正方形可展机构的运动学与动力学特性研究

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目前，大型可展结构已成为航天科技发展的重要发展方向之-。而可展结构基本上都是将单元机构进行线、面或循环阵列组合，形成-种机构式结构4。 然而现有的可展机构种类较少，多为剪刀机构，为了增加可展机构的种类，本文提出-种新型的平面阵列可展机构-正方形可展机构∩展机构的运动学与动力学特性对可展结构的运动同步性、承载稳定性等起着决定性作用，为了保证可展结构在展开运动时不发生卡滞，展开到位时不发生大的冲击，需要对其运动学与动力学特性进行深入研究 J。本文在笛卡尔坐标系下，建立机构的几何约束方程组 J，由于每个构件至少有 2个铰接点(基本点)，故其每个时刻的位姿皆可由这些铰接点笛卡尔坐标确定，不必增加角度变量，仅以机构各构件铰接点的 、Y方向位移为未知变量，简化了约束方程的个数，同时，构件中所要研究的重要的点也可表示为基本点，方便研究。研究结果对可展开机构的结构可靠性设计和优化设计提供了数据支撑。

正方形可展机构的构型设计连杆，短十字型分层连杆、长T型连杆、短 T型分层连杆、L型分层连杆彼此间通过圆柱销连接而成。

其机构运动简图如图2所示，其中，可将中间短十字型分层连杆(基本点 37、38、39、40所连杆件)视为机架，原点定义及坐标系的建立如图2所示。由螺旋理论可得到该可展机构的自由度为 1，且为旋转自由度。故将与机架相连接的-个长T形连杆作为驱动件，绕与机架相连接的铰接点旋转运动。当该正方形可展机构完全折叠时，由于有分层连杆，使得该正方形可展机构各个构件相互叠加在-起，如图 1a)所示，即为机构完全折叠状态图。该机构的驱动杆件在电动机的作用下旋转运动，当其由折叠状态旋转180。时，该机构呈现以机架为中心分散展开如图1b)所示，即为机构完全展开图。当该结构a) 折叠状态 b) 展开状态如图1所示，该正方形可展机构是由长十字型 图1正方形平面阵列可展机构收稿日期：2012.10-28 基金项目：国家自然科学基金(5117422)资助作者简介：孙宏图(1989-)，西北工业大学硕士研究生 ，主要从事空间机构与天线展开机构设计与分析研究。

第4期 孙宏图等：正方形可展机构的运动学与动力学特性研究在运输、存储时，可将其折叠；在需要其展开工作时，可由电动机驱动展开。

4037图2 正方形可展机构运动简图由于这种基于正方形单元机构的阵列可收展机构的结构特点，可将这种机构应用到空间大型可展开天线、太阳能电池翼中，也可应用于其它各种需大面积展开收缩的领域，如工艺品及建材等方面。

2 正方形可展机构的运动学分析方法首先，利用杆长约束条件建立可展机构的约束方程组 ，即(q，t)0 (1)式中，g为机构中各基本点的位移变量，代表未知的非独立坐标(各基本点的位移 。至 ， )，相互独立的约束方程的个数m71，则 自由度为厂 -m1。

然后，对(1)式两边关于时间t求-阶导数，得(q，t) ～ (2)式中 为约束方程组的雅克比矩阵， 为约束方程组对时间t的-阶导数，由公式(1)、(2)可求得速度量 。

对(1)式关于时间 t求二阶导数，得亩- - 口暑C (3)式中 为约束方程组对时间 t的二阶导数， 为对时间 t的-阶导数，由(1)式、(2)式所得的位移量与速度量代人(3)式可求得加速度量 。

3 正方形可展机构的动力学分析方法机构的拉格朗日方程可以写成如下形式dl[O L.)- A：Q (4) dt a牙， a口l窜 ex 。

式中LT-V是拉格朗日算子， 和 分别代表系统的动能和势能。由于 口是非独立的且通过约束方程相互关联，所以等式左边引入了第3项。向量A是拉格朗Et乘子。Q 是在笛卡尔坐标系下的外力列阵。

(4)式中的动能 可以写成T÷口 (鼋)叠 (5)式中的M(g)是笛卡尔坐标系下的质量矩阵，在太空无重力环境下势能 V0。

(4)式可以写为(g) ：AQ。 己 -l (6)式中 - 面aL面OT-面aV。(6)式可以写成 AQ (7)Q包含所有的外力和与速度有关的惯性力。

利用增广法使得方程的个数与系统的广义坐标数相等，即联立(7)式、(3)式得讹 ) (8)(8)式中含有 m 个方程，牵和A中包含 几个未知数。

garte稳定化方法进行修正后得gC-2a( 口口 )-卢 (9)用g代替公式(8)中的c则公式(8)变为 警 Qg) (1o公式(10)具有了数值稳定性，其中 和/3为可选参数(本文中选 1)。

由此可求得该正方形可展机构系统中各基本点的位移、速度与加速度，从而进行动力学特性分析。

4 算例分析4.1 正方形可展机构的运动学分析正方形可展机构的运动简图如图2所示。

在图2所示的正方形可展机构中，选腮本点37、38、39、40所连杆件为机架，原点定义及坐标系的建立如图所示∩展机构中，短杆杆长 Z I25mm，长杆杆长z：300 mm，可展机构初始条件为机西 北 工 业 大 学 学 报 第3l卷构处于完全闭合状态，以基本点 l、1O、35、37所连杆件为驱动件，基本点l0的 向位移变化规律为 。 ：2-/2×fi-√ × 2×cos(2X t/T)，周期T1 000S0运用第二部分所述的研究方法得到的运动学分析结果如图3与图4所示。

g籍时间f/s1.位移 l7；2.位移 l8；3.位移 19；4.位移 20图3 正方形可展机构9号基本点( ， 。 )与10号基本点( 。 ， 加)位移 随时间t变化曲线由图3可知，9号基本点与1O号基本点 向位移随时间变化规律相同，而 y向位移随时间变化始终相差176.8 mm，即√2 ，由此结合图2可知，正方形可展机构在其展开收缩过程中短十字型杆件本身不发生旋转，只作平移运动。

1g簧量氇X 1U./ // .，：1 20/ / x：：-3.390435× los/ 2./ 3/。yx：：-3 94399 。

时间tls1.位移；2.速度；3.加速度图4 正方形可展机构顶点 的 向位移、速度、加速度随时间t变化曲线由图4可知，正方形可展机构完全收缩时最小径向尺寸为495 mil，当其完全展开时最大径向尺寸为1 202 mm，由此可得，该可展机构的收缩比为i2.43。且展开过程中，加速度很小，冲击校4.2 正方形可展机构的动力学分析本文中可展机构使用的材料为工程钢，将机构中各杆件均视为刚性构件，密度P7 850 kg/m ，坐标系、机架、驱动件、各杆杆长与初始条件均与运动学分析中所规定的-样，该可展机构杆件横截面尺寸宽 b：20 ITlm，高 h10 mm，可得到长十字杆件的质量为 m 1.865 kg，短十字杆件的质量为 m 0.810 kg，机构外层短 T型杆件-的质量为 m 0.606 kg，长 T型杆件的质量为m 1.407 kg，直角杆件质量 m 0.410 kg，短 T型杆件二质量 m ：0.625 kg，驱动力矩 T4×10 N·mm。

运用第三部分所述的研究方法得到的动力学分析结果如图5与图6。

g羹德趟u 1.A点 方向位移 2.A点 方向速度 3.A点 方向加速度图5 正方形可展机构顶点A的 向位移、速度、加速度随时间 t变化曲线下i簧 I登1.A点Y方向位移 2.A点Y方向速度 3.A点 Y方向加速度图6 正方形可展机构顶点 的Y向位移、速度、加速度随时间t变化曲线由图5与图6可知，在转矩为 T寻4×10 N·mm时，机构展开运动轨迹与运动学分析所得结果相同，误差小于 0.2%，基本点A的加速度较小，机构完全展开时冲击小，且可在 t30 S时将机构制动，使其完全展开。

5 结 论1)由正方形可展机构的运动学分析可知，正方形可展机构展开过程中，按其运动轨忌分为 2种∞.口目、 糕艘曩第 4期 孙宏图等：正方形可展机构的运动学与动力学特性研究 ·623·构件，即作旋转运动的长十字型杆件与平移运动的短十字型杆件。

2)由正方形可展机构展开过程 中基本点 A的运动分析可知，该可展机构的收展比为 i2.43。

3)由正方形可展机构动力学分析可知，机构展开过程中，构件运动平缓，冲击小，展开过程无卡滞