基于CATIA的圆柱齿轮建模方法研究

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齿轮机构是在各种机构中应用最为广泛的-种传动机构，具有传递功率范围大、传动效率高、传动比精确等优点，但其自身对制造和安装的精度要求较高。随着计算机辅助技术的发展，不断有学者利用三维绘图及仿真分析软件对齿轮的虚拟建模技术进行研究。针对齿轮的渐开线齿廓建模许多学者提出了描点法、法则曲线法等方法 ，以及对圆柱斜齿轮斜齿也有学者以多种方法建模 。5]。本文基于动力学分析通过对圆柱齿轮建模方法进行系统研究 ，并经过精度分析提出-种较优的圆柱齿轮建模方法。

1 CATIA环境下齿轮参数化建模本文在计算机辅助三维设计应用软件(Computer Aided Three Dimensional Interface Application，CATIA)环境下对圆柱齿轮的建镍行研究。对于标准的渐开线圆柱齿轮，只需确定齿数z、模数 m、螺旋角B以及齿高h，就能确定其它参数最终得出齿轮的几何形状。以下为建模思路过程：(1)利用参数定义齿轮相关参数；(2)在创成式外形设计拈下完成渐开线齿廓的绘制；(3)由渐开线齿廓及齿根圆经拉伸阵列等操作完成齿轮绘制；(4)利用设计表，生成参数表格，实现系列化设计。

2 直齿圆柱齿轮建模方法分析渐开线齿廓绘制质量的好坏直接影响直齿圆柱齿轮建模的建模精度～渐开线的直角坐标方程转化为能够在CATIA下直接定义的参数方程：f r sin(，t x)、-r c。 × (1)YrbC08(t×丁c)rb 7rtsin(t×7c) 、式中，r 为基圆半径；兀为圆周率；t为变量系数。

两种渐开线建模方法，由渐开线的直角坐标方程得到的参数方程对渐开线进行建模有两种途径：描点法，是指对t取不同数值以得到有限个渐开线上的离散点，之后将这些点利用CATIA下样条曲线等曲收稿 日期：2012-06-12基金项目：国家自然科学基金资助项目(51105124)；浙江省自然科学基金资助项目(Y1090199)作者简介：王东峰(1987-)男，山东菏泽人，在读研究生，机械设计及理论。

第 1期 王东峰等：基于 CATIA的圆柱齿轮建模方法研究 65线工具得到相应齿廓；法则曲线法，以t为自变量，使用法则曲线工具分别绘制X-，Y关于t的空间曲线，之后将两条曲线利用混合、投影等工具得到 Y关于 X的曲线既渐开线，最终得到相应齿廓。

2.1 曲率分析描点法绘制的是有限个离散点，之后利用 CATIA中的样条曲线进行连接。CATIA使用 NURBS数学模型来创建样条曲线，即由所取点得到控制点并将其连成折线，再用插值算法使用曲线逼近折线多边形。这种曲线生成方法和渐开线定义方法有本质区别，在理论上既存在着误差，选取更多的离散点能使曲线更加接近渐开线，但其始终不是渐开线。分别以两种途径对渐开线进行建模，之后进行曲率分析，如图 1、2所示。从曲率梳形状及具体曲率数值分析，描点法存在-定误差，法则曲线法做出的曲线更加符合渐开线定义。

图 1 描点曲线曲率分析 图2 法则曲线曲率分析2.2 仿真分析为了单独研究渐开线的建模，以上面两种曲线为齿廓分别建立直齿轮几何模型。以相同模数和不同齿数建立大小齿轮的装配几何模型～装配模型导入ADAMS中进行动力学分析。

在本文中以45号钢材料为例进行分析～齿轮间的接触算法定义为 Impact型：根据齿轮材料及节点处曲率半径扔触刚度系数为6.6×10 ；材料阻尼属性取为50N·sec/mm；穿透深度取为 0.1mm；碰撞指数取为1.4～小齿轮定义为驱动轮，为了避免瞬时冲击用 step函数定义驱动转速。在大齿轮上加载100N·m的扭矩。之后进行运动仿真，总时长取为0.4s，每个仿真步长取为0.002s。

由仿真得到的两种模型的被动齿轮角速度及啮合力如图3、4所示。

62：寸口留 针 舞0 0.1 0.2 O.：j时间 (s)图3 描点齿轮啮合力时间 (s)图4 法则曲线齿轮啮合力从图线形态分析，采用法则曲线法建模的齿轮的啮合力及转速的峰值明显小于描点法建立的模型，且波动较小更加符合齿轮啮合工况。理论啮合力计算公式为：FT/R (2)式中，T为负载扭矩；R为加载负载齿轮的节圆半径。

计算两个仿真啮合力的平均值并与理论啮合力进行比较如表1所示。采用法则曲线法建模的渐开线齿廓精度明显高于描点法。

杭 州 电 子 科 技 大 学 学 报 2013正表 1 啮合力对比表3 斜齿圆柱齿轮建模方法分析斜齿圆柱齿轮和直齿圆柱齿轮的端面渐开线齿廓参数及建模方法相同，不同之处在于其斜齿的建模。

3.1 3种斜齿建模方法各种文献的斜齿建模方法主要有3种：方法-根据齿厚和螺旋角做出旋转-定角度的两端面齿廓，使用CATIA中多截面实体命令生成斜齿；方法二做出分度圆的拉伸圆柱面，将在与齿轮端面垂直面内经过基圆圆心的倾斜角度为螺旋角的斜线使用投影(Projection)命令投影在分度圆柱面上，以得到的投影线为脊线使用肋命令扫掠出斜齿；方法三以通过基圆圆心垂直于齿轮端面的直线为轴线作螺旋线。

起点为分度圆上任意-点，以斜齿轮厚度为高，螺距由分度圆半径r和螺旋角 P的计算而得，公式为：P2 rtan(90-B) (3)或者将方法二中的斜线，通过展开(Develop)命令，展开在分度圆柱面上得到展开线。以螺旋线或者展开线作为中线，扫掠得到斜齿齿廓。

3.2 相关分析方法-中采用多截面拉伸，由于只有两个端面齿廓为截面，拉伸引导线为两齿廓间的连线。此方法做出的斜齿并不是完全与齿根圆相切，而是有-部分斜齿进入了齿根圆内。根据齿根圆内不存在渐开线可得出这种方法误差较大～以此方法建模的齿轮沿轴线垂直方向投影，得到的形状为双曲线，与理论的直线有较大偏差～其装配模型导入ADAMS中进行分析。定义接触时斜齿轮的接触刚度系数和直齿轮不同。分别进行渐变负载和渐变转速分析，实际转速和实际啮合力均值与理论值相比误差均在50% 以上。

方法二中采用了投影命令，在 CATIA中其算法是将投影元素沿特定方向拉伸，直至与被投影元素完全相交以取其交线为投影结果。投影元素与目标元素之间不存在坐标上的对应关系～方法二中的投影线即斜齿脊线展开在平面内，发现其并不是直线而是曲率较大的曲线。方法三中以螺旋线为斜齿引导线与斜齿轮的定义相符。CATIA中的线展开命令与投影命令不同，展开算法依据的是被投影元素和目标元素间的坐标对应关系。展开即是将被投影元素根据本身的坐标对应关系重新绘制在目标元素的坐标系中～倾斜角度为螺旋角的斜线展开至分度圆柱面，对应的结果正是以式3中P为节距的螺旋线的-段。分别以两种方法建模导人ADAMS中，进行仿真分析。为了更好的定量分析从动转速，对主动轮施加恒定转速。两种模型的啮合力及从动转速曲线如图5、6所示。

时间(s)图5 方法二啮合力及齿轮转速童- a酱时间(s)图6 方法三啮合力及齿轮转速0删第 1期 王东峰等：基于 CATIA的圆柱齿轮建模方法研究 67用Plot tracking工具计算出各个仿真曲线的均值与理论值对比分析误差率，将方法三和方法二作对比，如表2所示。从结果曲线的形态以及均值对比中可得出方法三的建模精度高于方法二。因此以法则曲线法对渐开线齿廓进行建模，再经由方法三对轮齿进行轴向建模得到的模型精度最高，此种圆柱齿轮建模方法为最优。

表 2 方法二方法三对比对经由最优方法建模模型的啮合进行频域特性分析。驱动及负载情况不变，仿真时间定义为0.4s，仿真步数定义为1 000。对啮合力曲线进行快速傅里叶变换，得到如图7所示的频域图，峰值出现在 99.37Hz，与理论计算得出的 100Hz十分接近。

15.0l0.0- 05.00 撕 凡搏 / 6t 啦4 结束语频率(Hz)图7 啮合力频域图本文CATIA下的齿轮建模方法进行了研究，在ADAMS下进行动力学仿真分析，提出圆柱齿轮在CATIA下建模的合理方法，从多方面验证了其可靠性，对于后续的开发应用具有-定意义。