粗糙齿面接触应力与油膜比厚关系

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Analysis on Relationship between Rough Tooth Surface Contact Stressand Film RatioLi Qun。 Qi Xiumei Gao Chuangkuan(1.College of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan Shanxi 030024，China；2.Hangzhou Wanxiang Polytechnic，Hangzhou Zhejiang 310023，China)Abstract：The surface roughness of a test-piece was measured by a roughness profile measuring analyzer.With the helpof the Fourier approximation a roughness function was formed based on the measured data，and a gearing mixed elasto-hydrodynamic lubrication model was established by adding the roughness function to the oil film thickness equation.Basedon this model，a series of numerical calculations were carried through by changing the lubricant viscosity when gearing pa-rameters and other lubricant parameters were fixed.Th e resuhs show that with the increase of lubricant viscosity，the aver-age oil film thickness between two teeth is increased，and the maximum principal shear stress on tooth subsurface is de-creased gradually.When the film ratio(the ratio of average oil film thickness and RMS roughness value)is less than 4.0，the maximum principal shear stress is reduced according to the parabolic law with the film ratio increasing.A quantitativerelationship between the contact stress for rough tooth surface and the film ratio was created based on the regression analy-sis of the calculated results。

Keywords：roughness；mixed elastohydrodynamic lubrication；gear transmission；film thickness齿轮传动在工业企业中占据重要地位。其中，绝大多数齿轮传动均在混合润滑状态下工作，即齿面压力由齿面粗糙峰的直接碰撞和润滑油膜共同承担。因此，在润滑状态下探讨粗糙齿面接触应力问题就成为众多学者的研究课题。然而，在研究过程中，多数学者往往假定齿面粗糙峰谷呈正 (余)弦分布 ，或十基金项目：国家自然科学基金资助项目 (50975189)。

收稿 日期 ：2013-O1-20作者简介：李群 (1987-)，男，硕士研究生，研究方向为齿轮弹流润滑 。

通讯作者：亓秀梅 (1958-)，女，教授，硕士研究生导师 。

假定齿面存在单个粗糙峰 ，或用分形函数模拟齿面粗糙峰分布 等，虽然这有助于降低计算难度，但与齿面粗糙峰谷分布的实际状况仍有较大差距。本文作者通过对实测所得表面粗糙度数据的傅立叶逼近形成粗糙度函数，然后将其叠加到油膜厚度方程中，进而建立了混合弹流润滑模型。基于此模型，进行了90组数值计算，并通过对计算结果的回归分析，建立了粗糙齿面接触应力与油膜比厚之间的定量关系。

1 齿轮传动模型的建立图1所示为齿轮传动模型。齿轮a为主动轮，齿轮b为从动轮，Ⅳ Ⅳ 为啮合线，点 P为节点，转动角分别为 ；若 R 、R 分别为两轮的基圆半径， 为分度圆压力角，则-对轮齿在啮合点 处的58 润滑与密封 第 38卷曲率半径可分别为：R Rb tampsRbRbbtana-S其中，啮合点 与节点P之距离为：S∞bRbb(t-t0)从节点运转到啮入点所需时间 为 ：t0√R -R b-Rbtanq/to Rb图1 齿轮传动啮合原理Fig 1 The principle of gear engagement2 基本方程及其边界条件2.1 Reynolds方程及边界条件设润滑剂为Ree-Eyring型非牛顿流体，则适于非稳态线接触的Reynolds 为：[( ) h 蓑t2 (p )12t(p )(·)式中：p为油膜压力；h为油膜厚度；( ) 、p 、分别为润滑剂黏度 玑 密度P沿 方向变化而定义的当量参数。

若 、 分别为计算区域始、终点坐标，则式(1)的边界条件为：tP(xi ，)0P( ，t)0 (2)( )≥02.2 油膜厚度方程假设齿面a是粗糙的，齿面b是光滑的，则该对轮齿之间的油膜厚度为：( )ho互 交 -.sa( ，t)-，I P( ，t)In( - ) ds (3) 丌凸J式中：h (t)为刚体中心膜厚；R(t)为啮合点综合曲率半径；E 为两轮齿材料的综合弹性模量；S ( ，t)为齿面a的粗糙度函数，其产生过程如下：用粗糙度轮廓测量分析仪实测试件表面粗糙度，图2为实测所得的Ra0.26 m的表面粗糙度轮廓曲线；然后，选取曲线中分布比较均匀的-段应用傅立叶变换的非线性逼近进行拟合得到如下粗糙度函数：s ( ， )-a0磊。 cos( 。 )b sin(i W。 ) (4)山 . .I. ..-.J . - I i。

图2 实测所得的试件表面粗糙度轮廓线Fig 2 Th e measured surface roughness profile傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作～所测粗糙度数据视为-组随机变化的信号，并在该信号段中选取500个离散点，由于 任意”的函数通过- 定的分解，均能表示为正弦函数的线性组合形式，故选取上述函数进行无限逼近实验。-般而言，i取值越大则越接近实际曲线，但考虑到需将粗糙度函数叠加到油膜厚度方程中进行编程运算，i若取值过大会致使方程过长不便计算。在历经多次试验后发现，i取 8时逼近效果较好，可以涵盖所取离散点的95%，且曲线的变化趋势与实测所得粗糙度轮廓曲线相近。图3示出了拟合所得粗糙度轮廓线。

0.50. O.5图3 傅立叶逼近所得的表面粗糙度轮廓线Fig 3 The roughness profile from Fourier approximation2013年第8期 李 群等：粗糙齿面接触应力与油膜比厚关系 592.3 黏度方程田 0exp(1n叼09.67)(1( /- 138，/-S )解。具体数值计算方法参见文献 [6 o5.1×10 P) · 4 算例分析(5)式中：r/。为润滑剂环境黏度 (Pa·S)；Z和 S分别为润滑剂的黏压系数和黏温系数。

2.4 密度方程p：JD。f 1 -6.5×10 ( -To)1 · 。- J(6)式中：P。为润滑剂环境密度 (kg/m )。

2.5 能量方程c(p p p彬 )- J- T 业OTf Ott Ol，)r (7)式中：c、p、T、1l，、k分别为润滑剂的比热容、密度、温度、速度和热传导系数。

2.6 热传导方程O2T誊式中：c 、C ，P 、P ，k 、k 分别为两轮齿材料的比热容、密度和热传导系数；Z 为两轮齿起始于各自表面内的坐标。

2.7 载荷方程㈠ c (9)式中： 为齿轮传动节点处的单位齿宽载荷；C 为载荷系数，其值由下式确定：c ÷(·$ -X1) sC 1 1 0

3 数值计算方法分别采用多重网格法计算齿面压力分布、多重网格积分法计算油膜厚度、逐列扫描法计算温度分布。

运用多重网格法时，采用6层等距网格划分，最底层分为30份，最高层分为960份。采用数值计算稳定性比较好的w循环，在每层网格上均进行迭代，最终在最稠密的-层网格上得到满足精度要求的数值某齿轮传动及其所用润滑剂参数如表1所示。在这些参数固定的前提下，让润滑剂黏度值在 0.01-0.18 Pa·S之间变化共进行了90组数值计算，求得了粗糙齿面的压力分布、油膜厚度分布以及轮齿接触区次表面应力分布。限于篇幅，表 2仅列出了其中20组计算结果。表中的油膜比厚 A的定义如下：A /o-hay// ； (11)式中：hay为齿面间平均油膜厚度； 为齿面粗糙度的均方根值，-般取 1.25Ra。

表 1 齿轮传动及润滑剂参数Table 1 Parameters of some gear transmission and lubricant齿数z ，z模数 /mm小轮齿宽 B /mm小轮转速n/(r·min )单位齿宽载荷 (N·m )齿轮压力角 /(。)齿轮材料弹性模量E E /GPa齿轮材料泊松比 齿轮材料比热容c c /(J·kg～·K )齿轮材料密度p /(kg·m。)齿轮材料热传导系数k kb/(W·m～·K。)润滑剂黏压系数 a/Pa润滑剂黏温系数 K润滑剂比热容 c/(J·kg～·K )润滑剂密度 /(kg·m )润滑剂热传导系数 (W·m～·K )润滑剂环境密度 /(kg·m )环境温度 /K表2 部分数值计算结果Table 2 The partial numerical calculation results- ～-扣拗伽-～--啪 啪润滑与密封 第38卷续表2由表 2可以看出，当油膜 比厚 A≤4.0时，随润滑剂黏度吼 的增大，平均油膜厚度 单调增大，而轮齿接触区次表面主剪应力最大值 持续减校图4示出了该对齿轮传动光滑齿面在节点接触时的齿面压力分布、油膜厚度及轮齿接触区次表面应力分布。图5～7分别是表面粗糙度 0.325 m时，该对齿轮传动采用3种不同的润滑剂黏度所对应的粗糙齿面在节点接触时的齿面压力分布、油膜厚度及轮齿接触区次表面应力分布。

图4 r/。0.O1 Pa·S时光滑齿面压力、膜厚 (a)及次表面应力 (b)分布Fig 4 The pressure，film thickness(a)and subsurfacestress(b)distribution for smooth teeth surfacecontact when 00.O1 Pa·S图5 叩。0.01 Pa·S时粗糙齿面压力、膜厚 (a)及次表面应力 (b)分布 ( 0.325仙m)Fig 5 The pressure，film thickness(a)and subsurfacestress(b)distribution for rough teeth surfacecontactwhen田o0.O1 Pa·S， 0.325 Ixm2L510.5溉 P： .j. I 21.5l 警0.5图6 0.05 Pa·S时粗糙齿面压力、膜厚 (a)及次表面应力 (b)分布 ( 0.325 m)Fig 6 The pressure，film thickness(a)and subsurfacestress(b)distribution for rough teeth surfacecontact when 00.05 Pa·S，17"0.325 m2013年第8期 李 群等：粗糙齿面接触应力与油膜比厚关系 61图7 。0.1 Pa·S时粗糙齿面压力、膜厚及次表面应力分布 ( 0.325 m)Fig 7 The pressure，film thickness and subsurface stressdistribution for rough teeth surface contact whenr/00.i Pa·S， 0.325 txm通过比较不难发现，随着润滑剂黏度的提高，油膜厚度逐渐增加 ，齿面压力波动呈减小趋势，且次表面应力集中现象不断减弱。

5 齿面接触应力与油膜比厚的关系图8示出了依据 90组数值计算结果绘制的轮齿接触区次表面主剪应力最大值 "/'max与油膜比厚 A之间的关系曲线。

图8 "/'max与 的关系曲线Fig 8 The relation curve between r and A由图8可知，Tmax与A呈二次抛物线关系。鉴此，选取模型 b。b 6 Bi对90组数值计算结果进行拟合，得到如下回归方程： 0.595 2-0.123 6x 0.013 5x回归方程建立后，有必要对其进行显著性检验。

对于显著水平Ot0.05，检验假设的拒绝域公式为：三(Y -Y) /(n-，孔-1) 三 --- ---------------≥F。(m，n-m-1)荟(y - ) /m将90组数值计算结果代入上式并经计算可知.厂：7.83≥ o25(2，87)3.87成立。

因此，Tmax与 A的回归方程为：Jr 0.595 2-0.123 6A0.013 5A (12)6 结论(1)基于实测所得的表面粗糙度数据探讨齿轮传动的粗糙度效应，使研究结果更具实际意义。

(2)齿面粗糙度会使齿面压力分布与油膜厚度产生明显波动，轮齿接触区次表面出现明显的应力集中现象。在其他齿轮传动参数不变的情况下，随着润滑剂黏度的增大，齿面压力与膜厚波动以及次表层应力集中现象均逐渐减弱。

(3)当油膜比厚 A≤4.0时，轮齿接触区次表面主剪应力最大值会随油膜比厚的增大按照抛物线规律减校通过对计算结果的回归分析，建立了二者之间的定量关系。