基于多目标函数的粒子群算法优化小波阈值的去噪方法研究

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常见的小波去噪方法有相关法、模极大值法和阈值去噪法。其中，阈值去噪法已广泛地应用在图像、信号去噪中，包括硬阈值法和软阈值法。

软、硬阈值去噪都能够较好地去除信号的噪声，但存在-定的缺点：由于硬阈值函数整体不连续，因而导致去噪后的信号不平滑，软阈值虽然整体连续性好，但消噪后，信号中-些小的奇异点容易被噪声淹没，而且软阈值函数对大于阈值的小波系数进行恒定值压缩，直接影响了重构信号与真实信号的逼近程度。文献[2]提出了新的阈值函数，在-定程度上能够很好地去除噪声，但函数阈值的选择没有达到最优，也不能达到最优的去噪效果。针对以上缺点，笔者根据阈值去噪的原理，在文献[2]提出的-种新的阈值函数的基础上，提出基于多目标粒子群优化算法的小波阈值去噪方法，仿真实验证明，该方法能够很好地去除信号的噪声，具有实际应用价值。

1 小波变换阈值去噪的基本原理设有-维信号 k)s(k)n(k)，其中s(k)为纯净无噪声污染的信号，n(k)为方差为 的高斯白噪声 厂(j)即被白噪声污染后的信号。

对信号 k)s(k)n(k)作离散小波变换，由小波变换的线性性质可知分解后的小波系数∞ 仍由两部分组成 ：-部分为信号 s(k)对应的小波系数 ，另-部分为噪声 n(k)对应的小波系数 即 mUj， m。

小波阈值去噪-般分为如下3个步骤 ：a.确定小波变换的分解层数 (以 3层为例)，对含噪信号进行离散小波变换，分解得到-组小波系数∞m；b.对得到的小波系数 ∞ 进行阈值处理，即提取第三层的低频系数 a ，以及第-、二、三层的高频系数 d。、d：、d ，对各层高频系数进行阈值处理，得到新的-组系数，这新的-组系数以及第三层的低频系数 a，组成小波系数的估计值 面，并使得 I1由 -um I达到最小；c.对估计值西m进行-维小波重建，得到去噪后的估计信号，(k)。

常用的阈值估计方法为 Donoho提出的硬阈值估计法和软阈值估计法 。硬阈值估计法的定义为 A，软阈值估计法的定义f sgn(∞，， )(1∞ ， I-A)，I，I≥A刀 ， 1 0。 l

由定义可以看出，这两种估计法都能在-定程度上去除噪声，但硬阈值估计法的西 在 A处不连续，导致重构得到的信号有振荡；而对于软阈值估计法，虽然连续性较好，但是在I∞ l>A时白m与收稿日期：2012-11-30(修改稿)基金项目：教育部重点资助项 目(210056)第 2期 姚建红等.基于多 目标函数的粒子群算法优化小波阈值的去噪方法研究 155总会产生偏差 ，直接影响去噪的效果。由以上分析可知，选择-个合适的阈值 A在阈值去噪中是非常重要的。

阈值 A的选取原则是使得 A刚好大于噪声对应小波系数的最大幅值。Donoho给出的阈值是 A 。

2 粒子群优化算法粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimiza-tion，PSO)是由Eberhart博士和 Kennedy博士发明的-种随机搜索算法，它是通过长期观察鸟类的觅食行为而发展起来 的。PSO的基本思想是将 鸟群的每-只鸟看做-个个粒子，每-个粒子在觅食的飞行过程中都会经历-个最佳位置，这个最佳位置即个体极值，记为P ；而整个粒子群体也有-个最佳位置，即全局极值，记为 g 。 每个粒子都根据个体极值和全局极值来不断调整更新 自己目前的位置，公式为：∞· c1·rand·(pb。。t-P) 1)c2·rand·(gb自Il-Pi)P Pi (2)式中 Cl、c2--学习因子，通常有 clc22；P --当前粒子位置；rand( 介于(0，1)之间的随机数；- - 粒子的速度；∞--惯性权重。

3 基于 P$O的阈值去噪3.1 阈值函数的选取笔者选用文献[2]的阈值函数，其函数定义为：：sn( . l . - I，· ， -≥A s。

(3)其中A啪为经 PSO后确定的阈值。由文献[2]可知，当 a8500、b13时去噪效果达到最好 。

3.2 适应度 函数的确定- 般而言，小波去噪效果是以均方误差 MSE和信噪比SNR作为评价标准的，又由于 PSO寻找的是全局最小值 ，因而笔者提出并采用 MSE和1/SNR这两个函数作为目标函数，即适应度函数。

MSE越孝1/SNR越写说明阈值 A Pso选择得越好。其中：sE 1善N(y - )。 (4)r N v 1sNR lg 旨商 J )式中 J7、r--信号的长度；- - 去噪后的信号；Y --原始含噪信号。

3.3 应用 PSO进行阈值去噪应用 PSO进行阈值去噪的步骤具体如下：a.初始化粒子的位置及速度，并确定 PSO算法的各个参数值，包括群体规模、学习因子、权重和适应度值。

b.计算 目标 函数值。笔者 提 出并 采用1/SNR(f)和 MSE(f2)这两个函数作为 目标函数，即适应度函数。

c.分 别计 算 和 的个体 适 应 度值[X，(k)]、厂2[ (k)]，个 体 极值 6。(k)、6：(k)，全局极值 樱、印：。则全局极值的矢量均值 g 。 (即 印 )/2，全局最优值的距离de，。。。abs(樱-Pp：)，各粒子间的距离 dl， 。 abs[Xb ( )- ：(k)]。在这里，将各粒子间的距离 咖 。 作为寻优的阈值，采用文献[2]的阈值函数来对含噪信号进行去噪。

d.将去噪后的信号 代入式(4)、(5)，求得适应度值，由此得到的两个函数的适应度函数值分别代入 dg abs(Pp。-印：)，得到的 dg与之前粒子得到的各粒子间的距离 却 。 相比较，如果较之好，则重置 dl， ；否则保持不变。

f.判断是否达到最大迭代次数，若达到，则终止程序；否则，返回步骤 b。

4 实验结果及分析为了更好地检验 PSO优化阈值后的去噪效果，笔者方法与传统的硬阈值、软阈值以及文献[2]中提出新的阈值函数的去噪方法进行比较，对加噪的bumps信号进行去噪仿真实验，其中含噪信号的信噪比为 12.25dB，采用 db7小波对信号进行分解、提取小波系数和重建。

图 1所示为用 db7对原始信号进行三层分解并提取的系数，a，为低频系数，d，-d 为高频系数。图2所示为4种去噪效果的比较图。

156 化 工 自 动 化 及 仪 表 第4O卷- 20寸 5裁 0- 5纂懈0 20 40 60 8O 1 o 12O 140采样点O 2O 40 6o 8O 1o0 12O 14o采样点-f 2赧 0- 2j鹫骧趔坚采样点O 1oo 20o 300 400 5o0 60o采样点图 1 小波分解 系数的提取O 200 400 600 800 1000采样点a.原始信号采样点b.含噪信号采样点c.硬阈值方法蛏理采样点d.软阈值方法采样点e.文献[2]方法O 200 400 600 800 lO00采样点f.笔者方法图 2 去 噪 效果 比较4种方法去噪效果的信噪比SNR和均方误差MSE比较见表 1。

表 4 4种方法的信噪比 SNR和均 方误差 MSE比较由图2所得去噪后的信号可以看出，与传统7 6 5 4 3 2 l O 孽7 6 5 4 3 2 O 第 2期 姚建红等.基于多目标函数的粒子群算法优化小波阈值的去噪方法研究 157的去噪方法相比较，硬阈值、软阈值和文献[2]这3种去噪方法在采样点 250、400附近均丢失 了原信号的特征，这将直接影响到信号后期的分析应用；而笔者提出的方法则能够很好地去除尖峰噪声，保留原始信号的特征。由表 1所得信号的均方误差和信噪比可以看出，笔者提出的方法所得信号的信噪比高、均方误差小，取得了更好的去噪效果。

5 结束语实验结果证明，笔者提出的方法在图形上能够很好地去除信号中含有的噪声；在数值上，笔者方法得到的信噪比和均方误差较传统方法有所改善 ，具有实际的应用价值。