基于非负Tucker 3分解的稀疏分量分析在故障信号提取中的应用

Sparse component analysis based on nonnegative Tucker 3decomposition for fault signal extractionWang Haijun Xu Feiyun(School ofMechanical Engineering，SourestUniversity，Nanjing 211189，China)Abstract：Aiming at the problem of non-sparseness of original diagnosis signal and being difi cult todistinguish，a method of sparse component analysis(SCA)based on nonnegafive Tucker 3 decompo·sition(NTD)is proposed to process the quadratic feature of faults for improving the sparseness。

Meanwhile，a new updating algorithm with nonnegative constraints is put forward to overcome thelimi tation of slow convergence an d data overfitting in NTD.Compared with the conventional alterna-tive least squares(ALS)，the updating algorithm can simultaneously compute all the factors in onetime that avoids calculating the large-scale Jacobian matrix and therefore improves the efi ciency。

The experimental results show that the method of combining NTD and SCA(SCANTD)only needs1 50 steps to achieve convergence which is superior to other typical methods like NTF，etc；SCA- NTD also gets the highest accuracy of 97.16% under the sanle dimension of a tensor.Therefore，SCANTD not only improves the sparseness but also is significan t to improve the convergence an defficiency。

Key words：nonnegative Tucker 3 decomposition；sparse component analysis；updating algorithm ；alternative least squares methodTucker 3分解模型是Tucker 针对多维数据降解而提出的-种高效数学分解模型.随着计算机技术的发展，在交替最小二乘算法的基础上，Paatero等 建立了三维 CANDECOMP/PARAFAC(CP)并收稿日期：2012·12-06. 作者简介：王海军(1982-)，男，博士生；许飞云(联系人)，男，博士，教授，博士生导师，fyxu###seu.du.cn。

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50875048，51175079，51075069)。

引文格式：王海军，许飞云·基于非负Tucker 3分解的稀疏分量分析在故障信号提取中的应用[J]. 东南大学学报：自然科学版，2013.43(4)：758-762.[doi：10.3969/j.issn.1001-0505.2013.04.016]第4期 王海军，等：基于非负Tucker 3分解的稀疏分量分析在故障信号提取中的应用 759行计算模型，CP模型对非负分解算法的发展起到了很大的推动作用.从实体数据的有效性出发，Lee等 提出并证实了非负矩阵分解方法对图像的局部特征具有良好的解释性.自此，非负矩阵分解方法在盲信号处理、图像特征提娶神经系统学和化学计量学等领域中得到了广泛的应用.目前，对三维目标特征的局部化处理和分类仍然是研究中的热点和难点.这样便引出了对算法的稀疏性控制优化等方面的研究.在特征稀疏性处理上比较典型的研究主要包括利用拉格朗Et优化、增加并行因子补偿项和稀疏性控制项等方法来表达固有分量的特征 .在较小规模数据的计算上，这些方法能达到预期的目的.但是，对于高维大规模数据的计算往往会带来收敛速度慢和局部过拟合问题，而这些问题会直接影响到计算的精度和二次特征的有效表达.因此，针对过拟合和特征稀疏性的问题，本文提出了非负Tucker 3分解(NTD)结合稀疏分量分析(SCA)的方法来提高分解的效率以及二次信号特征的稀疏性；同时，对 Tucker 3的分解因子进行非负约束和-次性更新计算以提高计算的精度和效率.这样提取出的二次特征在稀疏性和精度方面也会得到有效的控制.因而，该方法的研究从理论上来说显得很有必要，在实践中也具有重要意义。

1 Tucker 3分解模型作为-种成功的张量分解方法，Tucker提出的分解方法可以简单地概括为3种模型，即Tucker1，Tucker 2和 Tucker 3分解模型.其中，Tucker 3分解模型又是前2种方法研究的延续和发展，在非负张量分解(NTF)的特征局部化处理与应用中具有十分重要的意义 ㈣ .根据NTF的优越性，本文主要以 Tucker 3分解模型作为研究对象。

根据图 1，设-个实体的三维数据元 Y∈R，l ，，则分解 因子主要 由 1个核 张量 G∈R -xJ2 和 3个模矩阵A ∈R ，n，f1，2，3组成；模矩阵由对应的 个列向量组成，即A [口 ，口 ，，口 ]∈R，l .Tucker 3分解模型的数学表达式为y G× A( X，A( × A( )G×AS.t.1l A l11 (1)曰 囡图 1 Tucker3分解模型式中，× 表示矩阵形式的模数积；A表示所有模矩阵的Kronecker积； 为y被分解后的近似值。

对式(1)的最佳近似进行分解，可转化为求解以下最优化方程：1 。

min÷Il y- 2 (2)二 对式(2)中的A 分别逐个求偏导，便可得到模矩阵A，A ，A 的计算式.对A” 进行交替迭代计算，并增加对A 非负约束，可得到张量核G.非负约束对计算陷于局部过拟合起到了较大的抑制作用 .但是，这种迭代计算方式会产生巨大的Jacobian矩阵，同时也带来了收敛慢和效率低的问题 .因此，研究-种更高效合理的计算方法是本文的研究 目的之-。

2 牛顿-高斯梯度下降的迭代方法对分解因子 A，A ，A 以及 G进行重新组合，得到-个新的矩阵 M [A ，A ，，A∽，vec(G)].其中，vec(·)表示展开堆叠的张量 G(关于张量的展开，可参见文献[10])，将各堆叠的矩阵重新排列成-行.根据牛顿-高斯梯度下降迭代法，得到矩阵 的更新方程为l M-日～， (3)式中，日为海森矩阵；，为梯度矩阵，计算公式为， ( -J，)， H (4)Ⅳs.t.K [ 1，K2，， 1]，K ∈RI-I。

- ( - c； ) ) l 2-，N -1 ，z：Ⅳ1式中，Yvec(Y)， vec( )；P为转置矩阵；A- 表示除A 之外所有模矩阵的 Kronecker积； 为-个 Jacobian矩阵。

为了避免海森矩阵日出现极值为零而影响计算的效率，取 日 的近似矩阵 岔，以保证极值不为零，令 詹H ，，其中0< 《1。

将新的海森矩阵罩块，则必然存在詹A，，A>0.在给定矩阵 附近，点 M M - (V，( ))以及下降的步长0< <1/A，必有，( )<，( )，证明从略。

3 SCA的二次特征处理3.1 信号的稀疏处理高斯 -笛 卡尔密度核 函数是 由 Khoromskij等1 针对三维 PARAFAC分解因子计算而提出，并应用于冗余化学原子库信号稀疏化的方法.高斯htp：//journa1.seu.edu.cn760 东南大学学报(自然科学版) 第43卷- 笛卡尔密度核函数不仅能处理离散化信号，而