]TPCOSYr2PCOSUsin 1，Psm sm 1，由齿轮啮合原理 们，两共轭齿面∑(2)、∑(3)的啮合方程、啮合函数为：，l ( )0 (2)n '，( ) (3)式(2)、式(3)中， ，为行星蜗轮与内超环面齿轮啮合点处的公法幺矢；'，( 为行星蜗轮与内超环面齿轮在啮合点处的相对速度矢量∩以推导出内超环面齿轮螺旋齿面方程如下：I x3， COS COS x2，-COS sin Y2， l～i.no3zz，ao cos。

， -sm 3 cos02X2 sm sm 2 2 (4)I -cosq3z2，- o sin仍l Z3， sin cP2x2，COS2Y2，tanurz·/23/( cos&ao)式(1)、式(4)中，I"2、i23及 0都是己知常数，U、1，均为滚珠球面参数。内超环面齿轮齿面方程是关于( ， )的参数方程。 是随行星蜗轮转角P2而改变的变量，当给定-个 的范围，的取 值 范 围随 之 确 定 。 v的取 值 范 围是[兀/2，7c/2]。

1.2 内超环面齿轮旋转曲面的数学模型内超环面齿轮旋转曲面方程为：f，r r2c。s ，j 3 3.c。s (5)I 3， 3·sinz ： .sin 3式(5)中， 是行 星蜗 轮计算圆半径 ， [-兀/3，兀/3， [o，27]， 3是结合内超环面齿轮包容行星蜗轮的包角E 来取值的，而0 则根据 内超环面齿轮绕其轴线旋转-周 的变化范围所确定的。

2 内超环面齿轮螺旋齿面网格的划分内超环面齿轮螺旋齿面是复杂的空间曲面，为了获得齿面精确的数字化模型，本文采用网格状曲面模型来表达其理论齿面，如图5所示。所谓网格状曲面，就是用满足-定精度要求的离散的小曲面片来近似表达整张曲面。根据内超环面.100 1加 y x图 5 内超环面齿轮螺旋齿面网格状模型 (单齿)第 4期 洪 玫等：基于数值方法的内超环面行星齿轮齿廓离散建模 91齿轮接触线方程，提取网格曲面信息点，从而建立网格状 曲面模型来近似表达内超环面齿轮理论螺旋齿面。

2.1 网格曲面信息点的确定为了将内超环面齿轮螺旋齿面离散化，可采用与内超环面齿轮端面平行的截平面蔟如图6所示与其理论接触线求交来获得齿面点。

图6 截平面蔟位置蔟若用 ，z个截平面与齿面 ，z条接触线求交，可获得 mxn个齿面信息点，这些齿面信息点就构成了内超环面齿轮螺旋齿面的离散数据点云。决定这些离散小曲面片的大型位置的就是这些离散数据点，用矩阵形式来表示即为：(口f，) 8o(- l1( -1))(m-1)可以通过网格加密来保证内超环面齿轮螺旋齿面的离散模型精度，即通过改变截平面的个数 和内超环面齿轮接触线的条数m来控制网格间距，网格间距越小，误差越校.501∞2.2 螺旋齿面离散数据点的求解算法如图 6所示，设Z 为截平面在z轴上的截距，则截平面方程为：F z- 0 (6)联立式(4)和式(6)，可获得内超环面齿轮螺旋齿面和截平面截交线的非线性方程组，即：F(q2)z(e2)- 0 (7)在给定截平面的情况下，运用对分法求解方程(7)1) 确定有根区间根据超环面行星蜗杆传动系统基本设计参数确定行星蜗轮转角 的工作范围[ ， ]，分别计算F((fl2 )和F(q26)～ 的工作范围[ 2 ， 26]分成 个单调区间， 2 2 ih，h( -仍 )/n，(f1，，，z)，按步长逐步搜索，若F( 2 ) ( 2f1)<0，则确定了-个有Erzf。

2) 对分法求方程的根假设找到的有根单调区间为[ ：6 ]，取区 间 的 中 点 (02。l 61)/2， 检 查F( 2 1) ( )<0是否成立。若成立，则取[ ]为搜索区间，否则，取[ ， 6 ]为搜索区间，反复执行上述步骤，直到对分区间缩小到允许的误差范围之内。

根据根据上述算法，在Matlab中建立内超环面齿轮螺旋齿面单齿离散模型，因为内超环面齿轮有 23个齿且均匀分布在其旋转曲面上，因此，将所得的单齿螺旋齿面离散模型阵列为23等分，从而得到内超环面齿轮螺旋齿面离散模型，如图7所示 。