圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法

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Stochastic finite element method for design of convexitymagnitude of tapered rollerAN Zong-wen.ZENG W ei(Colege of Mechan Electronic Engineering，Lanzhou Univ.of Teeh.，Lanzhou 730050，China)Abstract：Taking into account the randomness of actual load on the bearing，its actualload was taken asa random variable.The stochastic finite element method WaS used to calculate the values of normal contactstress in the bearing with different convexity magnitude of the tapered roller.It was concluded by compari-son and analysis that the convexity magnitude with minimum normal contact stress would be the optimalconvexity magnitude，forming，a design method of convexity magnitude.Then taking the 31313 taperedroll bearing as an example，and using this presented method，the convexity magnitude of tapered rollerwas designed.The result showed that，compared with the traditional design method，this method is betterin connection with reducing the value 0f normal contact stress。

Key words：roller bearing；convexity；stochastic load；finite element method圆锥滚子轴承是-类重要的机械基础零件，其寿命的长短直接影响到主机的工作性能.早期设计此类轴承时，-般将滚子和滚道的母线均取为直线，以此希望载荷沿母线均匀分布.但根据弹性力学理论，线接触条件下只有在接触体为无限长或者其几何长度绝对相等时，沿接触线的载荷分布才有可能完全均匀.实际上，对于圆锥滚子轴承，无限长圆锥体”之间的理想线接触情况并不存在，而且往往由于边缘效应”使得接触区域呈现出复杂的变形状态，出现严重的应力集中现象.针对这种现象，工程中-般采用凸度设计，将滚子母线设计成非直线形式(如圆弧曲线、对数曲线等)以降低应力集中的程度。

收稿日期：2012-09-07基金项目：国家自然科学基金(51265025)作者简介：安宗文(1968-)，男，甘肃景泰人，博士，教授，博导滚子凸度设计工作主要包括凸型的选择和凸度量的设计 2个方面的内容.文献[1]将滚子分为许多切片，在忽略切片之间剪应力的基础上，利用经验公式计算出了每个切片和滚道的接触应力，同时结合无限长接触理论，提出了-种确定滚子凸型的半解析数值方法.文献[-2-4，f]用有限元方法，对滚动轴承滚子与内外滚道的接触应力进行分析，得到了定载荷条件下滚动轴承的最优凸型.文献Es8]利用数值分析方法，以滚子最杏触应力为目标建立起目标函数，对滚子的凸度进行优化设计，获得了额定载荷条件下滚道轴承的最优凸度.文献E9]在线接触光弹流实验装置上针对对数凸度滚子重载变速工况进行实验分析，认为在对滚子凸度量进行设计时要考虑滚子轴向的最大接触应力.文献[10，11]分别对滚动轴承滚子与内外滚道接触应力算法进行了改第 3期 安宗文等：圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法 ·27·进，得到计算滚子接触应力的-种新方法。

上述文献分别采用不同的方法对圆锥滚子轴承的凸度设计进行研究，但它们却具有-个相同的技术特征，即在凸度设计时将轴承的载荷视为-个确定性的变量--额定载荷.这与轴承的实际载荷工况并不完全吻合，因为轴承服役期间的实际载荷都存在-定程度的不确定性.本文以此为切人点，用随机变量描述轴承实际载荷的不确定性，利用随机有限元方法对不同凸度量圆锥滚子的接触应力进行计算，以最杏触应力对应的凸度量为最优值，形成随机载荷条件下的圆锥滚子凸度设计方法.进而以31313圆锥滚子轴承为实例，以 ANSYS软件的PDS拈为工具，对该轴承进行凸度设计，验证了该方法的有效性。

1 随机载荷条件下圆锥滚子凸度量设计方法1.1 随机载荷的确定在圆锥滚子轴承凸度量的设计过程中，将滚子轴承的径向载荷视作为-个随机变量.由于轴承内圈承受的载荷并不均匀，因此取其最大径向力作为其径向载荷.根据文献[12]，轴承内圈所承受的最大径向力为Q -4.O8 - (1)式中，P 为轴承额定径向载荷，Z为圆锥滚子数目，a 为偏心角。

由于在有限元分析模型建立过程中，在轴承最大径向力处进行了纵向剖分，形成了-个局部的分析模型.因此局部模型中轴承内圈承受的确定性均布载荷 P为- 警 (2)式中：S为局部模型中轴承内圈承受载荷的面积。

以P为轴承随机载荷的均值，并确定其分布类型和参数，得到轴承载荷的随机模型。

1.2 圆锥滚子凸度量的确定在确定圆锥滚子凸度量时，传统的设计方法直接采用 Lundberg提出的圆锥滚子凸度量计算公式E”]，计算得到圆锥滚子的凸度量：T-3.84×10 Q /L (3)式中：L 为滚子的有效长度。

本文设计圆锥滚子的凸度量时，以传统方法计算的凸度量为基础，在该凸度量值附近均匀的选取多个不同的 r，值作为圆锥滚子的凸度量，得到-组圆锥滚子凸度量的预设值.然后，设定凸度量的设计目标，以此为原则确定圆锥滚子的最优凸度量。

为了提高圆锥滚子轴承的工作载荷能力，延长圆锥滚子轴承的使用寿命，将轴承工作过程中圆锥滚子与内外滚道的法向接触应力值最小作为圆锥滚子凸度量的设计目标.在利用 ANSYS软件的随机分析拈对圆锥滚子的法向接触应力进行分析时，以1.1节中所确定的随机载荷模型，将对应的随机参数，诸如：载荷分布类型、载荷均值 变异系数C～标准差 等输入，在软件中确定对应的随机载荷.将所确定的随机载荷分别加载到具有不同凸度量的圆锥滚子轴承上，设定与圆锥滚子轴承工况相吻合的边界条件，进行多次随机抽样，计算得到随机载荷条件下圆锥滚子与内外滚道的法向接触应力值。

将随机载荷条件下不同凸度量所对应模型的法向接触应力平均值进行对比，将法向最小平均接触应力所对应的圆锥滚子凸度量作为最优凸度量，取之为设计值，即获得了随机载荷条件下圆锥滚子的凸度量。

2 实例应用2.1 有限元模型的建立1)实体模型的建立某公司批量生产的 31313圆锥滚子轴承采用内、外滚道为直母线，滚子为圆弧修正母线的凸度设计方案.图1为圆锥滚子的主要设计尺寸，其中滚子凸度量丁的设计值为10 m.轴承额定径向静载荷为P 200 kN，滚子数目z-16，偏心角口-28.8。，材料选用 GCr15。

为了对比分析不同凸度量与接触应力大小之间的关系，本文在 O～20/tm均匀选取 11组凸度量：0、2、4、6、8、10、12、14、l6、18、20肚m，分别建立圆锥滚子的三维实体模型。

2)有限元网格的划分选用 SOI ID45单元作 为网格划分单元，CONT17O、CONT175作为接触单元.在综合考虑模型的复杂程度、计算耗时以及计算精确度等因素后，选择合适的网格尺寸，并利用局部网格加密手段，得到有限元网格模型，如图2所示.划分网格后，模型的节点数目为8 086个。

3)材料属性31313轴承内、外圈和滚子采用的材料为GCrl5，杨氏弹性模量E2.06×10 MPa，泊松l：kv0.25。

· 28· 兰 州 理 工 大 学 学 报第 39卷0.8±O 3 1.0±0.4 r 4 - l j薹董[ J- 。。。 2 - 晷1 ./- 22.9J：2 /此圈 1 滚子尺寸及凸度示意图F 1 Schematic diagram of tapered roler size and c0 ty2 网格划分示意图Fig·2 Schematic diagram of meshing m0del2.2 随机载荷的确定轴承额定径向静载荷为 P 2OO kN，根据式(1)和式(2)，计算得到轴承内圈所承受的最大径向均布载荷 P：138 MPa.考虑轴承实际载荷的随机性，本文假设轴承实际载荷服从均值 -138 MPa的正态分布，并设定变异系数c -0. 05.则该分布型中，标准差 口-6.9 MPa. 根据 3(r原则，进-步假设实际载荷服从截断型正态分布，得到截断上下限分别为 l17·3 MPa和 158. 7 MPa.即轴承实际载荷服从上、下限分别为11 7.3和158. 7，均值为138，标准差为6·9的截断型正态分布，其概率密度函数 厂(P)和分布函数 F(P)如图 3所示. 2.3 求解计算在图 2中，对轴承外圈的外表面施加固定约束，内、外圈大端面施加轴向方向的约束，在整个局部模型的纵剖面上添加对称约束. 在轴承内圈内表面施舢2.2中确定的随机载荷。

在 ANSYS的PDS拈中，利用拉丁超立方抽样方法对随机载荷进行 100次随机抽样，并分别加载到有限元模型上，便可得到不同凸度量条件下滚子与内外滚道之间法向接触应力的变化规律(见表2-4 圆锥滚子凸度量的确定分析表1数据可知，在所选11组凸度量中，当8-48-38·2-8 J8.07·97f87 760.70.60.5 O 40.30.20 1OP/N(a)概率密度函数OP/N(b)概率分布卤数图3 随机载荷的概率密度函数与分布函数鲁3 Probability density function and distributionfunction of stochastic load表 1 不同凸度量对应的法向接触应力Tab.1 Corresponding normal contact stress for differentconvexity magnitude第 3期 安宗文等：圆锥滚子凸度量设计的随机有限元方法 ·29·滚子凸度量为 10 tm时，滚子的接触应力最小，根据法向接触应力最小的凸度优化原则，确定该圆锥滚子轴承的最优凸度量为10 m。

3 分析与讨论利用表 1中的数据绘制31313轴承凸度量与接触应力之间的对应关系图(见图 4)，由图 4可知：1)对于圆锥滚子，无凸度(凸度值为 0)和凸度量太大，均会导致明显的应力集中现象.因此，对某种确定的凸型和载荷条件，圆锥滚子理论上存在-个最优凸度量，该凸度量对应的接触应力相对最小，这种特性具有普遍性。

2)对于 31313圆锥滚子，当凸度量在 2～18肚m变化时，对应的接触应力值相对较小，而且应力变化较为平缓，没有明显的应力集中或突变。

3)相对 3l313圆锥滚子原有设计方案中的凸度量(10 m)，利用本文提出的基于随机有限元法设计得到其最优凸度量为8 m，接触应力值减小了约100 MPa.因此，本文提出的圆锥滚子轴承凸度量设计方法优于传统的凸度量设计方法。

蔓 蘑档0 5 lU l5 2U凸度值/m图4 不同凸度值对应的接触应力曲线Fi孚 4 Contact stress curves corresponding to diferentconvexity magnitude4 结论1)基于轴承实际载荷的不确定性，用随机变量描述载荷变化规律，以接触应力值最小的凸度优化原则，形成了-种基于随机有限元法的圆锥滚子凸度量优化设计方法。

2)以31313轴承滚子为实例，进行其凸度量优化设计，结果表明，相对原有设计方案中的凸度量，基于随机有限元法的圆锥滚子凸度量优化设计方法得到的凸度量能够减小轴承接触应力，从而验证了该方法的有效性。

3)本文没有考虑轴向载荷对滚子凸度量的影响.后续工作将对轴向载荷与径向载荷共存时圆锥滚子凸度量的设计方法进行探讨。