高速电主轴多场耦合动力学特性研究

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高速电主轴是集原动机-传动装置-执行机构-控制系统”于-身、实现近零传动”的复杂系统，它已经成为高端数控机床的核心功能部件口 ]。

可靠的动力学行为是保证高品质加工的重要因素，许多学者对高速电主轴的动力学特性进行了大量的研究l3q]。Wang K F等讨论了以轴承拟静力学模型为基础的高速电主轴固有频率 ]，分析了高转速对芯轴固有频率的影响l4]。Jorgensen B R等根据影响系数法建立了芯轴动力学模型，讨论不同工况下的振动响应[5 ]。Hongqi Li等建立了热-机耦合的电主轴动力学模型，分析热膨胀对芯轴动力学行为的影响l7 ]。Jiang Shuyun建立了轴承-转子动力学模型，分析芯轴几何因素对其动力学行为的影响 ]。以上电主轴动力学模型都是以轴承-转子系统为基础，考虑单-因素如：热膨胀、几何尺寸等对其动力学行为的影响，忽略了高速电主轴系统各个因素之间复杂的耦合关系，尤其是不能把电磁影响考虑入模型，对其耦合因素作用下的动力学特性揭示不够 。

针对以上不足，本文建立了-种新型的高速电主轴多愁合动力学模型，分析轴承模型、热态模型、芯轴动力学模型和电机电磁模型之间的耦合关系，提出各种耦合因素，并且讨论其对芯轴动力学特收稿 日期 ：2012-07-17；修 订 日期 ：2012-12-19基金项目：国家 自然科学基金资助项 目(51O05259)性的影响。模型中不但完善了角接触球轴承的拟静力学模型，而且根据电磁理论建立电机损耗模型，并且将电磁不平衡拉力作为芯轴的外载荷之-，使得新型动力学模型更加准确。最后用实验--验证了此模型的计算结果 。

1 多愁合动力学模型的建立1.1 电主轴多愁合动力学模型高速电主轴的动力学行为受到轴承运行状态、热态特性、电磁因素和芯轴特性的影响，图 1展示了新型模型各因素之间的相互作用关系。

离心膨胀位移、接触膨胀位移]I!型I离心力载荷电磁不平衡拉力载荷电机电磁模型电主轴传热电机损耗图 1 电主轴多愁合动力学模型Fig.1 Multi-physical coupled dynamic model of motor、 ized spindlesg 担-学E程工V动 衄振304 振 动 工 程 学 报 第 26卷轴承内外圈的热膨胀和接触膨胀 、内圈的离心膨胀和振动位移通过改变轴承的几何约束关系影响其运行状态。轴承模型-方面为芯轴提供动态支承刚度，另-方面通过轴承损耗影响电主轴的热态特性；电磁模型的电机损耗在成为电主轴热源之-的同时，其电磁不平衡拉力载荷也构成了芯轴的外载之-；电主轴热态模型决定了其温度惩热位移场分布；离心力载荷构成了芯轴的另-外载。

1.2 轴承模型1.2.1 角接触球轴承拟静 力学模型高速运行的角接触球轴承在轴向载荷 F 和径向载荷 F 以及弯矩载荷M 的联合作用下，内外圈会发生相对轴向位移 、径向位移 和角位移 ，计入轴承内圈径向振动位移 和离心膨胀位移e ，内外圈热膨胀位移 和 、接触膨胀位移 和 ，得到角接触球轴承的几何约束关系如图2所示。

图 2 轴承内部几何关系Fig.2 Geometrical relationship inside the bearingE，E 和 ，m 分别为轴承运行前后钢球球心和内沟曲率中心， 为外沟曲率中心，任意钢球位置， 处 内沟曲率 中心的坐标为 ：A ，- BD 6sina R Ocos ， (1)A ，- BD 6COSor (Sr )COS e - - (2)式中 B- fe-I，厂 和厂 分别为轴承内外沟曲率半径系数；D 为钢球原始直径；a为原始接触角；R，为钢球与内圈接触半径。钢球与内外囤的接触变形分别为：- (V ) - (厂 -0.5)D (3)- [(A -V )。(A -V )。] -(f -0.5)D (4)式中 V 和 为钢球球心位置参数。联立钢球平衡方程和内圈平衡方程可以求得轴承运行状态 。

轴承内外圈接触膨胀位移m]： -P (1- ) /EE(1-d。/d )d ] (5)e印-P (1- 。) /EE(1-d；/D。)] (6)式中 d和D分别为轴承内外圈直径；d 和d 分别为内外沟底直径；E和 分别为轴承钢的弹性模量和泊松比；P 和P 分别为轴承内外圈接触压力。

轴承内圈离心膨胀位移u叩 - 。(1 )(1-2 )(3-2v)d E1d。/d -I-d。/d (1-2v)-I/(3-2v)]/E64E(1- )](7)式中 p为轴承钢密度； 为内圈转动角速度。

1.2.2 轴承动态支承刚度矩阵角接触球轴承高速运行时，其在外载作用下的变形方程口F6- 6 (8)式中 为内圈载荷列向量； 为动态支承刚度矩阵； 为轴承内圈位移列向量。

1.3 电主轴热态模型1.3.1 轴承损耗角接触球轴 承高速运转过程 中，轴 承损耗为EZHb-∑(∞岫M M。60s/ M ) (9)式中 M 和 M 分别为钢球和内外圈摩擦力矩；60 Ⅲ为钢球公转角速度；M嘶为钢球 自旋摩擦力矩；，为钢球 白旋角速度。

1.3.2 电机损耗分析电机的工作原理，建立内置电机损耗模型。

P。d PFd PPn P n P P， ， ， ，L - ，豇 l ll ≥。 厶 PMI - s l图3 电机电磁损耗功率Fig.3 Electromagnetic loss of the motor电机损耗分为定子损耗、转子损耗、杂散损耗和机械损耗。电机输入功率P1-3U1 1 cos 14sU cosrp1 (10)式中 U 和U 为分别为定子相电压、线电压；I 和分别为定子相电流、线电流；cos 为定子绕组功率因数。定子损耗 P 分为定子铜耗P 和定子铁耗 P 1Ps- P＆l P 1P l- 3I r1P&1- 3 r (11)式中 r 为定子电阻；J 和 ，- 分别为励磁电流和励磁电阻。电机电磁功率第 3期 陈胁，等：高速电主轴多愁合动力学特性研究PM- P1- P 1- PR1 (12)转子损耗 P 分为转子铜耗 P 和转子铁耗PR ，而电机正常运行时转差率 s很低，所以 P ≈0，则PR≈ P 2-31 ；r 2-sPM (13)式中 J 。和 r 分别为转子等效电流和等效电阻。

电机机械功率P - PM- P 2- (1- s)PM (14)电机杂散损耗和机械损耗P Pn-P - P2 (15)式中 P 为电机输 出功率 。

1.3.3 电主轴热边界条件按照传热学基本理论计算高速电主轴的热边界条件[ 。

- 、、 - - 7- 对转子表面的麦克斯韦应力进行周 向积分 ，则可以得到径向作用于转子的电磁不平衡磁拉力载荷r2f -l Lda (21)J 0式中 JR和L分别为转子半径和气隙长度。

1.5 芯轴动力学模型根据 Timoshenko梁理论 ，应用有 限元技术 建立芯轴的动力学模型，如图 5所示 。

9/////， "////4E-- .-l· ，- 00 ln 1 1 1图 5 芯 轴动力学模 型Fig.5 Dynamic model of spindles耦合入轴承动态支承刚度，并且以电磁不平衡拉力和离心力为外载的芯轴动力学方程为M X C X (K Kb)X - F 4-F (22)式中 M ，C，K 分别为芯轴质量矩阵、阻尼矩阵 、刚度矩阵； ，x ，x 为节点加 速度 向量 、速度 向量和位移向量；F 和F 分别为电磁不平衡拉力载荷向量和离心力载荷向量。

2 仿真、实验结果及其分析图4 电机转子偏心的气隙Fig.4 Air-gap of a motor with an ecentric rotor 2.1 多愁合动力学模型求解流程为实际气隙厚度； 为理想气息厚度；e为定转子偏心距；a和 7分别为相互位置角 引。则实际气隙厚度为- - ecos(a- )，) (16)气隙磁导为A-/x。/(K ) (17)式中 。为空气导磁 系数；K -(K 4- )/(K 8o)为气隙饱和度，其中 K 为平均气隙的计算气隙系数， 为铁磁材料的当量气隙。气隙合成磁动势[FFscos(ost- a)4- FRcos(oJst- a- ) (18)式中 F 和 F 分别为定子和转子的合成磁动势幅值；叫 为同步角速度； 为转子电流相对于定子电流的滞后角度。气隙磁密B -AF (19)气隙磁密的切向分量远小于径向分量，可以忽略不计 ]，则转子表面的麦克斯韦应力为- B /(2 0) (20)为了方便讨论多愁合动力学模型之间的耦合关系，本文提出 5个耦合因素：热膨胀因素、轴承内圈离心膨胀因素(简称为离心膨胀因素)、轴承内外圈接触膨胀因素(简称为接触膨胀因素)、电磁不平衡拉力载荷因素和离心力载荷因素。高速电主轴多愁合动力学模型的求解流程如图 6所示：整个计算流程以轴承运行参数和电主轴温度场分布为迭代收敛条件，以轴承动态支承刚度、轴承损耗和电主轴热膨胀位移为反馈量，不断迭代，综合求解高度电主轴多愁合动力学模型。

2.2 轴承动态支承刚度本文以2ZDG60型高速电主轴前轴承 B7o04C/P4Y为例，在考虑全部耦合因素、完全不考虑耦合因素和单独考虑其中-种因素时的轴承径向支承刚度如图7所示。

考虑耦合因素与否，轴承径向刚度 K 都会随着转速的升高而升高，其原因是随着转速的升高，钢振 动 工 程 学 报 第 26卷开始萋盛毒 、h l 竺皇i 望堑 力、离心力载荷l 接触膨胀位移 L----求解芯轴动 I1 I计算轴承几 l 力学方程 ll 何约束关系麴 网 圜 疋 匦由图 6 多愁合动力学模型求解流程Fig.6 The procedure of multi-physical coupled dynamicmodel solution吕己 图 7 B7004C/P4Y型轴承径向刚度Fig.7 Bearings radial stiffness of B7OO4C/P4Y球离心力增大，为了维持钢球的拟静力平衡状态，钢球与外圈接触力随之增大，则其接触刚度增大，整体上呈现出径向刚度随着转速的升高而升高的趋势；考虑全部耦合因素时 ，轴承的预紧状态受到诸多耦合因素的综合影响，钢球与外圈的接触力明显增大，接触刚度增强 ，则轴 承的径 向刚度明显高于完全不考虑耦合因素，取图7中36 000 r/min时的轴承径向支承刚度为例，两种情形相比较，考虑全部耦合因素时，其高出率为 23.43 ，这足以说明考虑耦合因素影响的必要性。

与完全不考虑耦合因素时相比较，总结耦合因素对轴承径向刚度的影响，如表 1所示，”表示增强”，-”表示减弱”，-/”表示低速时减弱 、高速时增强”。

表 1 耦 合因素对轴承径 向刚度 的影 响Tab.1 Effects of coupled factors on bearing radial stiffness2.3 电主轴热态特性2.3.1 轴承损耗功率根据轴承损耗模型计算 2ZDG60型高速电主轴B7004C/P4Y型前轴承的损耗功率，在考虑全部耦合因素、完全不考虑耦合因素和单独考虑其中-种因素时的轴承单位体积损耗功率如图8所示。

吕i弓 图8 B7004C/P4Y型轴承损耗功率Fig.8 Bearings loss of B7004C/P4Y考虑耦合因素与否，轴承损耗功率都会随着转速的升高而升高，其原因是随着转速的升高，钢球离心力增大，钢球与外圈接触力增大，则轴承内部各种摩擦损耗加剧，转速同时升高，最终导致轴承摩擦损耗功率急剧升高 。

考虑全部耦合因素时轴承损耗功率明显高于完全不考虑耦合因素，取图8中 36 000 r/rain时的轴承损耗功率为例，其高出率为 37.99 。

与完全不考虑耦合因素时相比较，总结耦合因素对轴承损耗功率的影响，如表 2所示：”表示增强”，-”表示减弱”，-/”表 示低 速时减弱、高速时增强”。

表 2 耦合因素对轴承损耗功率的影响Tab.2 Effects of coupled factors on bearing loss2.3.2 电机损耗功率利用 89601C1型三相高频电动机专用测试仪～-～--～-第 3期 陈胁，等：高速电主轴多愁合动力学特性研究测量电机空载时定子线电压 己， 、线电流 输入功率 P 等电参数，根据电机损耗模型计算 2ZDG60型高速电主轴内置电机空载条件下单位体积损耗功率，如图 9所示。

目。n0 槲耀辎图 9 电机损耗功率Fig.9 Motor loss2.3.3 温 升以油雾润滑、定压预紧、水冷的2ZDG60型高速电主轴试验平台为例，采用热电偶传感器测量电主轴壳体前端、中端、后端和油雾温升，泰仕 TES-1310温度仪测量前轴承外圈温升，酒精温度计测量冷却水温升。电主轴转速为 36 000 r/min时的温升仿真、实验结果如图 1O所示。

壳体前端、中端、后端、前轴承外圈、油雾和冷却水 的温升分别为：11.22，l1.28，17.91，20.52，22.60和3.8O。C。仿真结果与之相比较，前 4个测点的温升误差分别为：1.83 ，2.46 ，8.11 和 0.33 9/6，仿真精度较高。

6 000，12 000，36 000，6 0000 r/min时 的前轴承外圈温升仿真、实验结果如图11所示。

4种转速 下前 轴承外圈温升分别 为：2.8O，8.25，2O.52和 27.O7。c。与仿真结果相比较，温升误差分别为：2.33 ，1.66 ，0.33 和 1.99 ，仿真精度较高。

2.4 电磁不平衡拉力载荷根据电磁不平衡拉力载荷模型，2ZDG60型高速电主轴电机在 6 000，12 000，36 000和 60 000 r/min时的电磁不平衡拉力载荷计算结果如图 12所示 ：其角频率均为二倍转频。

2.5 芯轴动力学行为2.5.1 芯轴 振 型根据芯轴动力学模型，求解芯轴固有模态，假设节点最大振幅绝对值为 1，则 2ZDG60型高速电主轴芯轴振型仿真结果如图 13所示。

- 阶振型为中部振动，最大振幅出现在尾端；二5040u30201O前轴- 排气- 壳体 壳体 壳体. 塑00 400承外圈温度(36 000 r/min)孔油气温度(36 000 r/min)后端温度(36 000 r/min)中端温度(36 000 r/min)前端温度(36 000 r/rain) 水温度r3.5 000 r/min)600 800 1 000 1 200 1 400t/s(a)温升实验曲线(a)The temperature rise curve of experiment(b)温升仿真曲线fb)The temperature rise curve ofsimulation图 1O 温升仿真、实验曲线Fig.10 The temperature rise curve of simulation and experim ent504030u2Oo裔 10O- 10- 20实验结果仿真结果实验结果仿真结果实验结果仿真结果实验结果仿真结果6 000 r/min)6 000 r/min)12 000 r，min、12 000 r/min)36000 r/min136000 r/min)60000 r/mid)，60000r/min)0 200 400 600 800 1 000 l 200 1 400t/S图 11 前轴承外圈温度仿真、实验曲线Fig.1 1 The temperature rise curve of simulation and experiment at bearing outer ring阶振型为尾部摆动，最大振幅也 出现在尾端。

2.5.2 电主轴振动 实验高速电主轴运转过程中整体结构的低阶固有频率就是芯轴的固有频率，所以测量电主轴壳体的振动信号就可以分析芯轴的振动情况。本文振动实验的目的是研究耦合因素对高速电主轴动力学行为的影响，实验方法是待温升稳定后采集壳体前端轴承振 动 工 程 学 报 第 26卷Z 妪帮脚霞1.510.51O.536000 r/min0 1 2 3 4 5×1060 000 r/minO 1 2 3时间 /s X10图 12 电磁不平衡拉力载荷Fig.1 2 The unbalanced magnetic pul图 13 芯轴振型Fig.1 3 The mode shapes of spindle支承处的振动加速度信号，并且进行相应分析处理。

实验装置包括：2ZDG60型高速电主轴、B&-K4384压电式单向加速度传感器、B&K2692-014电荷放大器、SC305-UTP型数据采集分析仪和处理信号分析软件。测试框图如图14所示。

高 加 电速 速 荷 数据 信号电 度 放 采集 处理主 传 分析 分析 感 大 仪 软件轴 器 器图 14 振动测试系统Fig.1 4 Vibration testing system2ZDG60型高速电主轴 4种转速时的振动加速度信号频谱如图15所示。

电主轴的激振力可以分为平稳随机激振力和稳定激振力，其中稳定激振力的主要成分是电磁不平衡拉力载荷和离心力载荷。

平稳随机激振力包含各个频率成分，在芯轴固有频率附近产生共振，频谱出现峰值，-、二阶固有频率分别为：(a)1 240，1 840 Hz；(b)1 249，1 858Hz；(c)1 279，1 887 Hz；(d)1 294，1 9l1 Hz∩以0.250.20G· O.15邑O.100.05O：二阶固有频率 4。H /。 - 阶固有频率(1 240 Hz) /Z.(20Hz)/。

c oo. G邑 f/HzCo)12 000 r/minf/Hz(c)36 000 r/min厂/Hz(d)60 000 r/min图 15 振动加速度信号频谱曲线Fig.1 5 The spectrum curve of vibration acceleration sig-nal看出，随着转速的升高固有频率随之升高，其主要原因是轴承径向支承刚度的升高导致其升高；由于平稳随机激振力变化不大，所以频谱图中固有频率成分幅值随转速的升高变化不大。

稳定激振力中的电磁不平衡拉力和离心力载荷的激振频率分别为二倍转频和-倍转频，所以频谱O O O 2 O O CJl n眦∥ ∞6 O O 5 O 第 3期 陈胁，等 ：高速电主轴多愁合动力学特性研究图中对应频率成分处出现峰值；电磁不平衡拉力载荷随着转速的升高出现先升高再降低的趋势，对应频谱图中的二倍转频成分随转速的升高也是先升高再降低，实验与理论计算-致；离心力载荷幅值与转速的平方成正比，对应频谱图中的-倍转频成分随转速的升高而升高，实验与理论计算-致。

2.5.3 芯轴 固有频率在考虑全部耦合因素、完全不考虑耦合因素、单独考虑其中-种因素时的芯轴-、二阶固有频率计转速 /(r·rain- ) x1 o4(a)-阶固有频率(a)1st natural frequencies算结果与实验结果如图 16所示。

轴承通过径向支承刚度影响芯轴固有频率，所以在耦合因素影响下的固有频率仿真结果与轴承径向支承刚度的变化趋势相同〖虑全部耦合因素时的仿真结果误差最小，分别为：(a)2.08%，2.2O ，2.47 ，3.01 ；(b)2.74 ，2.13%，1.97 ，0.50 。完全不考虑耦合因素时的仿真结果误差较大，分别为：(a)3.34 ，3.75 ，5.03%，5.26 ；(b)4.30 ，4.82 ，4.18 ，3.87 。

(b)二阶固有频率(b)2nd natural frequencies- - 实验数据 -e-考虑全部耦合因素 - 完全不考虑耦合因素 单独考虑离心膨胀因素 十 单独考虑离心力功荷因素- --单独考虑热膨胀因素 单独考虑接触膨胀因素 -旨-单独考虑电磁不平衡拉力载荷因素图 16 固有频率Fig.1 6 Natural frequencies3 结 论由上述研究分析可知，本文建立的高速电主轴多愁合动力学模型能够准确、全面地描述其动力学行为 ，表现为 ：(1)将热膨胀、轴承内外圈接触膨胀、内圈离心膨胀和径向跳动等诸多因素计人其拟静力学模型，准确地反应电主轴各耦合因素对轴承几何约束关系的影响，则轴承动态支承刚度和轴承损耗的计算更加准确。

(2)应用电磁理论建立电机产热模型，并且借助实验手段，完成电机损耗功率的计算，为高速电主轴进行温度场仿真提供准确的前提条件，仿真结果与实验结果相比较误差较校(3)将电磁不平衡拉力载荷作为多愁合动力学模型的-部分，在补充了-种重要外载形式的同时，也将其作为耦合因素讨论其对轴承动态支承刚度、轴承产热以及芯轴固有特性的影响，反应出高速电主轴的机、电、磁、热的相互耦合特性。

(4)本文分析了高速电主轴轴承模型、热态模型、电磁模型以及芯轴动力学模型之间的耦合关系，从耦合因素的角度讨论了其对芯轴动力学行为的影响，计算结果与实验结果相比较误差较小，说明多场耦合动力学模型具有较高的准确性。

(5)实际生产中，应用本文建立的多愁合动力学模型及其求解方法能够更加准确地分析电主轴动力学特性，为高品质电主轴的设计提供了坚实的理论和实验基础 。