轴向槽气体润滑轴承－转子系统非线性行为

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近年来，许多学者对油膜轴承-转子系统的稳定性进行了深入的研究L1 ]，然而对气体轴承-转子系统的研究却很少。Adiletta等E1-z]对油轴承-转子系统的研究表明，在某些系统参数下，转子系统的运动表现为次谐运动、锥形涡动、混沌运动等形式。气体轴承-转子系统本质上也是-种典型的非线性系统，因此必须运用非线性动力学理论来研究系统的行为。

Wang等[6-8]研究了有限宽气体轴承支承的刚性转子，采用短轴承模型的气体轴承支承的柔性转子，以及球形气体轴承支承的刚性转子系统的非线性动力学行为及分岔。张家忠等Lg]研究了圆柱形气体轴承-转子系统非线性动力响应的局部迭代求解方法和系统的非线性动力学行为及分岔。Yang Pan等口 研究了系统响应的周期解及其稳定性，并未对系统丰富复杂的非线性现象进行研究。以上均是针对圆柱型动压气体轴承开展的研究。对于动压气体轴承来说，当轴承的承载能力越大，系统就越不稳定。为了克服这-缺点，可在轴承的内表面沿轴向方向开轴向槽，这样具有轴向槽的动压气体轴承不但能够防止压力摄动沿轴向方向扩展，同时轴向槽能够收集灰尘和污染物以保持轴承表面的清洁。

为了减少有限差分法或有限元法迭代求解动压气体轴承非线性气膜力的计算工作量，笔者运用微分变换法求解非线性气膜力。利用轨迹图、Poincarfi映射图和功率谱，研究了有限宽三轴向槽气体轴承支承的刚性转子非线性系统的不平衡响应。数值结果揭示了周期-运动、周期二运动、周期四运动、周期八运动和混沌运动等丰富复杂的非线性行为。

1 系统运动方程图 1所示为气体轴承-对称刚性Jeffcott转子系统模型。气体动压轴承支承的对称刚性转子系统运动方程为f 童-- me eoseotme sinoJt. -fxL (]) I- - me cu。cosmt-me sinmtmg -f f emg其中：m为转子质量的-半；z和Y分别为转子中心在和Y方向的位移分量； 和 分别为非线性气膜力在z和Y的负方向上的分量；g为重力加速度； 和e，分别为转子质量偏心在oT'和Y方向的分量； 和厶 分别为不平衡力在z和Y方向的分量； 为转子的旋转速度。

图1 气体轴承-刚性Jeffcott转子模型 国家 自然科学基金资助项 目(51075327)；国家重点基础研究发展计划 (九七三”计划)资助项 目(2013CB035705)；机械传动国家重点实验室开放课题资助项目(SKLMT-KFKT-201011)；陕西侍育厅科学研究计划资助项 目(O9JK68O)收稿 日期：2011-07-10；修改稿收到 日期：2011-10-06220 振 动、测 试 与 诊 断 第33卷引入无量纲变量后，转子系统运动的无量纲方程可表示为 MY 二F j F W I”--， 其中：W 为无量纲的转子重量的-半。

2 求解气膜压力分布的微分变换法图2为气体润滑轴承的坐标系，它基于气体是等温、层流且作为-种理想气体 。。其中：Ob为轴承中心；Oi为轴颈中心； 为槽宽角；a为每块轴瓦的包角。无量纲可压缩气体润滑雷诺方程表达如下a(--3 ap) ap)-以毒c)2A ( 万)dr (3)其中： 为轴承周向的无量纲坐标； 为轴承轴向的无量纲坐标；P-P/P 为无量纲气膜压力；P。为环境压力；h-1ecos(声- )为无量纲的气膜厚度；e为偏心率； 为从 轴负方向至气膜位置的无量纲角度；0为无量纲偏位角；A- f 1。为轴承数；为气体的动力黏度；R为轴承半径；C为轴承半径间隙；r为无量纲时间。

气膜f lY、. 1. ：：- - 藿图2 气体润滑轴承坐标系令Q-P。，I- 。， ：h。，对式(3)进行微分变换可得3 Q OH oQ十，J. o2Q十，3 OH .- OQ十，L，o等2以 0P2以等oⅣ4A 3drH-p4以 0P0H (4)其中： 表示卷积运算。

Q(志)-P o P-∑P (愚-1)P (z) (5)( )H H∑ ， (忌-I)H (z) (6(是)- H H H -∑H (是-z)∑H (z-m)H ( )(7)在 和 方向上运用有限差分格式离散式(4)，并将式(5)、式(6)和式(7)代入可得3∑ ( -z)×蠢[( )×( )二2A )]壹 ×9I 川。 L 。

( )]/ (△ 。 J3壹 - )×塞[( )×2A2 )]壹 × 川 L 。 。

Q ， 1( )- 2Q，j(Z) Q -l(Z)- - - - - - - - -J二 坠 1 H ( )]2A 9 J、j。

H f1，J( - Z)- f-1，J( - Z)2A94以塞[( (忌 1)]4以 (忌 z1)] (8)其中：△ 为周向方向的步长；△ 为轴向方向的步长；忌，z，m为微分变换的阶数( ≥z≥ )； ，J为单元网格的节点编号。

作用在轴颈上的无量纲气膜力可通过对无量纲压力在气膜润滑时或积分获得。X，Y方向上的气膜分量可表示为fF -∑F (9)F ∑Fn： 1其中：F ，F 分别为第i块瓦无量纲非线性气膜力在X，Y方向的分量。

3 数值算例及结果运用直接积分法对图1所示的动压气体轴承-Jefcot刚性转子系统进行分析。转子和轴承的参数如下：转子直径为lO mm，质量为91.9 g，质量偏心-e -1.0X10-ri。轴承是三轴向槽圆柱型动压气体轴承，其宽度为8.25 mm，宽径比为0.825，轴瓦的包角为 l15。，轴承的半径间隙为5.0×10-m，气体的动力黏度为1.8×10 Pa·S。

取转子转速为分岔参数，图3给出了转子中心 ∑ ∑A 以2 2 第 2期 张永芳，等：轴向槽气体润滑轴承辞÷子系统非线性行为 221方向的位移随转速变化的分岔图。当转速较低时，转子的不平衡响应是稳定的周期运动；随着转速继续增大，系统响应表现为倍周期和混沌运动；当转速进- 步增大时，混沌运动转变为倍周期运动；继续增大转速，系统响应发生-系列倍周期分岔，倍周期运动分岔为周期四运动；周期四运动分岔为周期八运动。

图4所示为叫1 800 rad/s时转子中心的周期运动轨迹、转子中心运动轨迹y方向的时间历程及y方向的频谱。随着转速的增加，系统从周期-解分岔为周期二解。图5所示为 -2 000 rad/s时转子中心的周期二运动轨迹、转子中心运动轨迹的Poincar映射在x-y平面上的投影、转子中心运动轨迹Y方向的频谱。随着转速的继续增大，系统的不平衡响应表现为混沌运动。图6所示为cu3 700 rad/s时转子中心的混沌运动轨迹、转子中心运动轨迹的Poincar6映射在 -y平面上的投影、转子中心运动轨迹y方向的时间历程及频谱。当转速增大至 -3 770 rad/s左右时，系统发生倒分岔，从混沌解变为周期二解。图7图3 转子中心y方向的位移随转速变化的分岔图0.2OO.15(a)转子中心周期运动轨迹(a)转子中心周期二运动轨迹转子中心运动轨迹的Poincar映射在 y平面上的投影. .1 。

0 1O0 200 300 400 500I Hz(c)转子中心运动轨迹y方向的频谱图5 -2 000 rad/s时转子中心的周期二运动X(a)转子中心混沌运动轨迹(b)转子中心运动轨迹的Poincar6映射存 ，平面上的投影(奇怪吸引予1222 振 动、测 试 与 诊 断 第33卷1.0O.5O.0- 0.5- 1.01 80 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9O×10(c)转子中心运动轨翅 方向的时间历程 - - II. 。

0 500 1 500(d)转子中心运动轨翅 方向的频谱图6 3 700 rad/s时转子中心的混沌运动(b)转子中心运动轨迹的Poincar6映射在 y平面上的投影1.00.50.0- O.5- 1.02 600 2 800 3 000 3 200(C)转子中心运动轨翅 方向的时间历程Hz(d)转子co，C，运动轨迹 方向的频谱图7 3 800 rad/s时转子中心的周期二运动所示为叫3 800 rad/s时转子中心的周期二运动轨迹、转子中心运动轨迹的Poincar6映射在 -y平面上 的投影、转子中心运动轨迹Y方向的时间历程及频谱。当转速增大至 4 060 rad/s时，系统从周期二解又发生倍周期分岔为周期四解。图8所示为 -4 200 rad/s时转子中心的周期四运动轨迹以及转子中心运动轨迹的Poinca6映射在X-y平面上的投影。当转子转速达到 4 240 rad/s时，系统的响应表现为周期八运动。图9所示为∞4 280 rad/s转子中心的周期八运动轨迹以及转子中心运动轨迹的Poincar6映射在x-y平面上的投影。随着转速的继续增大，系统就不再稳定了，运动轨迹逐渐发散。

(a)转子中心周期四运动轨迹转子中心运动轨迹的Poincar6映射在 y平面上的投影图8 4 200 rad/s时转子中心的周期四运动6 5 4 3 2 O O O O O O O 第2期 张永芳，等：轴向槽气体润滑轴承.车 子系统非线性行为 223X(a)转子中心周期八运动轨迹(b)转子中心运动轨迹的PohIcar6映射在 ，平面上的投影图9 4 280 rad/s时转子中心的周期八运动4 结束语运 用 微 分 变 换 法 ，利 用 分 岔 图、轨 迹 图、Poincar6映射图和频谱图，研究了三轴向槽有限宽气体轴承支承的对称刚性Jeffcott转子系统的不平衡响应。数值结果表明，非线性气膜力对转子系统的稳定性有着重要的影响，系统响应表现为周期-、周期二、周期四和周期八运动及混沌运动等非线性行为〃立的与时间有关的非线性三轴向槽气体动压轴承模型和所采用的分析方法可用于指导气体润滑轴承-转子系统的产品的非线性动力学设计。