Stewart单三角平台的机构参数标定

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Calibration for M eehanism Parameter of Stewart Single Triangle PlatformCHAI Baoming，WANG Yuandong，JU Binfeng，GUO Xinyu，HUA Long(Colege of Mechanical and Electrical Engineering，Hebei University of Engineering，Handan Hebei 056038.China)Abstract：A method based on generalized force principle which calibrates the Stewart single triangle mechanism was proposedwith adopting the dual relation between Jacobian matrix and static influence coeficient ，and through analyzing both the installationero and manufacturing errors of each kinematic pair and the influences to the certain Jacobian matrix on account of these errors. Mo-reover，analytical formulas calibrated by parameters were directly given through theoretical derivation by using this method，then theactual static influence coeficient G was solved by combined with the least squares method，finaly the space coordinates for each hingepoint were calibrated. A powerful method is provided for improving the location accuracy of parallel mechanism platform 。

Keywords：Generalized force principle；Stewaa single triangle mechanism；Errors；Calibration精度是评价机器人性能的-项重要指标，也是 目前机器人研究领域尚未妥善解决的问题之-。提高并联机器人的精度具体有两种实现手段：-是直接提高机械零件的加工精度、安装精度和表面质量；二是采用参数标定来识别并联机构运动学模型中的关键参数。第-种方法成本巨大且缺乏可操作性；而第二种方法只需要对部分构件按照普通精度要求进行机加工，在安装结束后通过运动学模型进行更精准的描述，与第-种方法方法相比，参数标定以其低成本和高效性的特点成为工程界所普遍采用的方法，并成为研究热点。

在国内外，SOONS 提出了-种基于最小二乘法的标定算法。MASORY等 提出并研究 了 Stewart并联机器人的简化模型，研究其运动学精度问题 ，最后给出了标定的些许基瘁论。KHALIL等 在 WAM-PLER等研究的基础上，提出了仅约束机构支链而不往支链上安装附加传感器的-种标定方法。高猛 研究了分步标定法和误差建模法。

由于以上列举的方法存在-些不适合于 Stewart单三角平台并联机构精度标定的缺点，如：标定成本高，求解过程复杂等，故作者在研究多个有关机器人文献资料的基础上提出了-种新的方法--基于广义力平衡原理的精度标定。

1 误差分析与其对Jacobian矩阵的影响文献 [5]提出了Stewart单三角并联机构，其简化误差模型如图1所示。装配工艺的改善、现代机加工方法的改进，传感器在现代工业中的大量应用，都使得简化模型成为影响着整个并联机器人位姿误差的主要因素，运动学模型的每-参数都会影响机构终端的位姿。在模型中常常忽略支链移动副和支链两端铰链带来的制造误差，故误差 即它们 的安装误差 (见图2)之和，这些误差共 33个误差量。

由于 Stewart单三角平 台的 Jacobian矩阵与操作空间运动存在着某种线性映射关系，Jacobian矩阵与机构的6个支链以及末端执行器 (动平台) 的运动速度无关 ，而仅撒于该机构的6个支链以及末端执行器 (动平 台)位形 ，所 以从 整个 机构 来 分析，Jacobian矩阵误差囊括了所有的机构误差信息。

收稿日期：2012-03-22作者简介：柴保明 (1964-)，男 ，博士，教授 ，主要研究方向为机械设备故障诊断方法及并联机器人机构学理论等。

· 72· 机床与液压 第 41卷1 2图 I Stewart单三角机构图2 Stewart单三角机构支链的7项误差2 机构标定原理基于文献中影响系数与 Jacobian矩阵的对偶关系 ，故存在G (J ) (1)G b1-all1。1×biZ，b2-a2a2×b222b6-a6l6a6×b6l6(2)b b b b a a a。 a 式中：z 是该机构中第 i支支链的杆长，i1，2，3，4，5，6；b 为机构上平台铰链点的空间坐标；a 为机构下平台铰链点的空间坐标。

由公式 (2)可知，G 的参数中含有各铰链点的坐标。假设：(1)以上平 台球铰所在的平面为基准坐标面，则空间坐标口 等于0，坐标差 △0 也等于0；(2)通过测量直接标定出在机构中实际的铰链间距离 △Z，。

误差模型简化后剩余了30个机构运动参数，它们可以通过实验标定出的-阶静力影响系数G；。来求解：G gll g12 g13 g14g21 g2 g23 gug31 g32 g3 g34g41 g42 g43 gg51 g52 g53 g54g61 g62 g63 g6gg15 g16g25 g26g35 g36g45 g46g5 g56g65 g66(3)g5l口讧 -g。 - (4)b glf口b g2。l 。

b g3flf计算以上各个参数 o o b b b ，即为剩余参数的标定值。很显然：标定的关键在于标定-阶静力影响系数矩阵G 。

3 G 的标定原理根据文献 [4]中的螺旋理论，对于Stewart单三角平台机构，在其位姿固定时，欲求解其机构的螺旋方程必须考虑上平台的平衡。因为支链 6个移动副的螺旋之和与机构末端输出的广义6维力相平衡，故可以得到其相应的螺旋方程：6×S ：RM (5)式中： 为第i支杆受到的轴向力；为第 i支杆轴线的单位线矢；R为机构末端输出力的主矢量；则为机构动平台对固定坐标原点的主矩阵。

存在矩阵平衡方程：FG (6)4 标定实验及其结果分析标定实验设备如图3所示，该实验设备是由广义力加载测量仪器以及6-DOF电液伺服平台组成。

实验中，初始选取广义力加载精度为0.08级，支链单缸上安装的力传感器精度置为0.1级，把光栅尺的测量精度置为0.05 mm。整个实验系统通过编程语言的开发环境LabVIEW的测量拈作采样和记录，并调用数学软件 Matlab内多元函数拈中的最dx-乘法 拟合子程序来对动平台进行现场标定。

联立式 (2)和式 (3)可求得 30个无关方程组的解析式如下： 图3 标定加载实验设备第7期 柴保明 等：Stewart单三角平台的机构参数标定 ·73·4.1 广义力加载的选取由于实验设备传感器的某些通道在实验结果输出测量值时会存在随机误差，考虑到误差的干涉，该实验设定的标定加载矢量数目大于6。而对于不存在必然关系的标定加载矢量，它们的选柔影响静力影响系数G 。的值。故应取平台的外加载力向量矩阵为次正交矩阵，从而为机构获得更高更准的标定精度。

因为机构中各个铰链之间存在必然的静摩擦，摩擦就会干涉到铰链上单杠的受力，所以为了减小测量误差，应使铰链副光滑且应施加-定的预载荷，从而抵消最大静摩擦力的影响；另外，可以利用在实验过程中测出的两组单缸力来抵消静摩擦力。

G - O.011 2- 0.215 40.957 80.425 8- 0.336 8- 0.083 1- 0.179 6- O.114 50.985 40.556 9- 0.176 90.082 90.200 00.093 60.977 50.135 60.587 9- 0.847 2将以上数据代人式 (4)即可得到表1。

表 1 平台理论参数与标定值的误差分析0.190 3- 0.085 40.975 9- 0.133 60.596 50.082 2由于G 为单位正交矩阵，因此有g2：g2 ：g32[l g4 g2： g sig3i×g6i：0- c7 × f f× 静力影响系数G 本身参数的意义使得实际标定过程中需以式 (7)作为约束条件，之后再对多元函数用最小二乘法拟合，以得出平台实际的G 值。

4.2 实验结果预置平台的初始参数：机构上平台铰链点的可达半径 R，0.45 nl，每两个相邻铰链的夹角 0，28.5。；机构下平台铰链点 的可达半径 R 0.6 In，每两个相邻铰链的夹角 0o28.5。；两平台垂直方向上相距 H1.6 m。最终得到标定结果如下：- O.184 00.116 80.976 9- 0.995 7- 0.175 6- 0.082 4- 0.015 20.217 50.976 50.428 7- 0.395 50.082 4续表 15 结论(1)标定模型能够反映Stewart单三角并联机构运动学精度的误差源，从而可以消除某些测量误差 。

(2)通过实验标定出平台参数，实验结果证明了该标定方法可以有效地提高平台的定位精度。

(3)由于基座球铰存在同面性，故实验应尽量保证基座球铰的安装性良好，从而可以增强该方法的适用性。

(4)实验表明基于广义平衡原理 Stewart单三角平台机构的标定方法完全适合于并联机构参数的标定。这结论对同类并联机构的相关研究和工程实践具有重要意义。