基于公理设计的多目标优化方法研究

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Study of Multiobj ective Optimization Method Base on Axiomatic DesignZhang Haiyang Tian Qihua '。 Du Yixian 。

(1.Colege of Mechanical& Material Engineering，China Three Gorges Univ.，Yichang 443002，China；2.Hubei Key Laboratory of Hydroelectric Machinery Design & Maintenance，China Three Gorges Univ.，Yichang 443002，China)Abstract Aiming at solving difficultly in product design based on multiobj ective optimization，both multiob-jective optimization and axiomatic design are synthetically applied.A general method in multiobjective optimi-zation by using semangularity and reangularity of independent axiom of axiomatic design is proposed.And asimple multiobjeetive optimization problem solution is given to show the validity of the proposed method。

Keywords axiomatic design； multiobjective optimization； coupling公理设计理论是通过对大量成功的设计案例进行分析归纳，并从中抽象出设计过程的本质.公理设计的最终 目标如下 ：为设计 活动建立-个科学 的模式 ，为设计人员提供-个基于逻辑和理性思维过程 的理论基础，进而来改进设计活动[1].但公理设计常用于概念设计，很少应用到详细设计阶段中.对于某个给定的结构，多 目标优化则是 比较有效 的设计方法 ，多目标优化是-个比较具体的过程，更多地涉及到详细设计方面。

多 目标优化问题中各 目标间往往存在着矛盾，即要求各目标同时达到最优是很困难的，所以最优解不- 定存在.而公理设计在处理大规模系统设计问题时有着较强的优势[ ，I iu[引、Hwang3]、Jef 和王晓勇 等应用公理设计 中的独立公理 ，对多 目标优化问题进行了改进。

本文基于公理设计理论中的独立公理 ，在求解多目标优化设计 问题 的过程 中，运用全参直 度 S(Se-mangularity)和全能直度 R(Reangularity)分析技术来解决多目标优化问题中设计优劣难以评价的问题。

1 基于公理设计的多目标优化方法公理设计中的独立公理指出：对于-个能够接受的设计 ，功能要求 (FRs)与设计参数(DPs)之间的映射存在-种特定的关系 ，即每个功能要求能独立地被满足并且不会影响其他功能要求的实现.它们之间的映射可用以下设计方程式来表示Ⅲ：收稿 Et期 ：2013-03-03通信作者：田启华(1962-)，男，教授，博士，主要研究方向为 CAD/CAE/CAM技术等.E-mail：tqh###ctgu.edu.cn第 35卷 第 3期 张海杨，等 基于公理设计的多目标优化方法研究 89滩R-Ⅱf - 生1 。㈦i1引，tr-1 ( A刍)( A )JS被用来测量FRs和 DPs之间的交互作用，也就是设计矩阵归-化之后其对角线元素的幅值.s的表达式可表示如下l]：S：Ⅱ - ： (4)(∑ )1/2大多数工程设计 问题都是 多 目标的优化设计 问题 ，优化设计的表达式为(min：F(z)- (，1(z)，f2(z)， ，fm( ))s.t.g (z)≤ 0 J- 1，2，，q (5) h (z)≤ 0 志- 1，2，，P与单 目标优化相比，多 目标优化在理论与计算方法上都还很不完善，也不够系统 .所以，本文引入公理设计来完善多目标优化理论和方法体系.其具体步骤如下 ：1)获得设计矩阵.实际上，在优化设计 问题 中的目标函数就相当于功能需求，也就是公理设计中的FR，影响目标函数值的参数相当于设计参数DP(在优化设计中称作设计变量)，但在优化设计 中，FR)要通过DP)以数学公式的形式来表示。

式(2)可写成如下微分形式：dFR)- [A]dDP) (6)则设计矩阵可变形为 ：[A]- dFR/dDP) (7)2)对设计矩阵进行 R/S分析.目标是找到最优的设计参数，使其旧能完美地满足各功能需求。

由R、S的定义可知 (如图 1所示 )：当 R-S-1时，设计是无耦合设计；当R-S但不等于 l时，设计被近似地看作是解耦设计 ；在仅 有两个 FRs和 DPs时 ，若 RS，则该设计是解耦设计 ；其 它情况下的设计均为耦合设计.因此 ，通过 R/S分析可 以得到 ：当设计变量取某-组值时，各 目标函数耦合的程度。

图 1 独立空 间3)建立关于 R与 S的 目标 函数.为了使 多 目标优化问题简化为可以在二维区域内图形化的问题，并使计算变得相对容易，根据图 1将其形式确定如下：rain/(1-R) (1-5) (8)S.t.constraints4)利 用 Matlab强大 的数值运算功 能和绘 图功能，绘制出各 目标函数的图形，结合上面步骤得出的结果进行分析。

2 应用分析2.1 问题求解以下是-个简单的多 目标优化 问题 ，以此来举例说明本文提出的方法。

rain f2(z) 5( 。-z)S.t.1≤ z≤ lO战 1≤ Y≤ lO (9)1)获得设计矩阵。

由式(7)可得设计矩阵A-[： /dzx dr，2 /dy ] c 。， Ld2)对设计矩阵进行 R/S分析。

根据定义域的大小，将设计域均分为 4个区域，针对各区域的关键点进行 R/S分析计算.分析结果见表 1。

90 三 峡 大 学 学 报(自然 科 学 版) 2013年 6月表 1 R/s分析结果例如：当 -1， -1时 ，由式 (3)、(4)计算可得R：0.672 7，S- 0.504 5，设 计 矩 阵 的 形 式 为- ]，由图1可得，此时该设计为耦合设计。

由式(8)可得min√(1-R) (1-S)S.t.1≤ ≤ 10，I≤ ≤ i0 (11)4)利用 Matlab软件绘制出各 目标 函数的图形，结合前几步得到的结果进行分析。

由以上分析可得 ，在功能上无耦合的区域 中，目标函数的最小值在 Lz-5， -5处取得。

2.2 应用分析使用 Matlab软件可绘制出以上两个 目标 函数在边界条件内的三维图形 ，如图 2所示，可以清晰地看出目标函数值的变化趋势。

1 200l 0o08O060O400200010图 2 二目标函数的三维曲面表示其 Matlab代码如下 ：x[1：0.5：10]；y[1：0.5：103；Ix，Y]-meshgrid(x，y)；flX. 3Y. 2；f2-5(Y. 2-X)；surf(X，Y，f1)hold on10surf(X，Y，f2)axis(r1 10 1 10-45 1200])set(gca， xtick'，[1：1：10])set(gca， ytick"，[1：1：10-])xlabel( )ylabel( )进而使用 Matlab软件绘制出以上两个目标函数的二维等高线图，如图 3所示。

1 o r ---. 0 ，土---.丁m图 3 二 目标优化 问题的二维等高线 图其 Matlab代码如下：x-[1：0.5：io]；y-[1：0.5：10]；Ix，Y]-meshgrid(X，y)；fl X. 3Y.2：f2-5(Y. 2～ X)；contour(X，Y，fl，10)hold oncontour(X，Y，f2，10， )axis([1 10 1 103)set(gca， xtick"，[1：1：10])set(gca， ytick'，[1：1：1o])xlabel( )ylabel( )下面对图 3进行分析。

对于右上区域 (点 (5，5)和点 (1O，10)之 间的区域)，f。与， 近似相互垂直且与 Y、z坐标轴各自分别近似平行 ，系统是近似解耦的。

对于右下区域 ，只有 厂 与 是近似平行的，系统是近似可解耦的。

对于左上、左下区域 L厂 ，，2与与 、.72轴都不平行 ，系统功能上是耦合的。

.72， 与 ， ，， 之间的关系也可 以通过设计矩阵来描述.通过 R/S分析来判断设计矩阵与理想的无耦合矩阵之间的差距。

根据这些分析结果，目标函数的最小值(功能上无耦合)在点(5，5)处取得.因此，该多目标优化问题最优解可以从无耦合的区域中确定。

(下转第 112页)9 8 7 6 5 4 3 2 l 112 三 峡 大 学 学 报(自 然 科 学 版) 2013年 6月-考文献：[1][2][3]I-4-1亚当森.表面的物理化学I-M].北京 ：科学出版社，1984。

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[责任编辑 张 莉][3]本文用公理设计理论方法评估多目标优化问题，运用R/S分析，降低了系统的功能耦合度，达到了更 [4]好的设计 效果.在今后的研究 中可以扩展 R 与 S现有的定义，使其包含当设计参数的数目多于目标函数的数 目的多 目标优化问题。