基于相关和最小二乘原理的光栅栅距动态测量

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光栅传感器在精密测量、大行程精密定位、形变等测量中应用广泛，特别是在大量程纳米测控领域中应用具有量程大、适应环境能力强、成本低等独特的优势 。

光栅传感器由两块刻线光栅构成，光栅栅距是指相收稿日期：2012-06 Received Date：2012-06基金项目：辽宁侍育厅资助(200060222)项目邻两刻线之间的距离 ，也是光栅位移测量的基准，光栅位移测量值 与栅距的关系是：L删 (1)式中：d为光栅栅距 ，Ⅳ为栅距的个数。

光栅位移测量的误差源有多种，其中栅距误差是由光栅传感器生产过程中的刻划误差造成的 。

目前用于测量栅距(光栅常数)的主要方法有显微1002 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷镜法、Littrow衍射方法、椭偏法、CCD(charge-coupled de。

vice)测量法等。其中原子力显微镜(atomic force micros-copy，AFM)测量法通过针尖原子与光栅表面原子的原子作用力恒定实现光栅形貌参数测量，从而得到光栅栅距 、槽深和槽型等光栅参数，目前商用 AFM的横向分辨率能达到0.2 nm，纵向分辨率能达到 0.1 nm，扫描范围为110 m×110 txm；扫描电子显微镜法(scanning electronmicroscopy，SEM)是利用二次电子成像原理进行高倍放大，分辨力可达 10 nm，测量范围为 10 nm～100 m；Lit-trow衍射方法根据衍射理论和反射光栅的光栅方程，这种方法的缺点是只能得到平均栅距，不同的栅距需要使用相应波长的激光；椭偏法把薄膜的椭偏理论和光栅的衍射矢量理论结合起来，当光栅的周期尺寸达到亚波长范围时，光栅具有很强的偏振特性，利用椭偏测量法可以反演出光栅的基本参数，椭偏测量术测量具有原子层级的灵敏度，其较理想的研究厚度范围为 1～1 000 nm。

CCD测量法是利用 CCD采集光栅衍射图像信息，通过计算衍射 ±1级光斑与主极大光斑的能量 比得出光栅常数，该方法分辨力受 CCD像元尺寸限制[9-1o]。

目前常用的光栅传感器量程范围从几毫米 -几米，包含几十～几万条栅线，栅距测量数据量较大，需要分辨力高、量程大、在线的测量方法。上述栅距测量方法可以达到纳米级，但存在量程较孝需要离线、静态测量等不足。

本文根据光栅莫尔条纹的动态特性 ，基于相关和最小二乘法原理提出了在光栅传感器运动过程中测量栅距的新方法2 光栅栅距动态测量原理2.1 光栅莫尔条纹的静、动态数学模型图 1为光栅传感器的结构图和工作原理图，标尺光栅和指示光栅叠加产生条纹，其空间图像表达式为：，( ，Y)，n( ，Y)[1V( ，Y)COS(mx ( ，Y))](2)式中：，n为背景光强；V是光栅条纹对 比度； 为光学相位；m 2盯/d，d为光栅栅距；mx为调制载波相位。

指示光栅 指示光栅V --- vE 兰标尺光栅 标尺光栅(a)光栅传感器结构图 (b)莫尔条纹形成示意图(a)Grating sonsor structure diagram Co)Moire fringe formation diagra图 1 光栅传感器工作原理图Fig.1 Grating sensor operation principle diagram光栅传感器在测量位移过程中，标尺光栅和指示光栅在 方向上作相对运动，设运行速度为 ，则在 方向的时域数学模型为：，(vt，Y)Io(vt，Y)[1V(vt，Y)COS(mvt (vt，Y))] (3)式(3)表明条纹的强度在时域内是速度的函数，经过光电转换器输出莫尔条纹的电信号如图2所示。

- - - - 图2 莫尔条纹光强变化图Fig.2 Light intensity changing diagram of Moir6 fringe2.2 栅距动态测量原理2.2.1 莫尔条纹与栅距对应关系光栅位移精密测量是基于莫尔条纹对栅距的放大原理实现的，光栅栅距与莫尔条纹宽度之间的关系：W 卢d (4)式中：W为莫尔条纹宽度， 为放大倍数。在测量过程中，因为光栅传感器以-定的速度运行，所以存在下列关系：加 · dVd·Td (5)和 分别指移过-个栅距和-个莫尔条纹所需要的时间。V 和 分别表示光栅运行速度和莫尔条纹运行速度。光栅传感器每移过-个栅距对应着-个莫尔条纹，因此移过-个栅距的时间和-个莫尔条纹的时间是相同的，即 Tw，则由式(4)～(5)可得光栅传感器运行速度V 与莫尔条纹运行速度 ，的关系如下：V (6)2.2.2 光栅运行速度测量原理光栅传感器中有4个光电转换器分布在-个莫尔条纹之内，如图2所示，并且光电转换器的位置固定不变，因此如果测出两个光电转换器输出信号的延迟时间 .r，就可以得到莫尔条纹运行速度 I/r，进而可以得到光栅传感器运行速度 V ：： (7)丁式中：Z是两个光电转换器的距离。

在光栅运行过程中，4个光电转换器输出信号依次延时-定的时间输出，如图2所示，利用相关原理能够测量渡越时问 。 ，基本原理如下：1 Ⅳ-1(n) 1∑ (m))，(mn)- (N-1)≤n≤N-1 (8)式中：r 表示互相关函数，m表示任-时刻，Ⅳ为采样点数，即数据采集的长度，rt表示延迟量。

1誊藿 w-j壁第 5期 常 丽 等：基于相关和最tb-乘原理的光栅栅距动态测量 1003互相关函数 rx (n)峰值点所处位置 n 对应着渡越时间 ，并有：n T (9)式中： 为采样间隔时间。

为了提高抗噪声能力 ，本文提出基于四阶累积量的小波自适应算法实现时延估计。

2.2.3 栅距时间 测量原理由式(5)可知，要得到栅距d，还要测出时间 ，如图2所示，由于栅线处条纹最暗，因此栅线处的光强信号值最小， 是指条纹信号的相邻最小值之间的时间，因此确定 关键是要判断出最小值的准确位置。根据极小值判断的充分条件可知 ，某函数.厂( )在 。的-个邻域内可导且厂 ( )0，如果当 < 。 ( )恒为负，当 > 。，f ( )恒为正，那么函数在‰处取得极小值。因此对函数求-阶导数后，导数的负、正符号变化点即为最小值。光栅莫尔条纹信号近似为余弦信号，条纹信号最小值是斜率(-阶导数)负、正的变化点。本文采用最小二乘直线拟合法获得斜率。

测量出速度和时间 后根据式(5)可以得到栅距值。延时时间和栅距时间的测量分辨力与采样频率有关，本文实验数据采集系统的最高采样频率为 2 MS/s，控制光栅传感器慢速运行使其输出低频信号，这样可以提高- 个栅距 内的采样点数，进而可以提高栅距测量的分辨 力3 算法原理与实现3.1 小波自适应时延估计算法在相关原理估计时延的基础上，为了提高抗噪声能力，提出了基于四阶累积量的小波自适应时延估计算法，其原理如图3所示 ，对四阶累积量小波变换后再进行相关，由相关的最大值更新下次变换的尺度。

图3 小波 自适应时延算法的原理图Fig.3 Principle diagram of time delay calculation basedon the wavelet adaptive algorithm3.1.1 四阶累积量的延时特性设 (n)和Y(n)是采集两个相邻光电转换器的离散时间数据 ，n。(n)，n：(n)表示高斯噪声，则：(n)S(n)n1(n)Y(n)s(n- )n (n) (10)式中：r是两个光电转换器的时间延迟，时延估计问题就是根据有限长的测量结果 (n)和Y(n)估计出时间延迟 r。

自四阶累积量为：C 船 ( 1， 2， 3)ctm[ (n)， (nr1)， (n 2)，(nr3)]C ( l，r2， r3) (11)互四阶累积量为：c 眦( r1， 2，下3)cum[ ( )，Y(It 1)， (n.r2)，(n r3)] C (丁1- ，丁2，丁3) (12)由式(10)～(12)可知，自四阶累积量和互四阶累积量的延时等于 (n)和 Y(n)的延时，同时利用四阶累积量的可加性以及高斯噪声的四阶累积量为零的性质，可以将有用信号中的高斯噪声成分抑制掉 。 。

3.1.2 时延估计与小波变换的关系首先，设 s(n)的傅里叶变换 F[S(n)]Js( )，则F[s(n-r)]s( )e 令 ((cJ)e- ，则可得h(t)F。[H( )]sinc(n- )，因此有：s(n- r)s(n)sinc(n- ) (13)式(13)说明，信号的延时相当于信号经过了单位冲击响应为 sinc(n- r)的系统响应。

其次，设小波基函数为 (n)，a为尺度因子，b为平移因子，由小波变换的定义可以得到：(。，6) 1∑-s n)lfr( ) ∑s n) (-/a- a- )：s(n)× (-旦) (14) ，/a 设： 。(n) (-号)则 a，6)s(n) 。(n)， √a ”式(14)说明，小波变换相当于信号经过了单位冲击响应为q，o(n) (-旦)的系统的响应 。

√0 根据式(13)和(14)，取 (n)sinc(n- )，即对信号进行以 (n)为小波基的小波变换，其最大值对应的平移因子 b就是信号的延时时间。

3.1.3 小波 自适应延时估计原理小波 自适应延时估计原理如图 3所示，误差函数为：.，：∑[c- -c ] ，其矢量的表达式为：.，(c- 日-c- ) (C- 日-c～ )，其中Ⅳ [sinc(-P-r)，sinc(-P1～ )，，sinc(p- )] ，P为大于延迟时间的常数。

误差函数的梯度为： 2c～ (c-日- )，取01-1迭代式为：日( 1)日(j)- [差 圳 其中 为收敛因子。日的最大值对应延时时间。

1004 仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷小波变换过程中a的伸缩和b的平移相当于遍历了频率和时间，利用小波变换这-特性实现自适应。首先对输入信号计算四阶累积量去掉噪声，然后对自四阶累积量进行小波变换，并与互四阶累积量进行相关，相关的最大值与互四阶累积量的差值最小，相关的最大值与互四阶累积量的差值去调整小波变换的尺度进行下-次迭代。

3.1.4 仿真分析通过仿真分析确定算法中的四阶累积量切片的选择，并将高阶累计量相关与基本相关进行了对比。

首先进行切片的选择。高阶累积量计算是基于-维切片进行的，-维切片分对角切片与非对角切片两大类。

对于受高斯噪声污染的平稳随机信号而言，其-维高阶累积量对角切片与非对角切片是相等的。当信号为非平稳随机信号时，信号的-维高阶累积量对角切片与非对角切片-般是不相等的，抑制高斯噪声的效果也不同的，且与信号有关。因此，为了确定切片类型，对实际的莫尔条纹信号进行切片计算。切片对应的自四阶累积量和互四阶累积量的估计式为：Ⅳc-(r，r，r)(1/N)∑ (k)x (kJ)-3R (0)R (r) (15)3R (0) ( )Ⅳ (1/N)∑x(k)y3( )kl(16)式中：足 、R 示 自相关函数， 表示互相关函数。

四阶累积量的对角切片为：C- ( ，r，r)、C ( ， ，r)，非对角切片 C- (0， ， )、C (0， ， )和C-(0，0，)、c-(O，0， )，对莫尔条纹信号首先求取各切片，然后将互四阶累积量切片和自四阶累积量切片进行相关，结果如图4所示 ， 1、 和 3分别表示对角切和非对角切片的结果，其中矗1幅值最大，其对应的切片为 c～ (0，0，r)、C～ (0，0， )，因此 ，确定取该非对角切片进行四阶累积量计算。

采样点数 个图4 三种切片对比Fig.4 The comparison of three slices0.250 2O0 15> 0.10蚓馨0 050- 0.O5- 0.1O采样点数，个图5 基于四阶累积量的相关结果Fig.5 Correlation result based on the fourthorder cumulants0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9000采样点数/个图6 直接相关结果Fig.6 Direct corelation result其次分析四阶累积量抗高斯噪声能力。在信噪比为- 6 dB的条件下，对实际信号分别进行四阶累积量的相关和直接相关，结果如图5和图6所示，图5的噪声明显要小于图6的噪声，能够说明四阶累积量具有较强的抗噪声能力。

3.2 最小二乘法测量栅距时间本文采用最小二乘法识别条纹信号的最小值点。因为莫尔条纹信号是非线性的，因此利用最小二乘法分段线性拟合信号的斜率。设-组数据 。、 和Y 、Y Y的直线拟合函数形式为：P( )kxb，其中k为斜率，b为常数，使平方误差or∑[p( )-Yi] 为最小值的参数 k的表达式为： n∑xiy -∑ ∑Yi1 ；1 i1 (17)n∑ -(∑X，i) 1 i1通过判断 k的正负符号变化的位置即可确定最小值点。相邻两次最小值点之间的采样点数是已知的，同时采仪 器 仪 表 学 报 第 3 4卷表 1 测量结果Table 1 n easurement results5 结 论本文提出的通过测量延时时间和栅距周期时间获得光栅运行速度和光栅栅距的测量方法，经过实验验证是可行的。延时时间采用了基于四阶累积量的小波 自适应算法，标准差为 0.059 txs。采用了最小二乘法确定莫尔条纹信号相邻最小值来获得光栅栅距所对应的时间，标准差为0.066 Ixs。由运行速度与栅距所对应时间的乘积获得栅距 值，栅距测 量分辨力 约为 3 nm，误 差小于0.08 Lm。光栅栅距动态测量的实现可为光栅大量程高精度测量提供误差修正的数据依据，可应用在位移精密测量与控制、光栅传感器生产等领域。