基于ALLAN方差的MEMS随机误差项辨识

近年来，MEMS陀螺仪作为惯性领域-个十分重要的分支，获得了长足发展。由于具有成本低、尺寸孝重量轻、可靠性高等优点，在低成本惯性系统中获得越来越广泛的应用 。但是MEMS陀螺仪的精度普遍不是很高，因此，在使用时，需要对影响MEMS陀螺仪精度的误差项进行分析，并消除其影响。由文献 知，目前，经常使用的随机误差辨识方法有功率谱密度(PSD)、自相关函数估计、时间序列、Alan方差估计等方法。

其中，AⅡan方差由于能较多的辨识多个误差项，这种始于上世纪 6O年代的方法得到了广泛的应用。

本文给出了AⅡan方差与MEMS陀螺误差项的关系，并在直线拟合方式上有所创新，能快速计算出各个主要误差项的系数。

2 Allan方差2.1随机数据分析方法在随机数据的建模中，由于输入未知，往往首先验证是否符合白噪声特征，然后进行建模 ∩以将MEMS陀螺看成-个线性时不变系统。由于 MEMS陀螺的输出不能敏感地球的自转角速度， 因此可以将陀螺的输入认为是白噪声 。然后再对其输出进行分析。在建模中，主要有功率谱密度 (PSD) (频域分析法)和Allan方差法 (时域分析法)。

· 75PSD方法作为-种频域分析方法，适合分析周期性和非周期性的信号。其表达式为：S I e-Jwrk(r)dr (1)- ∞ 其中： 为功率谱密度函数，后(f)为傅里叶变换。

对于线性时不变系统，其 PSD分析方法可进-步简化为：输出 (cu)H(j ，) 输入 (co)H (jw) (2)其中：H为系统转移矩阵，Ⅳ 为H的转置， 出 (∞)为输出PSD， 入。( 为输入PSI)。

Allan方差为-种时域分析方法。其理论是认为线性系统的输出是由-个或者多个符合正态分布的白噪声造成的～总长度为N的待分析数据按照长度为n(nl，2-")(n

Q (T)为当前数据集的角速度均值，其表达式为：壶 (4)同时，由于角度和角速度的积分关系，allan方差也可以表软件杂志欢迎推荐投稿 ：htp：/您的文章得到院士的关注) 王建政 等：基于ALLAN方差的MEMS随机误差项辨识示为：N -2n- 2 Ok] (5)其中：N、n、k的含义同公式 (3)；表示 k个数据集的角度，其与Q ( )的关系为：( )： (6)2.2 Alan方差的含义在随机过程的分析中，Auan方差与PSD之间存在唯-的转换关系 ，其表达式为： 4 门 ， (rgt) (7)其中：S (厂)为随机过程Q( )的功率谱密度 (PSD)。

从公式 (7)可以看出：AUan方差与随机过程的总能量成正比，可以看成随机过程的总功率谱通过-个滤波器 (其传递函数形式为翌孥)的输出。由公式(7)得，可以从随机过程的速率噪声谱密度 (raten-noise PSD)计算allan方差。任何物理意义的 PSD可以被 alan方差通过积分的形式来求出。

2.3 Alan方差的表示形式Alan方差-般以对数 -对数曲线的形式表示。由公式 (7)可以看出，滤波器的带宽撒于 T，因此，不同的随机过程可以通过调节 T的大小来进行处理，也就是说，Alan方差提供了-种识别和量化各种随机误差项的手段。由于用对数的形式表示，为简便起见，-般对 n的取值为2 (j0，-)。

2。4数据集长度n的选取与 alan方差准确性的关系在实际应用当中 ，Alan方差的计算基于-组有限的数据 ，在平均时间增大的时候 ，划分的独立子集数 目减少 ，这会导致AⅡan方差估的质量降低 ，文献 2，3，6给出了误差区间的计算公式 ：( ) (8)其中 N为总数据点数 ，n为每个子集包含的数据点数。例如 ，当总数据点数 N2000时 ，如果每个子集包含n-500个点 ，则其误差区间为 40%.但 当取n10个点时，其误差区间为 5%。

3 MEMS陀螺仪主要误差项及其Al an方差对于惯性器件而言，主要的误差项有五个，其中对于陀螺仪而言，最主要的有 3个，分别为：量化噪声Q (QuantizationNoise)、角度随机游走 ARW (Angle Random Walk)、零偏不稳定性 BI(Bias Instability) 。下面就各个误差项与 alan方差的关系简要介绍-下：软件杂志欢迎推荐投稿：zazhi###188.corn ·76量化噪声是由于进行 AD转换时，对模拟信号进行编码而造成的误差，是由编码时采样值和实际值之间的微小差异以及AD转换器的位数造成的。

对于惯性输出来说，量化噪声的 PSD表达式为 2，3： LQ ( ) LQ< )其中： 为量化噪声系数；为采样间隔。

而Sn(2 )(2x]) S口(2xf) (10)将公式 (10)和 (9)代入公式 (7)，可得：( ) 3Q2 (11)由公式 (11)可以看到，Alan方差的均方根与数据集的平均时间T成正比，构成斜率为-1的直线，在T： /√j处可以求得量化噪声的值 如图 1所示 ：爰 、～ 盛 。 。

- 0 10图 1：Alan方差与量化噪声直接的关系同理，角度随机游走 ARW、零偏不稳定性 BI也可以按照类似的过程得出。限于篇幅，这里直接给出结表 1.MEMS陀螺误差项与 AⅡ石In方差误差项 与 Alan方差关系 斜率ARW Q. 1/2BI 。(f) (0.6648B) 0r图 2：Alan方差与 ARW 之间的关系图赢软件 (您的文章得到院士的关注) 王建政 等：基于ALLAN方差的MEMS随机误差项辨识图3：Allan方差与BI之间的关系图果，读者可