电磁式谐波传动机电耦合系统对柔轮变形的影响分析

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电磁式谐波传动是-种在旋转磁场的作用下依靠鼻元件--柔轮的弹性变形进行运动和动力传递的新型传动机构 n 。它兼有电机和机械减速器的功能，具有体积孝重量轻、结构简单而紧凑、传动比大、惯量小等特点，在空间技术、常规武器、通用机械及机器人等方面有广泛的应用[2-5]。

主要传动件柔轮在传递运动的过程中产生弹性变形，变形规律、载荷分布情况复杂，实验测量困难，因此研究者很难详尽地认识它，很多问题无法得到解决。且柔轮在变形的过程中，导致磁场分布尧生变化，场中磁密随之改变。这样，两场之间相互作用、相互影响，并最终达到平衡。在这-耦合过程中，用柱壳理论分析计算复杂繁琐，边界效应难以估算，必须做许多的人为假设，计算结果只是在-定程度上的近似，且作为平面问题来研究有很大的局限性，因为以平面问题计算出的结果偏小，根据这个计算结果设计的柔轮，在实际工作中经常发生开裂现象。有关杯形柔轮的耦合问题国外文献很少见到，国内学者采用有限元法 、边界元法 口 等计算方法对柔轮的应力和应变问题做了相关的研究，但由于建模困难等原因，缺少基于仿真计算模型和采用离散化技术较全面地计算和分析柔轮变形及强度的资料文献，相关问题多采用实验分析。

本文以电磁式谐波传动中的杯形柔轮为研究对象，尽量贴近实际工况，减少人为假设，采用实际的壳体模型，分析影响柔轮强度及变形的关键问题--结构场与电磁场的机电耦合问题，找出柔轮径向位移的变化规律，为设计阶段导致柔轮失效的主要原因分析提供依据。

1 电磁-结构耦合方程在电磁式谐波传动的机电耦合模型中，半径为，.的柔轮构成了结构场域，长度为 的空气隙构成了电磁场域。柔轮在旋转磁场的作用下会发生变形，即将磁场力顺序施加于不同的相对应的两个扇区内，柔轮则会在相应的位置发生变形，导致磁场分布尧生变化，场中磁密随之改变。这样，两场之间相互作用、相互影响，并最终达到平衡。在这-耦合过程中，电磁场以电磁力作用于结构场，结构场以自身的变形反作用于电磁臣虑到结构惩电磁场的对称性，只需取如图 1所示的 I/4模型进行耦合分析即可。

收稿 日期：2012-11-28 基金项目：国家 自然科学基金资助项 目 (51075350)作者简介：任玉波 (1963-)，女，吉林长春人，博士研究生，副教授，主要研究方向为现代机械传动； 通信作者：许立忠 (1962-)男，河北昌黎人，博士，教授，博士生导师，主要研究方向为机电集成传动系统和微型机电系统，Email：xlz###ySH.edu.Grl。

212 燕山大学学报 2013图 1 耦合模型Fig.1 Coupled model1.1 结构场平衡方程在分析电磁式谐波传动时，若忽略铁磁材料的磁滞效应，将时空分离，可按恒定磁场处理。当电压逐渐施加于电磁场的边界时，整个耦合问题可以看成是静态的。柔轮受磁场力的作用将发生变形，根据弹性结构有限元理论力的平衡方程为[ )： )，其中，[P]为整体刚度矩阵； )为整个结构体的节点位移列阵；R)为电磁场作用于柔轮的电磁力向量。

1.2 电磁场平衡方程设Q为电磁场域， 为第-边界， 为第二边界，通过有限元离散化并叠加所有单元的贡献，得到等价于变分问题的-组代数方程组并且K口口 口K qbs.-bO， 叫 )dO，66i 6； ，坟；s EdQ，b，qNids，le-s2n其中，i1，2，，20；矩阵 中元素 为与单元形函数 、 以及相应单元子域 相关的系数； 为电磁场的磁位标量；下角标缘 示矩阵中对应于场域Q内的部分， 表示场域Q的边界。

1.3 电磁场-结构锄电耦合方程描述电磁场内节点位移珀勺即时分布可用类似于结构场的有限元方程 州：KQ KQ sK s S 0， I、3其中， 虚拟刚度矩阵，角标含义同上。

至此，在以上方程中，方程 (1)和 (3)之间，方程 (2)和 (3)之间构成直接的耦合关系。

运用 Newton迭代法 ” 对上述两场的耦合问题进行求解，最终的求解矩阵方程组为： - ， (4)REKaa 口K . s.-b，R KQ aK K xs ， 6其中， s、尼、 分别为结构尝电磁惩网格场中相应量的残差向量。

1.4 耦合条件与边界设 表示结构场的应力张量， 表示电磁场的麦克斯韦应力张量，，l表示 上某处的法线方向，则在交界面趾 ，电磁场与结构场之间的力平衡关系通成以表示为：O's·na-E·，l， (7)而交界面 上两场之间对应点的位移满足如下的相容条件s：6 6E。

显然，在交界面趾 ，结构场与网格场的对应点之问还应存在连续性条件：x6 。 (9)2 交界面上力和位移的传递2.1 位移的传递假设交界面 属于电磁场的-侧用 表示，属箜 塑 堡至 笠 皇 塑 堡 皇 全墨 型鲞笙銮 坌塑于结构场的-侧用 表示。当结构场与电磁场的网格划分在交界面趾 的节点不对应时，-般需要节 M(P)，jESE， ∈ ，塞 妻 于 毗力的传递公式为 将电磁场边界.上的节点 映射到结构场边界 上 。-～得到点 ，则结合式 (8)和结构场的单元形函数。

， 可得电磁场中该节点的位移为2136E.6 6 6s ∑is Nl s。

u 3式中，尼∈ ，iE ，is为结构场单元域内的单元节点数。

将边界 上的n个节点映射到 上时，根据式(8)～0o)，可以得到网络场在边界趾 的位移为xsT ， (11)其中， 是由形函数组成的矩阵： 。) ( ) J7vl( )Ⅳ2(尸 )Ⅳ2(P2) Ⅳ2C )i !。) (P2) )(14)(15)耦合问题的迭代过程对耦合方程组进行迭代的过程可以归纳为以下几个步骤：1)在交界面趾 初始化 。) ；2)将结构场的位移转换到网格场： ： ，求解式 (6)后得船，使用 和 对网格场的构型进行更新；3)由式 (5)求解电磁场内的磁位 ；4)将磁场力转换到结构场：砖 雕 ；5)求解式 (4)，得到结构场的位移 ，施加- 个松弛因子ON得2.2 力的传递 用 和 分别表示电磁场边界 和 结构场边 敛界上所允许的虚位移，则根据式 (10)可得在边界面 上的 个节点的电磁力所做的虚功为圭 量 I墨 ㈣ 1兰I壹 M(助 ，02) ∑ ∑ ∑ J∑l∑ ，l j l i1 ， i1 11 ，其中， ∈ ，f∈ ， 为电磁场边界&上，某点，的磁场力。

在结构场边界面 上，体力所做的虚功可由下式给出amsXfs， ， (13)其中， 为结构场边界 上，某点i的磁场力。

根据能量守恒定律，结构场与电磁场在任何时间内通过交界面sN发生的能量交换总量为零，即在交界面趾 的能量收支平衡：OW6 ，故由式(12)和 (13)可得(1- ) ；6)设指定的收敛误差为 ，则利用下式检验收l ， ， )I l! l尺 ， ， 砷)I1。

4 有限元仿真4.1 耦合分析过程本文根据电磁式谐波传动的物理模型，按照图l所示的结构进行机电耦合的有限元分析。设柔轮半径为，，壁厚为，，气隙长度为 ，磁场力作用于长度为，的柔轮模型上。采用gMKSV单位制对该问题分析的详细步骤如下： 、1)建立结构场的有限元分析模型。在ANSYS中建立 1/4几何模型。

2)设置材料属性为：弹性模量庐6.8x10 MPa，泊松比 ：O.3。

3)结构钞分网格。选用 20节点的等参数六面体结构实体单元 SOLID95，该单元能够很好地第 3期 任玉波 等 电磁式谐波传动机电耦合系统对柔轮变形的影响分析 215上，位移wj迫近于 0。 别明显。

5 柔轮关键结构参数对柔轮径向变形的影响分析为进行柔轮几何参数的优化设计，应首先了解柔轮各个几何参数对柔轮工作性能的影响。根据柔轮结构特点和参数取值范围，本文选择了对柔轮工作性能最有影响的几个参数进行分析，这些参数主要包括半径 ，气隙长度趿 壁厚t。

5.1 半径r对柔轮径向变形的影响柔轮半径是电磁式谐波传动机构最为关键的结构参数，它决定了机构的整体尺寸，对柔轮的径向变形影响也较为明显。本文确定样机半径的分析范围是 46.5-48.5 mm。分析结果的拟合曲线如图6所示。由图6可见，径向位移W随半径r的增大而增大。

：O m图6 W随柔轮半径r的变化Fig.6 Variation of w with the change of flexible gear r5.2 气隙长度 对柔轮径向变形的影响本文样机确定气隙长度 的分析范围是 0.5-1mln。单独改变气隙长度，分析结果的拟合曲线如图 7所示。由图 7可见，径向位移w随气隙长度的增大而减小，而气隙长度每增大 0.2-0.3 mm，径向变形呈迅速衰减趋势。

53 柔轮壁厚t对柔轮径向变形的影响确定样机柔轮壁厚f的分析范围是 0.5-1 nalTl。

单独改变柔轮壁厚，分析结果的拟合曲线如图 8所示。由图 8可见，随着柔轮壁厚的增加，柔轮的径向变形呈减小趋势，并且厚度每增加 0.2-0.3 mm，变形急剧减小，可以看出柔轮壁厚对变形的影响特图 7 W随气隙长度 的变化Fig.7 Variation ofw with the change oflength图 8 W随柔轮壁厚t的变化Fig.8 Variation of电磁式谐波传动中，柔轮的径向位移越大，系统的输出扭矩就越大，因此，综上所述，为了产生较大的磁场力以使柔轮发生较大的径向变形，可以考虑适当增大柔轮的半径，减小柔轮的壁厚及气隙长度。

6 结论1)通过分析结构惩电磁场各自的平衡方程，建立了耦合平衡方程，该方程可以清晰地阐述大多数结构惩电磁场的耦合关系。

2)分析两个物理场之间的节点映射关系，得到了转换矩阵 ，并在两场之问进行力和位移的传递。

3)重点研究了柔轮径向位移的变化规律，以及系统参数对径向位移的影响。研究结果为分析系统的承载能力奠定了基矗216 燕山大学学报 2013