微隧道式加速度计的最优控制

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与传统的已经产业化的电容式微加速度计[1]相比，微隧道式加速度计器件尺寸更小 、灵敏度更高，带宽更大。但是，微隧道式加速度计系统中存在 2个亟待解决的问题。第-，隧道效应器件系统中存在严重的低频噪声(包括热机械噪声、1/f机械和隧道噪声 、shot噪声和 Johnson噪声)[143；第二，隧道电流和隧道间隙之间存在剧烈的非线性指数衰减关系。所以，必须设计反镭制系统来抑制各种低频噪声，另外，还需将隧道间隙及其波动量分别控制在 l nm和 0.1 nm，以将非线性关系通过微小量法转化为线性。诸多数学模型和控制策略被用于不同种类的微机械式加速度计的控制系统I3 ]，但对于基于隧道效应的微隧道式加速度计(MTA)的控制的相关文献却不多。

应用极为广泛 的 PID控制过程 无法处理微隧道式加速度计系统中的各种低频噪声引发的不稳定性。现代 集成控制方法会使得控制器变得极其复杂[5 从而无法搭建高精度的实际有效的控制器。在对线性化微隧道式加速度计模型进行控制的过程中，在保证隧道间距恒定的性能指标要求的同时，要对输入加速度信号进行有效测量，也要抑制系统内部各种噪声的影响。而且隧道加速度计本身结构组成部件繁多，在对其引入控制技术之后 ，整个系统将变得更加复杂 ，在这种情况下，最优控制将在隧道式加速度计的发展过程中扮演重要的角色。最优控制理论是-种严格的数学解析方法，通过寻求最优控制规律，用最小的能量让受控系统最优地达到预期目标，而且结构简单，易于实现。LQG控制器是由卡尔曼滤波器和最优状态控制器串联而成6]，其中，卡尔曼滤波器用来从噪声系统中估计出隧道间距和隧尖速度的最优状态，最优状态控制器用于计算最优状态信号并得出控制下拉电压信号。

文中考察了LQG控制前后微隧道式加速度计的带宽变化的定性和定量分析；对控制前后的静态隧道电流进行了对比；测量了动态方波加速度信号激励下的动态隧道电流并推算了隧道间距的波动。

2 微 隧道 式加 速度 计 状 态-空 间方程的建立微隧道式加速度计 的侧视图和反镭制拈如图 1所示L7 ]。由于微加工工艺的限制 ，器件加工完毕后 ，隧道 间距无法达到 1 nm 数量级。所以，器件工作时，首先在偏转下拉电极上加载逐渐增大的下拉电压直至产生隧道效应，此时的隧道电流称为静态隧道电流，其对应的隧道间隙称为工作点或者平衡点。此时，整个器件若感受到输入加速度，则由此在质量块上产生的惯性力将使得隧道间距偏离工作点，控制系统输出的下拉控制电压将发生变化，其产生的静电力的变化量用以抵消惯性力 ，从而将 隧道 间隙恒定在工作点 附近，并且从控制下拉电压的变化可以推导得出输人加速度 的大校图 1 MTA的侧视图以及反镭制拈Fig.1 Side view of MTA and feedback control mod-ule控制拈 中的 I/V 转换拈用来测试取样隧道电压V p隧道电压V Ip和系统设定的隧道间距为 1 nm相应的参考电压 耐之间的差值通过精密放大电路(这里选用高精度放大器 OPAl28)进行放大，放大后的误差信号送人控制器通过最优控制算法计算出偏转下拉电压，控制信号静电力用来抵消加速度引起 的惯性力 ，实现将 实际隧道间隙稳定在工作点附近的目的。

通过微小量法在工作点附近对隧道效应 的指数非线性关系线性化 ，d表示在平衡点左右的微小波动量 。。，由此建立了如图 2所示的微隧道式加速度计的近似线性化结构模型框图。其中，第6期 刘益芳，等：微隧道式加速度计的最优控制K 表示从下拉偏转电压到下拉偏转静电力的增益，G 是可动敏感质量块的动态特性，Gdi 。为可动敏感质量块在隧尖处的运动位移到质量块质心位移的增益； 为可动敏感质量块的质量；d 为系统阻尼系数；∞ 是系统固有频率。n 是隧道电子1/f噪声，H 是在工作点附近的从隧道间隙变化到隧道电压变化的隧道传感增益。K 为控制器的传递函数。

Sag图 2 微隧道加速度计的线性化结构模型框图Fig.2 Block diagram of linearized model for MTA首先定性分析微隧道式加速度计控制系统的性能要求。定义系统的回路增益函数 L、灵敏度函数 S、灵敏度函数的补函数 T分别为：L- - H ·G ·K 。·K ， (1)s ， (2)丁南 . (3)为了保证隧道式加速度计具有良好的线性度从而具备-定的动态范围，需要合理设计控制器K使得在抑制或减弱噪声信号的同时保证隧道间距恒等于参考值，即需要设计控制器来实现 · -O。另-方面，从加速度信号测量的目标来说，控制器的输出控制电压 nec 要跟随加速度信号 发生变化，但也要抑制其它噪声信号。

图 2中，隧道间距和控制下拉电压的微小变化量分别为 ：娩 -丁 ·娩 f-S·G，m ·抛g- T· l， (4)h - 鬻- ·'ag ，(5)必须合理设计控制器 K 的增益来同时调节式(4)和式(5)中的各个组成部分从而最优地达到指令跟踪和噪声抑制。当K的增益很大时，系统的回路增益 L的取值也很大，这样灵敏度函数 S将接近于零，或等价地，T将接近于 1。相反地，如果控制器增益很小 K≈O，则意味着 S≈1和 T≈ 0。

要获得良好的线性度，希望隧道间距的微小变化量 z -0。此时，从式(4)可知，灵敏度 S必须很小 ，则 K 的增益必须很 大以及 T也很大，这样，式(4)的最后-项噪声 7"1 将导致较大的隧道间距变化量从而使传感性能变差。要使控制电压胡 能够跟踪加速度信号 a ，从式(5)可知，此时要求控制器增益大，即 T≈1。但是，若要有效地抑制噪声，从式(5)可知，要求 吨0，这和良好的测量性能要求相互冲突。由于直流信号的变化量 娩tg，ref≈O，所以这项的影响可以忽略。

接着，建立微隧道式加速度计控制对象的状态-空间数学模型。z表示可动敏感质量块的位移。依据牛顿第-定律，而且力、电压、时间和位移的单位分别为 nN、mV、S和 rim时，可动敏感质量块在隧尖处的位移方程为： 害 z- ×( )，(6)状态变量选为隧尖处的隧道间隙的波动量和隧尖速度，即x-Ix 。][ 乏]，输出变量 Y为隧道电压的波动量，控制变量 为下拉控制电压，过程噪声为要测量的输入加速度 a ，输出噪声为隧道电子 1/f噪声 -Ht·确，由此建立的带有噪声的微隧道式加速度计的状态-空间方程为：，(AXBGa， (7)yCX其中r 0 1 ] r o ]l -生 -l--KpGai.-p X 10 IL fHz L mzG-E0 -G 。] ；c-[H O]而且各个参量的取值如表 1所示。

表 1 各个参量的取值Tab.1 Various parameter values参量名称 参量取值m：/kgd /(N ·S·m )cJ /(rad·s- )K /(nN ·mV )/(mV ·nN )Gdi p～ 瑚&-光学 精密工程 第2l卷3 LQG最优控制器的设计及仿真微隧道式加速度计的 LQG最优控制系统L8 妇是由卡尔曼滤波器和最优状态控制器串联而成 ，由分离定理可知 ，卡尔曼滤波器和最优状态控制器可以独立设计。

若直接使用式(7)中的各个矩阵设计控制器，由于从隧道间距的变化量到隧道电压的变化量之间的增益高达 10 V/m，则会出现控制器的输出电压高于电源电压的情况，在现实中无法实现。

所以为了得到可用的控制器，需要对状态变量和控制变量进行线性变换，线性变换的依据是通过仿真得出的控制器输出在-15～15 V范围内：X -A X B G.ag Y GX Ty . ， )其中，A -77. AT；曰 - BT ；C -T-] CT ；- G. - 4O00。。 -500； -[ 主 ]： X - ；Y -≠。

J Y选择实际状态与被估计状态之间的误差协方差矩阵作为二次性能函数 ，即JhI-E(墨 - )( - ) ， (9)要让误差协方差矩阵取最小值，通过 Matlab求解卡尔曼滤波器的增益矩阵：LLQE[-2.744N10 -1.317×10。] 。

同样的，在设计状态控制器时，为了平衡实际隧尖间距和控制量，选择式(10)为二次性能函数：r。。

J- l(xfo.x )dt， (1o)J 0通过 Matlab求解得到：r-1；Q-diag(5.201×10 ，9.038×10 )。

KLQR， - [-0.072 1 -0.009 53由此理论推导得到LQG控制器的传递函数为：- - - I-A Lsc L- 者 ， ，则从参考隧道间距输入到实际隧道间距输出的传递函数为：T1(s)- K (s)×G(- - K(s)×G(- 再 丽 -再T -8丽86-X 10 3 457 10 器6 58 210 瓣5 46 N 10， (12) 5 . ×5。.× ×s .× ×s. 图3为从参考隧道间距到实际输出隧道间距的原系统和 LQG闭环系统的 Bode图，由图 3可知，未进行 LQG控制之前，微隧道式加速度计的带宽为 2×10。rad/s，加入 LQG控制之后，当动态输入信号的角频率不超过 2×10 rad/s时，输出信号的幅值与输入信号的幅值相等，体现出很强的跟随性能，此时隧道式加速度计的带宽为 3×10。rad/s，系统的带宽得到大大提高。而且，LQG控制之前，只有当输入信号的角频率小于30 rad/s时，输出信号和输人参考信号之间才没有相位差；而 LQG控制之后，输入信号的角频率在较为宽广的频率范围内(10 rad/s)，都能保证输出实际隧道间距和输人参考间距二者同相，从而使系统的输出对正弦输入信号具有良好跟踪特性 。

图3 LQG控制前后系统的 Bode图Fig.3 Bode diagram of system before and after LQGcontrols4 实验 结果4.1 静态测量MTA的测试平台如图 4所示，静态测量时，激振器(exciter)保持静止不动。由于现有实验设1566 光学 精密工程 第21卷加载方波加速度信号，其有效值为 1 V，频率为25Hz，得到隧道电压和控制电压的交流分量 △V西和△ 波形如图7所示，可知，控制输出电压可以跟踪输入加速度信号，而且，△V i。的峰峰值为16.0 mV，由此推算 出隧道间隙的变化量 为0.052 nm，满足控制要求。