基于空间-光谱字典的不完备高光谱图像重构

高光谱图像 (hyperspectral image)是指光谱分辨率在 10 A数量级范围内的-组光谱图像，-般包含几十至数百个光谱波段，通过搭载在不同平台上的高光谱传感器，用从紫外到中红外区域内的、波长连续且等间隔的电磁波对目标区域进行成像，同时获取地面目标的空间信息及相应的丰富光谱信息。这些大量的空间和光谱信息使得高光谱图像在地质 、农业、植被、环境、军事、水文、大气等方面都有巨大的应用前景 。

近年来，越来越多的学者开始关注高光谱图像相关的研究，如去噪和插值 、压缩感知 和分类 等，这些研究最终可以归结为高光谱图像的稀疏表示问题 。

研究 表明，高光谱图像具有如下特性：1)在空间维，高光谱图像与普通二维图像类似，具有-定的空间相关性；2)从图像嘲中的物质组成上来看，尽管高光谱图像由收稿日期：2012-07 Received Date：2012-07$基金项目：国家自然科学基金(61071200，60772079)、河北省自然科学基金(F2010001294)资助项 目第 1期 练秋生 等：基于空间-光谱字典的不完备高光谱图像重构 113几百个波段的二维图像组成，但由于图像嘲中的物质不会发生剧烈的变化，因此每幅高光谱图像嘲中所包含的物质不多于12种” 。这些特性决定了高光谱图像可以用某个适当的字典来稀疏表示，而要获得较好的稀疏表示效果，所用字典必须兼顾到高光谱图像空间和谱间两方面的数据冗余。

给定-幅高光谱图像及与之相应的字典，若图像可以用字典进行表示，且表示系数是稀疏的，那么称此高光谱图像在该字典下是稀疏的 。目前较为常见的用来稀疏表示 高光谱 图像 的字典 有三维小波基 、端元(endmember)向量字典 、根据稀疏编码模型学习的单点光谱曲线字典 、使用贝叶斯方法学习的空间字典与端元向量相结合组成的三维字典 。但这些字典各有其不足之处，三维小波基虽然易于实现，却因过于简单而不适合高光谱图像的稀疏表示，端元向量字典和单点光谱字典忽略了高光谱图像的空间相关性，文献[10]中的字典虽然同时考虑了空间和谱间的相关性，但使用端元向量只是形成光谱曲线的-个凸包，并不能完美地表示光谱曲线的走势特点。

为了寻找更加稀疏 、更加具有实际意义的高光谱图像字典，本文提出了-种新的空间-光谱字典学习方法，该方法的学习过程兼顾了高光谱图像空间和谱间的相关性 ，避免了以上几种字典的不足。最后应用该空间-光谱字典重构经过随机均匀采样的不完备高光谱图像，取得了良好的重构效果。

2 空间-光谱字典学习高光谱图像嘲中的不同物质具有其特定的光谱反射曲线 。尽管物质反射比的大小因光照、拍摄视角、物体几何结构、物质的不均匀性、水分含量的不同而发生变化 ，但其曲线走势是固定的。如图1所示的高光谱图像，空间上的每个像素都可以提取出-条光滑的光谱曲线，且这些光谱曲线都是由-种或几种物质光谱曲线的线性叠加得到的 。因此若以高光谱图像嘲中所包含物质的光谱反射 曲线作为字典原子，则高光谱图像上所有的像素点都可以用这个字典来稀疏表示。

反射比图1 高光谱图像Fig.1 Hyperspectral image波长同时，高光谱图像在空间方向上具有同灰度图像相似的空间相关性 ，即在空间位置上相邻的像素点，其物质组成结构是相似的。因此每个光谱波段都可以看成是-幅独立的二维图像 ，若对其进行重叠分块进而学习空间字典，则这些块就可以用得到的字典来稀疏表示。

综上所述，如果对高光谱图像进行三维重叠分块，则既考虑到了图像的空间相关性，又同时应用了其谱间相关性，由此学习出的字典更符合高光谱图像的结构特点。

2.1 稀疏表示模型根据上文的分析，本文使用如下稀疏表示模型来学习高光谱图像字典。首先将高光谱图像 R № 分割为重叠的三维小立方体块 X - ，其中 R ，和n 表示空间向的像素个数，即空间向的块大校随后将每-个三维块 展开成向量形式，即 R ，那么Pn ·n ·J，令 ZX 1. . . ，贝0 Z E R 。

依据稀疏表示模型：Z DS8 (1)式中：D ∈R 为所求的空间 -光谱字典，且 D [d ，攻，，d ]， 为字典原子个数，S R 为稀疏表示的系数，8 R 为稀疏表示的噪声。显然，这里的 S S 应该是稀疏的，即任意X c Z都可以用字典D的-部分原子的线性组合来表示。

为了从样本 .. . 中学习出符合稀疏表示模型的空间-光谱字典D，需要最携如下代价函数：.，( ，D)argmin I1 Z-DS I1；s.t.V i，I1 I1 0≤k且 ≥0 (2)式中：k表示样本 在字典D下的稀疏度，即系数S 中非零元素的个数。s≥0这-约束使得字典原子符合物质光谱反射比不为负这-特点。

2.2 字典学习算法前文通过论述高光谱图像的稀疏表示模型，将空间-光谱字典的学习问题，转化为求解代价函数 ，(Js，D)最小的问题。

求解式(2)中的最携问题，目前较为常见的方法是变分法(variational method)[141，文献 [14]将变分法应用于单点光谱字典的学习，本文将文献[14]中的算法思想和求解方法进行修改 ，以适用于本文的稀疏表示模型，进而学习空间-光谱字典。

第 1步，固定字典 ，随机均匀地从 X 中选取n(n<

suit，OMP)算法 加以修改来求解式(3)，在 0MP算法中增加了系数为正的限制。在迭代过程中，-旦计算出的系数为负数，则丢弃本次迭代选中的原子，继续寻找与114 仪 器 仪 表 学 报 第3 4卷残差最匹配的原子，直到稀疏表示的残差值小于给定阈值 6或迭代次数大于最大迭代次数 k，迭代停止。在迭代终止后，按照式(4)计算稀疏表示的残差值 ：r，Xj-Dss (4)第 2步，固定稀疏系数，更新字典。残差值 表示的是样本 ，中不能被当前字典稀疏表示的值，将这部分残差值以稀疏系数为权重，附加到所选中的字典原子上，对字典进行修正，使得用修正后的字典对样本进行稀疏表示时，残差更校根据计算 出的稀疏系数 Sj和残差r ，按式(5)对字典原子进行更新 ：D-D AD(j) (5)式中： 为梯度下降因子，AD(j)r，s 。

上述两步骤交替进行，直到算法收敛，即字典原子停止改变。详细步骤如算法 1所示。

算法 1空间-光谱字典学习算法初始化： 10，tol2T，T为迭代终止的阈值d 为z中任意 个样本While tol>Tforj1：n随机均匀选取样本 X，用当前字典求稀疏系数： ，min lI Xj-D s.t。

1l Sj l 0≤ 且 Sj≥0计算残差：， xj-D计算字典修正值：ZO(j)rTend更新字典：D-D ∑AD(j)J 1DI D△D l字典原子归-化：d - /l d ，m 1，2，，tol l△D 0.9951zend[·] 表示令字典元素非负，即每次迭代后，将得到的字典原子中小于零的值置零，以保证所求原子符合物质的反射比。在每-步迭代后对字典原子进行归-化，使字典原子的 f，范数为 1。算法的迭代停止条件是算法收敛，即若相邻两次迭代的结果的均方误差小于给定的阈值 ，则迭代停止。

3 不完备高光谱图像重构使用上文获得的空间-光谱字典 D对不完备高光谱图像进行重构。字典学习过程中使用的训练图像为与测试图像空间物质组成结构相似、具有相同光谱波段数的高光谱图像。文献[14]指出，可以使用与测试图像不同时期拍摄的相同空间位置的高光谱图像，或者与测试图像同-时期拍摄的空问物质组成相似的高光谱图像作为训练图像来学习字典，同样可以获得良好的效果。

在数据采集端，使用随机均匀采样矩阵 P R 刈对测试图像 X R 进行采样，得到不完备的高光谱图像 Y R ，将采样结果 l，传输到接收端。

采样过程如式(6)所示YP. X (6)式中：. ”表示两个矩阵对应元素之间的乘积。P为0、1随机均匀采样矩阵，因此采样的过程等价于将原始图像中采样点处的像素值乘 1，未采样位置处的值置零，计算结果赋值给y。

在接收端，首先将 l，和尸以相同的方式分割为重叠的三维块)， . 和P 。

其中Y E R 为对应不同块.)， 的随机均匀采样矩阵。展开成向量形为Y R ，其中P n J，此时有 P .：lX P . (Ds )。构造矩阵Q ，使得 Ds ：P -(Ds )，则矩阵Q 为以p 为对角线元素，其余元素为0的矩阵。

然后使用 OMP算法按照式(7)逐块求解稀疏系数S ：S argmin lI Y -Q Ds s.t.1l S l0≤k (7)最后，根据稀疏系数 S 和空间光谱字典D计算重构出的高光谱图像块 Ds ，对所有块进行加权平均得到整个高光谱图像的重构结果 。

4 实验结果及讨论本文选用 Urban图像作为不完备高光谱图像重构实验中的测试图像 ，完整的数据集可以从 htp：//www.agc。

为计算方便，本文将原始的 Urban数据集裁剪为100×100×170的大小，即图像 ∈R㈣ ”。，以其作为测试图像来进行后续的仿真实验，因此有 N ：100，J170。

4.1 字典学习实验结果及讨论字典学习使用的训练图像样本为 5幅大小为 50×50×170的高光谱图像，与测试图像具有相似的空间物质组成结构。实验中取 n300，60.005，kM/5，T1×10～。

文中模型的基础是不同物质具有特定的光谱反射曲线，由这种模型学习出的字典的原子，反映的是训练图像嘲中不同物质光谱反射曲线的走势。图 2(a)、图 3(a)所示为从 3×3块、原子个数为 80的空间.光谱字典的原子中提取出的光谱曲线，与图2(b)所示的实际树木的光谱反射曲线和图 3(b)所示的实际草地的光谱反射曲线 走势在很大程度上是-致的。