冗余提升多小波包的构造及其应用

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Construction of redundant lifting scheme multi-wavelet packetsand its applicationCHEN Jing-long ，ZHANG Lai-bin ，YANG Lin(1.Survey and Design&Research Institute，Zhongyuan Petroleum Exploration Bureau，Puyang 457001，China；2.Colege of Mechanical and Transportation Engineering in China University of Petroleum，Beqing 102249，China)Abstract：Aiming at the extraction of weak period impact components buried in original signal，a novel method to combineredundant lifting scheme multi-wavelet packets(RLSMWP)and sliding window singular value decomposition(SWSVD)wasdeveloped.Original signal was pre-fihered by redundant Haar preprocessing with five approximation order，and vector signalwas calculated.The vector approximation signal was calculated by redundant updater and rescaled and decomposed further-more.The redundant lifting scheme multi-wavelet packet transform was realized.Every output channel signal on the last levelwas denoised using SWSVD，then signal was reconstructed using reconstruction algorithm.The results show that the noise re-duction efect is good using RLSMWP-SWSVD method，and the weak fault signal of a valve was extracted from the strong vi·bration background.Compared with the traditional multi-wavelet construction algorithm，the new method achieves prefiher-ing，multi-wavelet decomposition，multi-wavelet reconstruction and post-processing in the time domain.The new method ischaracterized by simple calculation and high computing speed.It can save memory and can be completely reconstructed。

Key words：lifting scheme multi-wavelet packets；redundant algorithm；singular value decomposition；fault diagnosis多小波可同时满足正交性、短支撑、对称性、高消失矩及高逼近阶性质，具有更好的信号分解效果l1]。目前常用的多小波包括 GHM多小波I2]、cL多小波3]和 CARDBAL平衡多小波[4 等，传统多小波利用分形理论及 Fourier变换等方法构造。计算复杂。Sweldens等 给出了用提升方案构造单小波的方法，随后 Davis等8 给出了多小波的提升框架 。

Fritzl9 利用提升方案构造了双正交多小波，Amir等l 利用三次 Hermite样条作为预测器，实现了在时域构造多小波，Yuan等l1l构造了自适应提升多小波。已有方法中提升多小波采用下采样运算，每分解-次，信号长度减半，不能完整保留信号中的弱周期性冲击成分 ，而且传统的软、硬阈值处理会滤除大量 的有用信息，不利于机械故障特征提收稿日期：2012-05-10基金项目：国家科技重大专项(2011ZX05017-004)作者简介：陈敬龙(1984-)，男，博士，主要从事安全监测及检测研究。E-mail：xurongxiaoping###126.com。

· 140· 中国石油大学学报(自然科学版)取 。笔者利用冗余提升方案实现多小波包变换。

1 提升多小波理论(t)[ ，(t)， (t)，， ，(t) 为 ，重尺度函数，且满足以下两尺度方程[ ：f ( ) ∑H (b(2 - )，《 (1) (f) ∑G[kl dp(2t- )。

式中，H[ ]和 G[ ]为 r×r的矩阵，分别为低通和高通滤波器。

多小波重构公式为， ∑日 -： ∑G - . (3)式中， 为 r维矢量逼近信号；w为 r维矢量细节信号。

利用提升方案可在时域实现多小波的构造，提升方案包括3个步骤：剖分、预测及更新I5 J。

(1)剖分～输入矢量信号 F[n]分解为偶样本 [n]F[2n]和奇样本 F。[n]F[2n1]。

(2)预测。用奇样本附近的偶样本对其进行预测，预测 误 差 为 细 节信 号。D[n]F [n]-P(F [n])，其中，P为预测器。

(3)更新。用细节信号对偶样本进行更新，更新结果为逼近信号。C[n]F Yt]U(D[n])，其中，U为更新器。

2 冗余提升多小波包变换冗余提升多小波包分解步骤包括预处理、预测、更新和尺度调整，重构步骤是分解的逆过程。以 2重多小波(r2)为研究对象。

2.1 冗余提升 Haar预滤波设原始信号 ( (1)，x(2)，，x(N))，将其分解为矢量信号 F(F ，F，) ，计算公式为D(k) ( 1)- (k)， (4)s ( ) (k)dd( )/2， (5)s( )s ( )， (6)d(k)：2D(k). (7)按式(4)～(7)实现的Haar滤波器具有3阶逼近性，为保留冗余提升多小波的4阶逼近性，需增加Haar滤波器的逼近阶，对 s( )进行进-步处理。

u(后)： )- 3)- - . (8)可得输入矢量信号为㈩丢 )，( )： ( )。

(9)将冗余提升Haar预滤波看成第零层分解，设第i层分解得到的第 输出通道信号用X 。表示，则 。，： F1，Xo.2F2。

2.2 冗余提升多小波包分解以三次 Hermite样条作为预测器，预测系数 m]为P J1 12 43 14 4，P21，)41414更新系数为对应预测系数的-半，即 P 1 14 83 18 81438l818去掉剖分运算，第-层冗余提升多小波包分解的预测公式为，( )]- ( )]L. (k) (k)J1P2式中，.， 和 ，. 为细节信号，表征原始信号中的高频信息。

第-层冗余提升多小波包分解的更新公式为[ X1.，：l ( k)][ ；] [ ： ： ；]u ( - )]1. (1) l x 1. 4( -1)j式中， ㈠ 和. 为逼近信号，表征原始信号中的低频信息。

将 ，乘以2，即. ：( )2x . (k). (12)推广到-般情形，给出第 m层冗余提升多小波第37卷 第 1期 陈敬龙，等：冗余提升多小波包的构造及其应用 ·141·包分解的时域计算公式。假设已知输入矢量信号 2.4 后处理( .， ：，， ) ，预测公式为 后处理是预处理的逆过程。

m，2. ( )]- m-。， ( ) ]L (k) L .. (k)JP1 1x' m-- l'l( k、. .I-2m--I) ]Pz[ ： ： 三 。 ])，11，3，5，，2 -1. (13)式中， 和 为细节信号。

更新公式如下：f9fm，2l-l南(、k ]：. X，m-1.f 、] )jm1 )j.1l(kt-xm，21( ： 2-，2m-I)Z1，3，5，，2 -1. (14)式中， ㈠和 为逼近信号。

对更新后得到的信号 进行尺度调整，即f2x f，l1，3，5，，2 -1. (15)2.3 冗余提升多小波包重构由式(10)～(15)可得到冗余提升多小波包变换的重构算法。

(1)恢复尺度调整f÷ z， 1，3，5，，2 -1. (16)(2)恢复更新cm，：z--(后)]～ m， - ( )]tcm，21(k) j L (k) J： ： IXm，2t I(k-2-m-1)，l，l1，3，5，，2 -1. (17)(3)恢复预测Cz，.2l，. .1 (k )]L，X m，.2t ，l(k )c ] m-2f2J 2J： 2 2m-Cm， 21l，(k--2m-l1，3，5，，2 -1. (18)(4)合并- 。. (k)5 -c.2 -1(k)c . ( )，n1，3，5，，2- -1. (19)- ， (k) ～c ， (k)c ，2 -2(k)，n2，4，6，，2- . (20)/t( ) ( )， (21)d( ) ( )， (22)s(k)/Z( )[d(k3)-d(k-1)]/48， (23)D(k)d(k)/2， (24)s (k)s( )， (25)C (k)s (k)-D( )/2， (26)c (k)D(k-1)c ( -1). (27)通过合并运算，最终得到标量信号.即( )[c。(k)c：( )]/2. (28)3 滑动窗奇异值分解降噪实际测取的信号含有噪声，对信号进行小波包分解后，需对各输出通道信号进行降噪处理。设信号为 X( (1)，x(2)，，x(N))，对其进行相空间重构。

B ：[ (t)， (t )，， (t(n-1)r)]，t1，2，，h；hN-(n-1) . (29)式中，n为嵌入维数；7l为时间延迟。

对矩阵 进行奇异值分解：B Z S (30)矩阵s的非对角元素等于零，对角元素可能不为零，且按从大到小的顺序排列∠小的对角元素由噪声引起，将 s中数值较小的对角元素置为0，得到矩阵 ，代人式(30)中算出-个新的矩阵，通过相空间构造的逆过程可获鹊噪后的信号。

利用奇异熵增量曲线选择降噪阶次，计算公式为 ]r A 1 r， A ] AEi-、 式中，A 为矩阵 的第 i个对角元素。

选择 △ 曲线开始明显下降时对应的i值作为降噪阶次。机械振动信号具有周期性.将信号按周期划分成不同部分，相当于给信号加上-个矩形窗，窗的宽度为信号的-个周期。如果最后-部分信号不够-个周期，将其作为-个窗。对各窗内的信号分别进行奇异值分解降噪处理。

4 信号处理4.1 仿真信号降噪将本文方法用于仿真信号降噪，并与GHM多小波包、Db4小波包和 Db8小波包进行对比。仿真信· 142· 中国石油大学学报(自然科学版)号为(t)sin(2×50rt)0.6sin(2×80-rt叮/4)0.3sin(2×600wtw/6)0.557(t)。

分别用冗余提升多小波包结合滑动窗奇异值分解降噪、GHM多小波包结合滑动窗奇异值分解降噪、Db4小波包结合硬阈值处理和 Db8小波包结合硬阈值处理的方法对信号进行降噪，对信号进行 1层小波包分解。因为频率为50 Hz的信号幅值远大于其他信号成分，滑动窗的宽度按照 50 Hz选龋用信噪比r 和均方差 e 评价降噪效果，r 越大、e 越小，则降噪效果越好。

L Lr 101g[∑ /∑( - 。) ]， (32)(33)式中， 为不含噪声的信号在 时刻的值； 为降噪后的信号在 时刻的值， 为信号长度。

4种方法的降噪结果如表 1所示，可看出本文方法获得了较好的降噪效果。

∞j型骧(a)正常工况表 1 几种方法的降噪效果Table 1 Noise reduction effect Of severalwavelet packets4.2 工程应用某往复式压缩机型号为4HOS-6.压缩介质为天然气，由柴油机带动运转。 曲轴额定转速为 860r/rain(周期 0.07 S)。正常工况下该机组第三级排气阀的振动信号如图 1(a)所示，采样频率为 16kHz，采样长度为 2 048个点。某次检修时发现该气阀振动偏大，信号如图 1(b)所示。为判断故障类型，对信号进行 1层冗余提升多小波包分解，得到 4个通道信号，通过滑动窗奇异值分解对各通道信号进行降噪处理，第3通道信号的上下包络线见图2。

图 1 气阀的原始振动信号Fig.1 Original vibration signal of valve时间t/s 时间 t/s(a)正常工况 (b)故障工况图2 冗余提升多小波包-滑动窗奇异值分解降噪得到的第1层第 3通道信号Fig.2 The third band signal on the first level denoised by RLSMW P-SW SVD method从图2可看出，阀片撞击升程限制器和阀座的冲击信号。与正常工况(图2(a))相比，故障工况(图2(b))下在排气阶段，阀片振动幅值明显增大，出现了颤振信号。这说明气阀弹簧的刚度不够 ，在气流推动下阀片不断撞击升程限制器，产生了相应的颤振信号，据此判断该气阀弹簧老化失效。停机检修结果验证了诊断结论的正确性，更换弹簧后，气阀振动恢复正常。

用经典小波包对原始振动信号进行 2层分解，小波基为Db4，对第2层的4个频带信号进行硬闽值处理.提取第2层第3频带信号，如图3所示，从中得不到有用的信息。

- 2- 、- ，0- --- / 镀- 、- L - /- l /L√ S Me 第37卷 第 1期 陈敬龙.等：冗余提升多小波包的构造及其应用 ·143·0.04o.020馨 -o.02- O.042写。

- 2墓-- 60 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500点数 n 点数 n(a)正常工况 (b)故障工况图3 经典小波包-硬阈值降噪得到的第2层第3频带信号Fig.3 The third band signal on the second level denoised by classical wavelet packet-hard thresholding5结 论 IJ m 。 na(1)与传统多小波相比，新方法最大的优点是 997，29(2)：511-546。

在时域实现了多小波的构造。利用提升方案，在时 [7] DAuBEcⅢEs ，swEL s w·F 。 。 g w 。

域实现了预滤波、多小波分解、多小波重构友后处 ，rm in。t o1i i 。p [ ]·F。d。 A AP， 9 ，理，具有计算简单、节省内存、运算速度快、可完全重 8] DA-VI G， sTRELA v，TuRcAJ0vA R. M ltiwav。l。t构等优点。 c。nstmcti。n via the lifing scheme[c]//wave1et Analy-(2)冗余提升多小波包与滑动窗奇异值分解降 。i d M 1tireso1 ti。 M。th。ds.L。。t m Note i Pu 。

噪相结合，既可较大程度地滤除噪声，又能完整地保 and Applied Mathemati。。，Marce1 Dekkerc1999：57-79。

留信号中的弱周期性冲击成分，这是经典小波包和 [9] FRITZ K.Raising muhiwavelet approximation order传统的软、硬阈值处理难以达到的效果。 though lifting[J]Siam J Math Anal，2001，32(5)：(3)利用本文方法能将表征机械碰磨故障特征 1032-1049-的振动信息提取出来，可用于曲轴、液阀及十字头等 [ 0] AM R z，AVERBUCH，VALERY A zhe udev·Limng部件的故障诊断。