基于激光跟踪仪的Delta并联机构运动学误差标定

Calibration of Delta Parallel Robot Kinematic ErrorsBased on Laser TrackerZhang Wenchang，M ei Jiangping，Liu Yi，Zhang Xin(Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)Abstract：The kinematics error model of Delta parallel robot was established first，and then the geometric erorsafecting the precision of the end-effector were analyzed and simplified to 1 8 ones.By taking a laseracker as meas-urement tool，a stepping iterative method is proposed to identify the geometric errors.Considering the non-linearmapping from the actuated variables in joint space to the pose of the end-efector in Cartesian space，the geometricerrors were iterated by using the residual errors of the distances between every tw o measuring points as optimizationindex，and then the kinematic model of the robot was modifed.The precision of the end efector is dramaticaly im-proved to the order of 0.1 mm from 1.0 mm after calibration，thus verifes the efectiveness and generality of thismethod。

Keywords：Delta robot；precision calibration；laser tracker；iterative method同串联机构相比，并联机构末端由多条支链同基座相连，具有负载能力强，速度快，重复性好等优势.然而，自由度过约束、被动铰链较多使得其精度较难保证，研究表明制造和装配引起的几何误差是造成并联机构末端位姿误差的重要原因l J，精度标定是改善并联机构几何精度的有效手段，并联机构的标定方法可以分为 自标定法[2-4]和外部标定法l5 J两类。

自标定法利用内部传感器或施压外约束获得测量信息，Chiu等L2J利用安装在静平台和动平台之间的可伸缩杆实现了对 Hexapod并联机床的标定；邵珠峰等3收稿日期：基金项目：作者简介：通讯作者：借助静平台上的标准定位圆孔，通过仪器对拉线式编码器进行标定，进而利用线尺在线测量、记录机构中的实际位姿，结合数控系统中的理论轨迹，实现了 3。

RRR并联机构的参数辨识；常鹏等l4]针对平面三自由度冗余驱动并联机床提出了基于最小线性组理论的分步自标定方法，可以屏蔽掉不影响终端精度的无关参数.自标定方法的不足在于有些机构的被动铰链安装传感器较为困难甚至不可能(如球铰链).外部标定法利用外部传感器检测末端位姿信息，并构造它们与模型计算值之间的残差，进而通过相应的逆解或2011.12-13；修回日期：2012.04-18。

张文昌 (1985- )，男，博士研究生，zjok###yahoo.tom.cn梅江平，ppm###tju.edu.cn。

天津大学学报 (自然科学与工程技术版) 第 46卷 第 3期者正解辨识模型来识别几何参数.Besnard和 Soons等[5-61分别探讨了检测末端位姿误差子集以识别几何参数的可行性 ；黄田等[7-81提出-种基于最小误差子集检测信息的精度标定方法，并通过仿真验证了方法的有效性；常鹏等L9J认为并联机构末端精度是由-组最少参数线性组合决定的，并提出 4个定理进行最少参数线性组合的辨识行分析；刘大炜等 U对-类特殊三自由度并联机构进行了精度分析，得到机构各误差源对末端精度的影响因子，并结合零部件的加工工艺确定需要标定的误差源，他们的研究为并联机构的标定奠定了理论基础.Rauf等l lJ通过使用-套包括双周倾角传感器、线性可变差动变压换能器以及旋转传感器的设备为测量手段对六 自由度的 HexaSlide机构进行了标定研究，使其精度得到了大幅度提高，但鲁棒性相对较差.Alberto等1 2J以计算机视觉为测量手段对并联机构的标定进行了研究，经济性更强，但这类方法受视觉系统测量精度的限制。

笔者以Delta并联机构为研究对象，在前人工作的基础上 ，对影响末端精度的几何误差源进行了分析和研究，建立了Delta并联机构的运动学误差模型，进而以激光跟踪仪为测量工具，提出-种步进迭代的误差参数识别方法 ，并通过实验证 明所提方法的有效性。

1 机构运动学误差模型如图 l所示，Delta并联机构由静、动平台和 3条对称分布的支链组成.各支链中，主动臂与静平台经转动铰连接，从动臂为2条等长的从动杆组成的平行四边形结构，两端分别与主动臂及动平台由球铰连接.3个主动臂在伺服电机驱动下可独立转动，进而使动平台实现三维平动。

图 1 Delta并联机构Fig.1 Delta parallel robotDelta并联机构模型如图 2所示，e和D，分别为从动臂与主动臂及从动臂与动平台连接的球铰中心连线中点，Ei 为从动臂的-条从动杆.系Oxyz为Delta机器人坐标系，原点 D位于机器人设计工作空间中心 ，控制动平台分别沿 、Y轴运动，系Oxyz的、 Y轴分别与其重合 ，z轴满足右手定则.为了便于建立机构误差模型，建立支链参考坐标系 蕾.)， z ，Xi与链中主动臂理想回转轴轴线重合，原点 为 到X 轴的交点，Y 轴在△ 1 2 3内.动平台中心点P在Oxyz下的度量记为，，表示为，. l1 U ，C E，。 十 D rDP (1)式中：r门 为B 点在系Oxyz下的位置矢量；f1 为机械手主动臂的长度 ；U 为主动臂单位方向矢量 ； 为c 0 E 的位置矢量 ；rE 为E 到 的位置矢量 ；rF。

为 到D 的位置矢量； 为D 到 的位置矢量..rD P图 2 Delta并联机构坐标系Fig.2 Delta parallel robot coordinate唐国宝等7 J针对该机构的末端精度进行了理论方面的探讨，指出影响该机构末端精度的全部几何误差源在所建立的机器人坐标系下可由 36项参数表示，其中影响末端姿态精度的参数 l2项 ，这些参数等价于从动臂支链的平行四边形结构对边是否平行，该机构中姿态误差属于不可控误差，因此需要通过合理制造装配工艺保证从动臂的平行四边形结构来抑制；影响机构末端位置精度的参数 24项，通过运动学标定可得到有效补偿.在保证从动臂平行四边形机构对边平行的基础上，可视从动臂为单杆，将Ci、D 两点之间的距离视为从动臂的有效长度，记从动臂的有效长度为 ，单位方向矢量为 ， .同时，矢量2013年3月 张文昌等：基于激光跟踪仪的Delta并联机构运动学标定rD，、r0B.为常数，式(1)可简化为， ll，/i12 W (2)式中：12iw，rc，十 q ；beroB， P。

记ai表示主动臂转轴轴线关Tyz平面的结构角； 表示主动臂转轴轴线xi关于xy平面的结构角； 表示主动臂绕Xi轴的位置角，理论上 -n/62x(i-1)/3， 0.影响该机构末端位置误差的 24项几何参数包括：3项零点误差aOo ，3项轴向互成 120。误差△ ，3项主动臂驱动轴轴线相对静平台基准面平行度误差 ，9项主动臂转轴中点位置误差△西 (即 X向误差△ ，Y向误差Abu，z向误差△ )，3项主动臂杆长误差 ，3项从动杆杆长误差 △f2 ( 1，2，3)，Delta并联机构的 24误差参数运动学逆解模型和运动学正解模型如下。

1.1 24参数运动学逆解模型通过坐标系变换得到Ui：令Hi与Y轴重合，然后将/i绕z轴转动 -兀/2，之后再绕Y 转动屈，最后再绕Xi 轴转动 。

fCOSO"i cos sinci sinfl，.sinOi]Uil sinocos -cosi sinflsin J (3)cos.sin0i /将式 (2)改写为，-bi-liHi12 (4)两端同乘各自的转置，得， ，.-267，-2f(，- ) ui -1 20 (5)将Hi带入式 (5)，并转变为三角函数式形式4 sin Bi cos c ：0 (6)式 中 ：Ai-2lI [( - )sing sinfli( -bD(-cos ·sin屈)(z-b，z)cos屈；E-21 [(x-bix)cosai(Y-bu)sinoi]；ciITr-2 r bi十l i-l 。

结合机构的装配模式，得 2 arctanfq -B1 (7)1.2 24参数运动学正解模型将闭环方程(3)两端同乘各自的转置，得， ，-2(bi ) ， - 2l1 啊0 (8)即f，. ，.-2( 1 1) ， -121 2tl 嵋0， ，-2( 2 2) ，十 -12bfb22/12 lf2：0IT，- 2(b3lt3u3) ， - bib32/l3 /3：0(9)其中，. ，Y，zl ，将式 (9)展开可解得z 去(- )X (z)m2H2ZYh2(2)：m1EllZ式中：k，2；十，z 1；82 22， 1-2(bI l1 )n2-2(hi l1u1 ) 1-2( /1l 1：)；/ 2 -2( 1/1 )·2-2(b1 lIl/1 ) l ； (qlg2-a21g1)I(al2a21ma1a22)；m2(022g1-a12g2)/(q2a21-ql )；，z1(alia23- al3a21)/(al2a2l-al1 )；n2( q3- 2az3) q2a21-qla2)；a1bl -b2 ljIlI1 -12l2 ；a12bl -62 11lI -I12 ；a13- b2：11 1 -112秘2 ；021 - 112u2 -13u3 ；a22，- l2U2 -3 ；023 - ：2u2：-1，3u ；g1c1-c2；g2：c1-c3；cf -12bTbi2/1 ，i1.2.3。

2 机构误差参数辨识2.1 误差源分析影响 Delta并联机构末端位置精度的24项几何参数是在建立的机器人坐标系下度量的，由于所涉及参数位置关系之间的相对性，它们之间存在-定的相关性，即建立 Delta机器人坐标系Oxyz时：(1)若坐标系Oxyz原点平移△ ， 1、 2、 3 3点位置矢量误差同时变化△ ；(2)若坐标系Oxyz绕 z轴旋转AO，tZl、 、∞ 3个结构角误差同时变化AO；(3)若坐标系Oxyz绕 X轴或 Y轴旋转-定角度， 1、 2、 3 3点和 、 、仍 3个结构角也同时产生联动的误差。

因此，可按照如下条件建立 Delta机器人坐标系Oxyz ：(1)坐标系Oxyz的 y平面同机构 1、 2、 3 3点所在平面平行；(2) B1点位置矢量无误差，即Abi0；(3)支链 1主动臂转轴轴线关于Z轴的结构角无误差，即△ 0。

此时，影响 Delta并联机构末端位置精度的几何误差参数可简化为 l8项，如表 l所示，、/”表示需要标定计算的误差参数，X”表示该项误差参数为0，不需要标定计算。

天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第46卷 第3期表 1 Delta并联机构几何误差源Tab.1 Delta parallel robot geometric errors误差源 支链 1 支链 2 支链 3Ao0 、/ 、/ 、/△ × 、/ 、/8 、/ 、/ 、/△ × 、/ 、/Ab × 、/ 、/△ × × ×、/ 、/ 、/、/ 、/ 、/2.2 基于步进迭代法的参数辨识运动学标定中的核心内容是根据所使用测量仪器的特点，以实测信息与理想模型输出之间的残差为构造误差辨识模型，进而识别几何误差模型，如图 3所示。

图 3 运动学标定过程Fig.3 Kinematic calibration process将前述 Delta并联机构的正解和逆解映射关系分别表示为rf(q，P)qf (，，P)(10)(11)式中：p为真实的几何参数集合 Oo bi 12 ai屈)(i1，2，3)；q为主动关节变量 (il，2，3).由于几何误差源的存在，P中各参数实际有效值同设计值之间存在-定的偏差，设PP Ap，P 表示理想模型中的几何参数集合 ， 为几何参数误差.为了辨识几何误差参数 ，本文借助激光跟踪仪为测量工具 ，提出-种步进迭代的参数求取方法.方法描述如下。

在 Delta并联机构理论工作空间中选取 个测点，各测点的主动关节变量g 可以通过机构理论模型位置逆解获得，控制机构末端运行至所选取测点处，用激光跟踪仪测量其在激光跟踪仪坐标系下的空间坐标.设任意 2个测点在机构正解模型下的位置坐标分别为 和r。在激光跟踪仪坐标系下的实际坐标为 ，和 .如图 4所示，Oxyz表示基于正解模型的坐标 系 ，为误 差 坐标 系 ，图 中用折 线 表示 ，w ywz 表示激光跟踪仪坐标系。

D图 4 2个测点在 2个坐标系下的度量Fig.4 Coordinates of 2 points under two coordinate systems定义残差 - Rj-r-rjI：l -Rj-f(q ，p)-/(留，p)I (12)i：1，2，， ；J1，2，，定义误差评价函数 ∑∑il fl(13)理论上存在某- 使得L0.但是由于不可补偿误差、测量误差等因素的影响，在实际计算时以最小为原则来计算 .步进迭代法求取卸过程如下。

步骤 1定义各误差参数初始值 [6p 6p ]和初始搜索步长step Sn]，并由式(13)求取 。

步骤 2重新确定step，方式如下：对于step的第k个参数，令 ，将 [ ]，代入式 (13)，求取L (kl，2，，，z)若 ≤L，S ≥0，则S 1.5s ；若 ≤L，S <0，贝0 S -0.5s ；若L >L，S ≥0，则S -0.5s ；若L >L，S <0，则S 1.5 。

其中 为-微小量，确定 step后 ，令 step，重新求取 。

步骤3判断step模值，即若Ist印> ，重复步骤2若Is ≤ ，循环结束，此时 即为最终结果，其中 为-微小量.不失-般性，在 求取时，定义初 始 值 △：p0 00，初 始 搜 索 步 长 step[0.01 0.010.01]，微/J、量 lxlO～。

以任意两点距离理论值和测量值之间的残差定义评价函数，通过迭代的方式计算几何误差参数，同通用方法相比，省去了牛顿.高斯法求取误差雅可比矩阵的过程，算法更为简单。

3 实 验实验所用 Delta并联机构主动臂和从动臂名义2013年 3月 张文昌等：基于激光跟踪仪的Delta并联机构运动学标定长度 350mm，，' 950mm，主动臂转轴中心位置矢量模长名义尺寸 IbiI149 mm.制造装配时已经保证了末端动平台姿态误差较小 (0.1 mm/m)，标定前首先用水平仪将机械手3个主动臂置水平，并将该位置定为机械手初始零点.标定前先用激光追踪仪检测该并联机构末端在工作空间多个点位的定位精度，测量结果为：平均体积误差 0.73 mm，最大体积误差2.52 mm。

设计标定测量点位在理想模型中坐标如表 2所示，同时用激光跟踪仪测量机构末端在各个点位时激光跟踪仪坐标系下的实际空间坐标(见图 5)，测量结果如表 3所示。

表 2 测点理论坐标Tab.2 Pointscoordinates under robot·coordinate systemn1m 测 点 ZP1 1O0 l00 50尸2 -lO0 l0O 50- 100 -1OO 50P4 1O0 -100 5O尸5 200 200 5OP6 -200 200 50P7 -200 -200 50尸8 200 -200 5OPq 300 300 5OP10 -300 300 5OP11 -300 -300 5OPl2 300 -300 50Pl3 lO0 10O 0Pl4 -1O0 100 0PI 5 -1OO -1O0 OP16 1O0 -l0O OPI 7 200 200 0P18 -200 -200 0Pl9 -200 -200 OP20 200 200 0l 300 300 OP22 -300 -300 0尸23 -300 -300 04 300 300 0P2s 1O0 10O -5OP26 -1O0 -l00 -50尸27 -1O0 -l00 -5O尸28 l00 100 -50P29 200 200 -50P3o -200 -200 -5O尸31 -200 -200 -5OP32 200 200 -50P33 300 300 -5OP34 -300 -300 -50P35 -300 -300 -50尸36 300 300 -5O表 3 激光追踪仪测量各点位空间坐标Tab.3 Points space coordinates under laser tracker-测 点 X ， Z尸1 87.323 l0.090 53.260尸1 -111.980 86.799 51.Ol5- 88.515 - l12.490 47.095尸d 110.750 -88.875 49.412P5 175.340 221.350 56.436- 222.940 174.690 51.951P1 -l76.360 -223.720 43.907P8 222.170 -176.360 48.804P9 263.480 332.590 59.778PlO -333.670 262.480 52.768P11 -263.970 -335.040 40.650Pl2 333.350 -263.550 48.194Pl3 87.906 1l1.220 3.229P14 -111.15O 87.823 0.859P15 -87.894 -l11.230 -3.146P16 l11.4l0 -87.676 -0.672PIT 175.960 222.550 6.476P18 -222.280 175.690 1.7l1P19 -175.590 -222.570 -6.347P20 222.560 -l75.12O -1.30ll 263.960 333.590 9.8582 -333.150 263.430 2.539尸23 -263.610 -333.850 -9.5754 333.770 -262.300 -1.9715 88.427 1l2.350 -46.799P26 -l10.450 88.823 -49.233P27 -87.238 -11O.12O -53.2398 111.880 -86.498 -50.700P29 l76.550 223.590 -43.457P3o -221.570 l76.600 -48.443P31 -175.030 -221.440 -56.5132 223.070 -173.950 -51.335P33 264.570 334.500 -39.978P34 -332.560 264.250 -47.657P35 -263.140 -332.670 -59.775P36 334.270 -261.O10 -52.O31图 5 激光追踪仪检测标定点空间坐标Fig.5 Measurement by laser tracker利用第 2节所述误差参数辨识方法进行误差参数辨识，辨识结果如表 4所示.利用辨识出的误差参数修正 Delta并联机构的运动学模型，利用激光跟踪· 262· 天津大学学报 (自然科学与工程技术版) 第 46卷 第 3期仪重新检测其末端的定位精度，测量结果为：平均体积误差 0.06 mm，最大体积误差 0.26 mm.对 18项几何误差进行辨识补偿后，Delta并联机构精度得到大幅度提高，证明了所提方法的有效性。

表 4 误差源参数辨识结果Tab.4 Identification results of geometry errors支链 △ ) A /(。) △屈，(。) Aba/mm Ab，y/mm /mm A/2 /mm1 0-291 0.063 0.081 0-21O2 0.077 -O.214 -0.056 2.40 -0.425 -0.119 -0.0513 -1.171 -0.004 O.123 132 2.956 -0.49l -O-2l34 结 论(1)建立了 Delta并联机构运动学模型，对影响Delta并联机构末端精度的几何误差源进行了分析，指出这些误差源可以简化为 18项。

(2)以激光追踪仪作为测量工具，设计了-种步进迭代的误差参数辨识方法 ，该方法简单高效 ，便于实施.并进行了标定实验，标定前，Delta并联机构平均误差 0.73 mm，最大误差 2.52 mm.标定补偿后Delta 并 联 机 构 精 度 大 幅 度 提 高 至 平 均 误 差0.06 mm。最大误差 0.26 mm。