一种多元素多尺度形态非抽样小波分解方法

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A Kind of Multi--Element and Multi-Scale Morphological UndecimatedW avelet Decomposition M ethodWang Bing，Li Hong-rl，Xu Bao-hua(Department of Missile Engineering，Ordnance Engineering Colege，Shijiazhuang 050003，China)Abstract：Aiming at that the fault signal of motor bearings is always hidden by heavy background noise，a kind ofmulti--element and multi--scale morphological undecimated wavelet decomposition method is proposed to extract faultfeature of rolling bearings.The method is based on the normal framework of morphological undecimated wavelet，eombi-ning the filtering character of open--close and close-open mixed operator with the character of impulse feature extrae-tion in gradient operator.Triangle and fiat structuring dement are used in the two paas of filters，and the eficiency offilter is optimized.The experiment results show that the method is able to filter harm onic wave and noise，and efective-ly extract impact components.A beter perform an ce is achieved compared with traditional morphological undecimatedwavelet method。

Key words：rolling bearing；fault diagnosis；feature extraction；morphological undecimated wavelet；muhi-element；muhj-seale轴承故障在电动机故障中占有很大比例。当轴承存在局部缺陷时，其振动信号中的脉冲信号含有丰富的缺陷信息，如果能够有效地将缺陷引起的脉冲信号提取出来，便可以诊断出缺陷存在的部位 。

包络分析与小波包分解是 目前常用的滚动轴承故障特征提取方法 J，但包络分析需要预先确定带通滤波器的中心频率和频带；而小波包分收稿 日期 ：2012-08-13；修回日期 ：2012～11-08基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275524)作者简介：王冰(1984-)，博士研究生 ，研究方向为装备状态监测与故障预测。E-mail：1002624905###qq.corn。

解在本质上仍是-种基于频率的线性分解，且存在各频带能量交叠现象。因此，对于具有非线性非平稳特征的轴承故障信号，这两种方法很难取得理想的效果。

基于此问题，文献 [7-8]提出了形态小波(morphological wavelet，MW)的概念，成功地将大多数线性小波和非线性小波统-起来，形成了多分辨分析的统-框架。但该形态小波在信号分解时会出现逐层信息减半的情况，且在本质上是Haar小波，因此重构信号不够平滑。文献[9]提出-种形态非抽样小波(morphological un-deci-mated wavelet，MUDW)分解方法。文献 [10]利用《轴承)2013.No.5数学形态学算子构造了 MUDW 的-般框架。文献[11]则基于该框架提出形态开运算、闭运算级联的组合滤波器方法，并将该方法应用到复杂锥筒振动信号特征提取中，取得了很好的效果。文献[12]利用多尺度形态开闭滤波代替文献[1 1]中的单尺度组合滤波，并依次提取了主减速器振动特征。文献[13]构造了-种基于多尺度差值形态滤波的形态非抽样小波分解方法，并将其应用到滚动轴承故障特征提取中，取得了比传统小波包分解更好的效果。文献[14]构造了-种具有2部分的形态非抽样小波分解算子，前-部分用形态开闭和闭开的混合滤波器平滑噪声，后-部分用形态差值算子提取冲击特征，取得了较好的效果。

在此，根据滚动轴承故障信号的特点，在MUDW 的-般框架内，提出了-种多元素多尺度形态非抽样小波分解算法，并应用该方法对电动机轴承典型故障信号进行分析。

1 形态非抽样小波理论1.1 数学形态基本变换基本数学运算包括腐蚀、膨胀、形态开和闭运算1 。设I厂(n)和g(n)分别为定义在集合F0，1，，N-1和集合 G0，1，，M-1上的离散函数，且Ⅳ≥M。其中，f(17，)为原始信号，g(n)为结构元素，则 /1，)关于g(n)的形态腐蚀和形态膨胀算子分别定义为(fog)(n)min-厂(nm)-g(m)，m0，1，，M -1； (1)(-厂o g)(n)max /1，-m)g(m)，m0，l，， -1； (2)/1，)关于结构元素 g(n)的形态开和闭运算分别定义为( 。g)(/1，)(fog① g)(n)， (3)(f·g)(n)(f①gOg)(n)， (4)式中： 和 ① 分别表示腐蚀和膨胀运算；。和 ·分别代表 n)关于结构元素g(n)的形态开和闭运算。

1.2 形态非抽样小波变换形态非抽样小波克服了传统形态小波因抽样引起的不足，是-种基于数学形态学的信号多分辨率分解理论。

1.2.1 金字塔条件和对偶小波分解形态非抽样小波分解中具有分析算子和合成算子，且必须满足金字塔条件 -81。(0j ( ，Y)) ， (5)( 。( ，Y))Y， (6)式中： 0和 0分别为信号分析算子和细节分析算子； ， 为信号合成算子； ∈ 小Y∈ ，集合 和 分别为第 层信号空间和第 层细节空间。如果在 ≌间，有 0j id成立( 为等同算子，即id(xj) )，则称分析算子和合成算子满足金字塔条件。

金字塔条件保证在分析和合成这两个连续的步骤中，没有信息的损失。基于金字塔条件，可以构造对偶小波分解。单层对偶小波分解框架如图1所示，多层对偶小波的分解方法与其类似。

分图 1 单层 对偶小波分解框架示意图1.2.2 形态非抽样小波-般框架及算法形态非抽样小波构造方法的-般框架可描述为 。( ，) (xj)， (7)YjItojT( )(id-T)( )， (8)( (xj)， ( ))竹 ( ) (xj)( )(id- )( )id(xj)， (9)式中： 为数学形态算子∩以根据信号处理的不同需求选择基本形态算子或某种组合形式。

现有文献中的形态非抽样小波算法均基于形态非抽样分解框架建立，设形态学膨胀算子为6，腐蚀算子为 ，闭算子为 ，开箅子为 ，现有文献中阐述的算法的信号分析算子见表 1。

表 1 现有文献中形态非抽样小波算法文献 信号分析算子 ( ，)文献[9]文献[11]文献[12]文献[13]文献[14]o.5[( y)( -s)]( )o.5( y)( )o.5( ，)( ，(J1)go)o(xj，( 1)go)- ( ，( 1)g0)o.5(y tPy)( - )( ，)其中，文献[12]和[13]中的信号分析算子为多尺度形态学变换，算法中每层小波分解对应某- 尺度的结构元素( 1)g。，其优点在于逐层分解后得到的近似信号和细节信号的物理意义更明显，即对应于利用相应尺度的结构元素进行形态运算得到的结果。

王冰，等：-种多元素多尺度形态非抽样小波分解方法文献[9]和[14]的信号分析算子均由两部分组成，以文献 [14]为例，算 子 中 的前 -部 分0.5( )为典型的形态学组合滤波器，可同时去除信号中的正负噪声 。后-部分 ( -y)为形态差值滤波器，可同时提取信号中的正负冲击。该算法的优点在于其每-层小波分解既能够平滑噪声，又能够有效地提取冲击特征。

在基于数学形态学的处理方法中，结构元素的形状和大小是影响性能的关键。对于白噪声，半圆形结构元素可以取得较好的滤波效果；对于脉冲噪声 ，-般采用三角形结构元素进行滤波 。

在基于形态学的周期性脉冲提取时，扁平直线形结构元素效果最好，-般选取直线形结构元素的长度为0.6T(T为故障周期) 。

因此，在构造形态非抽样小波分解的信号分析算子时，需根据实际情况确定结构元素的类型和大小，文献[14]在不同分解层次使用不同长度的结构元素，但在分析算子的前后两部分使用同- 种结构元素，灵活性和针对性略显不够。

1.2.3 多元素多尺度形态非抽样小波着眼于提高分析算子的有效性和灵活性，提出-种多元素多尺度形态非抽样小波分解方法，其分解算子为xil： 。( ，)0.5( )(xj，(.，1)g。)(6- )( ，( 1)g )， (10)y ltoj(xj)id( )-0.5(y y)(x1，( 1)go)(6- )( ，( 1)g。)，(11)7( f( f)，∞f。( f)) f。( 7) f。( f)。

(12)该分解算 子包括 0.5( )( ，( 1)g。)和 ( - )(Xj，( 1)g )两部分。第 1部分为使用三角形结构元素的多尺度形态开闭和闭开交替混合算子，可以平滑信号且抑制噪声。第 2部分为使用扁平形结构元素的多尺度形态梯度算子，可以有效地提取信号的冲击特征。其中，每个尺度 A对应的形态学变换采用的结构元素分别为Ag0g0 o go o o g0， (13)Ag。g。①g。0 ① g ， (14)式中：A为不同尺度的大小；g。和 g 分别为 A1时的三角形和扁平形结构元素。

2 仿真分析为验证多元素多尺度形态非抽样小波提取信号冲击特征的有效性，进行了仿真分析，设仿真信号为(t)3xl(t)0.3x2( )i(t)， (15)式中： (t)为周期性的指数衰减冲击信号，冲击频率为l6 Hz，每周期内冲击函数为e-20t·sin(288-rt)； (t)为谐波信号， 2(t)OOS(2r×25 t)COS(2rr×50 t)； (t)为标准差为 1的高斯白噪声。

信号采样频率为1 024 Hz，采样时间为1 S，仿真信号的时域波形和频谱如图2所示。

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0时间t/s(a)仿真信号时域波形O 50 l00 l50 25o 300 35o 40o 450 50o频f/I-Iz(b)仿真信号频谱图 2 仿真信 号时域 波形及其频谱从频谱图可以看出，25和 50 Hz的谐波干扰成分比较明显，且以144 Hz为中心出现-组频宽约为 16 Hz的边频序列。而 16 Hz及其倍频的冲击成分由于谐波成分的抑制以及噪声的干扰，很难在频谱中反映出来。为了提取信号的冲击成分特征，必须选认适的方法抑制谐波及噪声。

为分析文中方法的正确性和有效性，将其与典型的多尺度形态差值非抽样小波分解方法 和固定结构非抽样小波分解方法 进行分析对比。

为定量分析各形态非抽样小波分解方法抑制谐波噪声干扰以及提取周期性脉冲信号的能力，采用了低频能量比 Q和特征能量比尺的概念 。低频能量比Q用以描述非抽样小波分解方法抑制谐波干扰的能力，QC/E，其中 C为谐波频率能量4 2 O 毫 印 印 ∞ 狮 ∞ ∞ ∞ ∞》葛 d J置。

《轴承2013.No.5值，E为特征频率能量值。低频能量比Q越低，抑制谐波干扰的能力越强。特征能量比 可以描述非抽样小波提取冲击频率的性能，R(E E： E )/E，E 为解调后的信号频谱在 n倍频处的能量值，文中n5。特征能量比R越大，提取冲击频率的能力越强，效果越好。

2.1 多元素多尺度形态非抽样小波分解方法选择三角形结构元素 g 0 1 2 4 2 1 0，扁平形结构元素g ：0 0 0 0 0，对仿真信号进行2层分解，并对第 2层近似信号进行频谱分析，结果如图3所示，可以看出，冲击频率及其倍频被清晰地解调出来。经计算，该分解方法的特征能量比R0.413 7，低频能量比 Q0.210 5。

图3 多元素多尺度形态非抽样小波分解结果2.2 多尺度形态差值非抽样小波分解方法选用扁平形结构元素g0 0 0 0 0对仿真信号进行2层分解，其中第2层近似信号的频谱如图4所示。从图中可以看出，冲击频率16 Hz及其倍频被解调出来，与图3相比，其噪声干扰要更加明显。经计算，该分解方法的特征能量 比R0.253 0，低频能量比p0.200 6。

毫i四罂o 20 40 60 8O 10o 120 14o 160 l80频-f/Hz图4 多尺度形态差值非抽样小波分解结果2.3 固定结构非抽样小波分解方法分别采用三角形结构元素g0 1 2 4 2 1 0和扁平形结构元素g0 0 0 0 0对仿真信号进行2层分解，并在此基础上获取第2层近似信号的频谱图，结果如图5所示。

函粤函l00频率厂/Hz(a)三角形结构元素0 20 40 60 80 100 120 140频f/Hz(b)扁平形结构元素图5 固定结构非抽样小波分解结果由图5a可以看出，冲击频率 l6 Hz及其倍频没有被提取出，而谐波频率25 Hz和50 Hz的谱线异常明显。此时特征能量 比R0.175 3，低频能量比Q0.647 7。由此可知，选用三角形结构元素进行分解时，该方法对于冲击频率的特征提取能力较差，抗谐波干扰能力也不强。从图5b中几乎看不出冲击频率，而谐波频率25 Hz和50 Hz的谱线更加明显。此时特征能量比R 0.404 2，低频能量比p0.831 5，由此可知，选用扁平形结构元素时，该方法的效果依旧不理想。

2.4 结果分析纵向分析上述仿真试验中的R和 Q值，结果见表 2。由于对分解算子的不同部分使用不同类型的结构元素，多元素多尺度形态非抽样小波分解方案具有最高的特征能量比和较低的低频能量比，体现了优良的抑制谐波噪声和冲击频率提取效能；多尺度形态差值非抽样小波方案在每-层分解时由于没有进行滤波，导致对噪声的抑制能力较弱，因此特征能量比 相对较低；固定结构非抽样小波分解中，由于仅仅采用-种结构元素进行运算，使得滤波和特征频率向量的提取能力均未达到最优。

枷枷瑚珈拗瑚 如0uI 馨王冰，等：-种多元素多尺度形态非抽样小波分解方法表2 模拟试验效果对比小波分解方法 特征能量比 低频能量比Q3 试验验证为验证多元素多尺度非抽样小波变换方法的有效性，选用轴承内圈、外圈 2种故障状态进行分析。实测轴承振动加速度数据来 自Case WesternReserve University(CWRU)轴承数据 中心 网站。

轴承局部损伤由电火花机加工，直径为0.177 8mm，转速为 1 797 r/min，转频为 29.95 Hz，轴承外圈和 内圈故障的特征频率分别为 107.8 Hz和159.6 Hz。试验信号采样频率为 12 kHz，采样点数为6 000。轴承外圈和内圈故障信号时域波形如图6所示。

ll1 .i l山J. jIl 址 山 l 。I 7 盯 f f 叩 10茕 1'HJt/s外圈l 山山 l l1lO n晒 0.10 0.15 0. 0.25 0.30 0.35 n∞ 0.45 0。

日in.日]内圈图 6 滚动轴承故障信号 时域波形基于多元素多尺度形态非抽样小波分别对 2种故障状态下的轴承振动加速度信号进行分解，并求取第 2层近似信号的频谱。分解过程中，三角形结构元素g。0 2 4 2 0；扁平形结构元素g 0 0 0 0 0。

轴承外圈故障信号的分解时域图和第2层近似信号频谱图分别如图7和图8所示，可以看出，经由多元素多尺度形态非抽样小波分解，外圈故障特征频率及其倍频可以清晰地得到，且特征能量比R达到0.633 5。

选用同样结构元素对轴承内圈故障信号进行分析处理，结果如图 9和图 10所示∩以看出，轴承内圈故障特征频率及其1，2倍频被清晰吕j鹫粤0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50时 间t/s(a)第l层近似信号64《 墨z0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50时间t/s(b)第2层近似信号图7 外圈故障信号分解时域图3毫2i四 llU- 0 100 200 300 400 500 600 700 800频f/Hz图8 外圈第2层近似信号频谱图0 0.10 0.20 0.30 0.4o 0.50时间t/s6 (a)第l层近似信号4墨 山0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50时间t/s(b)第2层近似信号图9 内圈故障信号分解时域图160 Hzj - 100 20O 300 400 500 600 700 80o 900频Sf/Hz图10 内圈第2层近似信号频谱图咖 咖 跏 咖3 2 2 1 l 置 坦姗 伽 0》置 垂-· 48· 《轴承)2013.No.5地提取，且其特征能量比R0.476 8。由此可见，多元素多尺度非抽样小波变换可以清晰地提取出轴承的内、外圈故障，且信噪比较高，效果较好。

4 结束语多元素多尺度形态非抽样小波分解方法考虑了不同的形态学结构元素对于滤波和冲击频率提取的影响，在形态学小波分解过程中采用不同的结构元素，与现有的形态非抽样小波分解方法相比，该方法既能够有效地提取故障特征频率信息，又有很好的滤波效果。