多齿轮耦合复杂转子系统的振动特性分析

本资料包含pdf文件1个，下载需要1积分

Vibration behavior analysis of a complex rotor system with coupled multi-gear meshingZHU Li-sha，ZHANG Yi-rain，MA Hui，HE -hui(School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 1 10004，China)Abstract： A compressor rotor system was taken for example，the effect of coupled multi-gear meshing on thedynamic characteristics of the rotor system was studied and a safety check for the overal coupled system was conducted。

Firstly，based on FEM， a general dynamic lateral-torsional-axial-swinging coupled model for helical gear meshingconsidering the effect of mesh stiffness，gear position angle，transverse pressure angle，helical angle and the rotatingdirection of the driving shaft on the gearing mesh stiffness matrix was established.Then，the critical speeds of the systemand its safety margin tables were obtained as a result of the analysis of the natural vibration characteristics of the system。

Next，the unbalance response of the system was analyzed based on MSM (the mode superposition method).Unbalancedresponse curves for every gear mesh point were compared before and after meshing.The results demonstrated that theeffect of gear couplings must be considered in a multi-gear meshing system because the vibration of the system becomes SOstrong that its critical speeds and vibration peaks must be judged with the combination between its natural vibrationcharacteristics and transient response analysis。

Key words：FEM；gear；coupled；rotor；vibration随着旋转机械向大型化、高速化、集成化和 自动化方向发展，齿轮传动转子系统的结构也越来越复杂，如压缩机转子系统、机械手减速系统等，都属于复杂的多齿轮耦合转子系统。在这类转子系统中，由于齿轮的耦合作用，其振动特性与传统的转子 -轴承有明显区别。例如，压缩机转子系统过去通常采用直联式的结构，占用空间较大，效率也比较低↑些年来，压缩机转子系统采用了新型齿轮式结构，效率也得到了提高，基金项 目：中央高校基本科研业务费项基金资助项 目(51135003，50805019队发展计划(IRT0816)日(N120303002)；国家自然科学，51105062)；长江学者和创新团收稿 日期 ：2012-03-13 修改稿收到日期：2012-06-10第-作者 朱丽莎 女，讲师，1986年，L通讯作者 张义民 男，博士，教授，博士生导师，1958年但齿轮转动系统的工作状态极为复杂，在运行过程中存在着不同程度的振动和噪声问题，因此，研究齿轮转子系统的动力学特性愈来愈受到国内外学者的重视。

对于齿轮耦合动力学模型，大部分工作关注于弯- 扭-轴耦合作用下的单对齿轮啮合系统 -5]。针对多对齿轮啮合的齿轮传动系统，国内外学者也进行了- 系列的研究 ～J。庞辉等 基于齿轮的啮合作用，联立在局部坐标系中建立的单轴的振动方程，建立了多齿轮转子系统的振动方程，同时考虑啮合刚度和啮合阻尼，不考虑齿侧间隙和啮合线位置的变化，对j平行齿轮耦合转子系统进行了固有频率 与强迫振动响应的动力学分析，表明齿轮耦合系统具有不同于单根转子的振动特性。Kahramanl7 分析了多齿轮啮合的动态特性，建立了三对斜齿轮的三维模型，该模型包括弯 -第 14期 朱丽莎等：多齿轮耦合复杂转子系统的振动特性分析 35扭 -轴 -摆共 6个 自由度，明确了在两种不同加载工况下，螺旋角、加载条件对转子系统固有特性的影响程度，但是没有考虑主动轴转动方向的影响。文献[8]基于直齿轮的时变啮合刚度，对汽车齿轮变速箱进行了动力学分析。Kubur等9 在考虑了齿轮静态传递误差的影响下，建立了多齿轮啮合的斜齿轮啮合动力学模型，该模型包含了弯 -扭 -轴三个方向共 12个 自由度，同时也考虑了轴承刚度和支撑刚度，利用特征值解和模态叠加法对齿轮 -轴 -轴承系统进行了自由振动和强迫振动分析，得到了系统某些关键参数对系统动力学的影响并进行了试验验证，但是并没有考虑陀螺力矩的影响。

本文基于有限元法，在考虑陀螺力矩的影响下，建立了通用的斜齿轮副耦合动力学模型，推导了齿轮啮合矩阵，考虑了齿轮啮合刚度，方位角，啮合角，螺旋角以及主动轴转动方向对齿轮啮合刚度矩阵的影响。然后，对弯 -扭 -轴 -摆齿轮耦合转子系统模型进行了固有特性分析，求得了系统的临界转速和安全裕度表，基于模态叠加法，对弯 -扭 -摆耦合系统进行了不平衡响应分析，对比了考虑齿轮啮合前后系统各位置处的不平衡响应的变化规律。得到了齿轮耦合前后的对比图，结果表明，在非固有频率处出现了峰值最大的情况，在进行分析时，不仅要从固有特性方面去判断，而且需要结合瞬态响应的结果判断共振位置。

1 通用的斜齿轮副耦合动力学模型为了分析齿轮传动复杂轴系的振动特性 ，本文建立了-个通用的齿轮副模型，并考虑了弯 -扭 -轴 -摆的耦合效应。如图 1所示，考虑-对齿轮 啮合(主动轮为齿轮 i，从动轮为齿轮 )，激励加载形式为不平衡激励。

齿轮质心 0的位移向量表示为：x %t yt zt Oxt Oyt 8zi i yi zi Oxi 8 9《11 t1其中： 、Y为弯曲自由度，Oz为扭转 自由度，z为轴向自由度，0 、Oy为摆动自由度，图 1所示为正方向。

将该系统中的两个斜齿轮间的啮合简化为-个刚度为 肭线性弹簧，弹簧沿着由螺旋角JB 确定的轮齿的啮合线方向，并假设压为正，拉为负。齿轮的相对位置由齿轮的方位角 (0 OL <2rr)确定，方位角定义为主动轮 的 轴逆时针旋转至中心线的夹角。 为主动轮Y轴正向与啮合平面的夹角，逆时针为正，顺时针为负。

g'o： - 主动轮逆时针 (2)L -4- -1T 主动轮顺时针式中： 啮合角，螺旋角卢定义为：： f>o主动轮左旋 (3)。 <0 主动轮右旋引入 sgn函数：sgn l- 墓齿轮 主动轮)图 1 斜齿轮副三维动力学模型Fig.1 Dynamic model of a helical gear pair(4)根据图 1所示模型，考虑陀螺力矩的影响后，建立斜齿轮副运动微分方程为：m - (t)CO sin0 m e 2 cos( t)(5a)m (t)co cosg' m ， sin(n， t)(5b)m sgnkip (t)si f0 (5c)Ii0 r (t)si sing' Jito 0y 0 (5d)y -rkop (t)si cosg' -J/o Ox 0 (5e)Ji0 sgnr (t)CO fsgnTi (5f) (t)cos/3 sing' 2cos(%t)(5g)- (t)cosl3 cosg' 2sin( )(5h)m/ -sgnkljp (t)si 0 (5i)rjkjp (t)sin/3 sing' 0 (55)- 0 (t)siq8 cosg' - 0 (5k)sgn###qp (t)CO sgn (51)式中：p (t)为齿轮副 在啮合线方向的相对位置，可以用位移向量表示为：p (t)(-3fising' x/sing' Yicosg' -5cosg' sgnr sg0 )co (sgnz -sgnzriO sing' 0 sing， -riOy cosg' -rjOyjcosO )si 8 (6)将以上方程组写成矩阵形式如下 ：M (C G ) X F (7)式中：Mo为质量矩阵，C 为比例阻尼矩阵，G 为陀螺矩阵， 为啮合刚度矩阵，F 为外力向量，表示为：M ：diag(m ，m ，m ， ， ， ， ， ，J，， ) (8)C aM 13K (9)36 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷本文利用 QR阻尼法对齿轮转子系统进行固有特性分析，阻尼形式为比例阻尼，即 阻尼和 阻尼 来表示，取值为：(10)： -2(-mrZjto a---2 (m-rlOJrl (11)O-)r2 - to r1通常情况下，取 ： ，本文取0.04。

K 7k · · (12)l-sin0 CO ，cos c0 ，sgn si ，r/simp si ，-ric0s si ，sgnrico ，sin/icos/3 ，-cosIf， co ，-sgn。si ，risin si ，-cosO si ，sgn rico ](13)F [m e 2 c0s( t)，m e sin( t)，0，0，0，sgnTi，eJ 2COS( )， (0 2sin(to )，0，0，0，sgrj； (14)G 对于小阻尼振动系统，在考虑轴承和支撑刚度的影响下，采用模态叠加法，得到任-圆盘中心复位移的不平衡响应为：Xi(t)∑H 叼 (f)r1耋 竺 ： 竺 ： ： ! c - (16 M. /式中：H 为第 r阶的模态振型 u 中的第 i个元素，外激励频率为to， 和A 为系统的相位角和频率比，具体可参见文献[11]。

2 啮合矩阵K齿轮啮合矩阵 与五个参数相关，分别为：齿轮啮合刚度k ，方位角 啮合角 螺旋角 ，以及符号函数sgn。此矩阵是-个通用的啮合矩阵，对于任意工况下的齿轮啮合均适用。其形式如图2所示，矩阵为12×12的完全对称矩阵，为了分析弯-扭 -轴 -摆任意形式下的动力学特性，可以通过改变耦合项来实现。

本文分析了系统考虑弯-扭 -摆的耦合后系统的动力学特性，不考虑轴向的振动，因此，只需将框内的值设置为0，其余项根据公式(13)填人即可。

G G I I c. G c6 毒f l G 点：q，lq.1 q， - - - I-l- - - Cf .] lc -二 --1 -广 ：-二Gq G，lc I G. - - ：lI耦蚕项：宝 G-I-l-- I-I- - G -!-l- - - G囊燕兰 -IC ，；三喜C， -.-ct.图2 考虑弯-扭 -摆耦合后的啮合刚度矩阵形式Fig.2 Mesh stifness matrix form oflateral-·torsional·axial-swing model图 3 转子 系统有 限兀模 型图Fig.3 FE model of geared system3 固有特性分析本文以大型齿轮转子系统为研究对象，基于有限元方法，建立了齿轮 -转子 -轴承系统的有限元模型，如图3所示。该模型包括-个汽轮机、-个整体式齿轮压缩机、-个整体式齿轮膨胀机，其中汽轮机通过高速联轴器联接到压缩机组中的惰轮轴，压缩机和膨胀机轴系通过低速联轴器实现联接，该系统共有 5对齿轮啮合，轮齿综合啮合刚度通过GB3480-1997确定，如表1所示，啮合角 。伪 20。。其中，轴采用梁单元形式，齿轮啮合和轴承采用matrix27矩阵单元形式，齿轮以及叶轮等采用集中质量单元形式。

由API617(The American Petroleum Institute)标准可知，隔离裕度在 ±10%范围内属于危险的临界转速，超过 10%的范围外为安全的临界转速。通过表 2看出，灰色的表示隔离裕度在 ±10%的范围内，但是通过振型的对比发现，14阶的振型并不是惰轮轴的振型，其他阶亦是如此，因此，系统是安全的。

坼 新 q 再 ≈ 厂< 厂< 丛等× l，Jl ， j ( 0 0 0 0 0 0 O 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 叶0 0 0 O 0 0 0 O O O -0 O 0 0 0 0 O 0 0 0 O 0 0 0 O 0 O 0 0 0 0 O 0 0 O O 0 0 0 0 0 0 O 0 0 O 0 0 0 O 0 0 0 O 0 0 0 0 0 0 0 0 O O ， 甜0 0 O 0 0 0 0 0 0 O -0 0 0 O 0 0 0 0 O O O 0 0 0 O 0 0 0 O 0 0 O O 0 0 O 0 0 0 0 O 0 0 第14期 朱丽莎等：多齿轮耦合复杂转子系统的振动特性分析 37阶数 临界转速 压缩机 压缩机 1＆2 压缩机 3&4 惰轮轴 膨胀机轴 1 膨胀机轴 2Hz r/min 1x/% lX/% 1x/% 1X/% 1x/% lx/%大齿轮轴压缩机 1-2级小齿轮轴膨胀机120l78883-4级小齿轮轴 8677大齿轮轴1级2级12011135890353758.1852028.6511436.156603.019392.2553758.185l16.5l1563.242联轴器处叶轮 1处叶轮2处(同相位)叶轮3处叶轮4处(同相位)联轴器处叶轮 1处叶轮2处174589.672028.6511436.156603.019392.25567890.584445.979l133.89齿轮处叶轮 1处叶轮 2处(反相位)叶轮 3处叶轮4处(反相位)齿轮处齿轮处齿轮处38 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷g里×0 8 I6 24 32转频/Hz压缩机大齿轮轴齿轮处不平衡响应曲线0 8 l6 24 32转频/Hz膨胀机大齿轮轴齿轮处不平衡响应曲线7·05.6暑言e-.4-2X羹z sl·4O0 3O 60 90 120 150 180 2l0转频/Hz压缩机1-2级齿轮处不平衡响应曲线l81411×馨 7.2蜷3.60o 4o 釉 120 l6o 20o 2 o转频/Hz膨胀$)LZ-级齿轮处不平衡响应曲线图4 不平衡响应曲线Fig.4 Unbalance response curves系统振型大部分为系统的耦合振型，因此，在大型齿轮转子系统中，通过齿轮问的啮合，系统各轴之间的耦合振动较强烈，必须以系统耦合的方式分析系统固有特性。

4 不平衡响应分析为了分析齿轮耦合对系统响应的影响程度，本文进行了不平衡响应分析，根据 API标准，施加的不平衡激励如表 3所示。

根据模态叠加法，如图所示，得到了工况-下系统各个位置的不平衡响应曲线，进行了两种情况下的对比，-种是考虑齿轮弯 -扭 -摆的耦合作用；-种是不考虑齿轮耦合作用。

通过压缩机大齿轮轴(图 4(a))和膨胀机大齿轮轴(图4(d))的结果发现，两种情况下，对应位置的幅值和临界转速都不同，比如，在考虑齿轮啮合的情况下，在 10.04 Hz和 15.88 Hz处，压缩机大齿轮轴的振动非常明显，但是不考虑齿轮啮合的情况下，压缩机大齿轮轴不会出现明显振动。产生这种情况的原因为，压缩机大齿轮参与了3对齿轮的啮合，膨胀机大齿轮参与了2对齿轮的啮合，齿轮耦合的影响非常大，因此得知，压缩机和膨胀机大齿轮轴的振动必须考虑齿轮啮合的影响，进而可以总结为，对于多对齿轮啮合的转54差.粤z100 fig 120 180 240转频/Hz压缩机3-4级齿轮处不平衡响应曲线6.04盘6 3.6X1Ⅱ豇痞2.41.20O 砷 120 180 240 3OO转频/Hz膨胀机-级齿轮处不平衡响应曲线子系统，必须考虑齿轮耦合的影响。

通过其他轴的对比后发现，考虑齿轮耦合后对响应存在着-定影响，但是影响不大。产生这种情况的原因为，其他轴只参与了-对轮齿的啮合，因此得知，对于单对齿轮啮合的转子系统，在允许的范围内，可以不用考虑齿轮耦合的影响。通过不平衡响应曲线，找到振动最大处对应的临界转速后，和第3节中的固有特性进行(表 2)分析后发现，由于齿轮耦合的影响，瞬态响应在非固有频率处，出现了峰值。系统的某些关键位置(工况-为压缩机大齿轮轴、膨胀机大齿轮轴)不可以忽略齿轮啮合的影响，其他位置基本上在固有频率处出现的峰值，可以忽略齿轮啮合的影响。因此得知，有些情况下，不能仅仅通过固有特性分析来判断系统的振动最大值，齿轮耦合作用下，系统可能会在某个非固有频率处，不平衡响应进行了积累叠加，导致出现最大振动的现象。

5 结 论本文建立了多齿轮啮合的转子系统的有限元模型，对系统的固有特性及不平衡响应进行了分析，得到了如下结论 ：(1) 考 虑 了五对 齿 轮 啮合，建 立 了斜 齿 轮弯-扭-轴-摆的全自由度耦合动力学模型，该模型O 8 6 4 2 O 置 0I×馨蜡第 14期 朱丽莎等：多齿轮耦合复杂转子系统的振动特性分析 39考虑了齿轮啮合刚度，方位角，啮合角，螺旋角，以及主动轴转动方向五个因素对啮合刚度矩阵的影响。

(2)对弯 -扭 -轴 -摆耦合齿轮系统进行了固有特性分析，考虑了陀螺力矩的影响，得到了系统的临界转速以及固有特性的安全裕度表，系统是安全的，在分析时必须考虑齿轮耦合的影响。

(3)在固有特性分析的基础上，进而对齿轮弯 -扭 -摆耦合模型进行了不平衡响应分析，考虑了齿轮耦合和不耦合两种情况，结论为：二对齿轮啮合及以上必须考虑齿轮啮合的影响，单对齿在允许的范围内可以不用考虑齿轮啮合的影响；由于齿轮耦合的影响，系统在非固有频率处出现了峰值 ，不能仅通过固有特性来判断，需结合响应的分析来判断系统振动特性。