偏心-高阶椭圆锥齿轮副的强度计算方法

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Strength Calculation M ethod of Eccentric-high OrderElliptical Bevel Gear PairL1N Chao NIE Ling LI Shasha ZHANG Lei(The State Key Laboratory ofMechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400030)Abstract：Combined with diferential geometry and spatial gear meshing theories，the spatial pitch curves of eccentric-hilgh ordereliptical bevel gear pair ale flatened onto a plane in conditon ofequal radius ofcurvature and the calculation formulas ofequivalentpitchcurvesarederived，thepressangleinthetransmissionprocessis acquired.Theforceanalysis oftoothisperform edan damethodtocalculate the strength of eccentric-high order elliptical bevel gear pair is established，then the variation regulation of contact and ben dingstresses that change with rotation an gle of driving gear is acquired.The position of the weakest tooth in the meshing process isdetermined and the efect of structure parameters on tooth strength is analyzed，including driving gearS eccentricity ratio，module，number ofdriving gear teeth and order ofdriven gear.The finite element analysis model ofeccentric-high order eliptical bevel gear isestablished and the solid model is manufactured with five-axis numerical controled machine，then the experimental transmissionplatform is constructed，SO the strength calculation method is verifed through finite element analysis and transmission experiment。

Key words：Non-circular bevel gear Elliptical bevel gear Contact stress Bending stress Tooth strength0 前言偏心.高阶椭圆锥齿轮副是-种典型的非圆锥齿轮传动形式，给定匀速的输入转速，能够方便的再现预定的相交轴间非匀速比输出运动。其主动轮节曲线为偏心空间椭圆曲线，从动轮节曲线为高阶(阶数大于或等于2)空间椭圆曲线。与-般形式的非圆锥齿轮副相比较，偏心-高阶椭圆锥齿轮副能够实·国家自然科学基金资助项(51275537)。20120712收到初稿，20130110收到修改稿现较大范围内的变传动比传动，具有较广阔的应用前景。

非圆锥齿轮是近几年来刚刚进入研究领域的- 种新型齿轮传动形式，现主要应用于越野汽车差速器23、高速插秧机宽窄行分插机构 及变量泵[ 等装备中。目前对该新型齿轮副的研究主要是在传动原理及特性、齿形设计及加工制造分析等方面[6 ]，而对其轮齿承载能力的研究则相对较少。相关研究成果主要包括国外 ⅪM 等 UJ所给出的汽车用锥齿轮的疲劳寿命评估方案及 SENTOKU 等lJ给出的关于汽车差速器锥齿轮传动过程中的载荷分2013年3月 林 超等：偏心.高阶椭圆锥齿轮副的强度计算方法 49到齿轮副节曲线的平面展开公式为 地 c。s： sin al ( ～cos.2)d c。s 屑 。

：-R sin式中，屈为节曲线在啮合点的切线正方向与向径之间的夹角。

为求出当量节曲线的向径方向，需要先计算出平面展开曲线的中心点。当偏心椭圆锥齿轮的主动轮转角为 0。和 180。时，节曲线的法线方向必经过展开曲线的中心点。根据式(5)，计算出偏心椭圆锥齿轮在两点的 值及坐标值 、Yl，联立两点的法线方程，可得到平面展开曲线的中心点坐标，进而可以计算当量节曲线在啮合点的切线正方向与向径之间的夹角届。以偏心.2阶椭圆锥齿轮副为例，当/t-03和 /t-0.5时，分别计算出传动过程中压力角如r5) 图4所示。

式中 ， --平面展开曲线的切矢量与水平轴间的夹角1，Yl--主动轮节曲线展开后的坐标耽，)，广 从动轮节曲线展开后的坐标将偏心 高阶椭圆锥齿轮副的球面节曲线进行平面展开，得到齿轮副的当量节曲线。以偏心.2阶椭圆锥齿轮副为例，选取齿轮参数为m-2/lrn，z19，k0-3，计算出节曲线的球面半径 R37.39 ITln，根据式(5)得到平面展开的当量节曲线如图3所示。

吕景避薹图 3 偏心-2阶椭圆锥齿轮副当量节曲线2.2 压力角的计算偏心-高阶椭圆锥齿轮副的当量节曲线将齿轮副的空间啮合问题转换成了平面啮合问题。依据平面啮合原理，可以在当量节曲线的基础上近似模拟传动过程中的压力角。偏心.高阶椭圆锥齿轮副的压力角与传统锥齿轮不同，它不再是刀具齿廓的齿形角(-般ao20。)，而是与啮合时节曲线的接触情况有关。当主动轮转向不同时，轮齿齿廓两侧的压力角不同，但齿廓左右两侧压力角 的计算公式可以统-为12届 。-兀/2 (6)腰崮主动轮转角 1 。)图4 齿轮副传动压力角由图 4可知，传动过程中压力角值在 20。处上下波动，且当节曲线的法线方向通过当量节曲线的中心点时，压力角等于 20。。齿廓左侧压力角和右侧压力角曲线关于 ，20。这条直线对称，压力角随着偏心率的增大而变化更加剧烈，且压力角的最大值所对应的主动轮转角会关于Ol180。相应左移和右移。

3 齿轮强度计算及分析3.1 轮齿强度计算齿廓形状是影响齿轮承载能力的重要因素，偏心-高阶椭圆锥齿轮副的齿廓形状主要由其节曲线的曲线半径决定。因此，从强度的角度，可以把偏心。

高阶椭圆锥齿轮齿轮副的瞬时啮合状况等价为-对模数、锥角与原齿轮副相等，大端分度圆半径分别等于原齿轮副主、从动轮节曲线曲率半径的圆锥齿轮的啮合。定义这对圆锥齿轮为其瞬时当量齿轮副，瞬时当量齿轮副与原齿轮副拥有相似的齿廓，再将瞬时当量齿轮副按照背锥的方式展开，通过计算圆柱齿轮的应力来近似模拟偏心.高阶椭圆锥齿轮副的2013年3月 林 超等：偏心.高阶椭圆锥齿轮副的强度计算方法 51表1 结构参数表依照表 1所选择参数，利用式(8)、式(9)在数学软件 Matlab中可以计算出轮齿接触应力及弯曲应力随着 变化的规律如图7所示。

主动轮转角 1，( ) 主动轮转角 1/(o)(a)主动轮偏心率埘 轮齿强度的影响0 90 180 270 36400 600600 0- - ，n ∞ rL j- --j- -j--Jo钾 o- 。[ ，-6。。 // 4-。咕- - 广主动轮转角 l/(o) 主动轮转角 1/(0)(d)从动轮阶数月对轮齿强度的影响图 7 齿轮副结构参数对轮齿强度的影响由图 7可知，接触应力和弯曲应力曲线为连续变化的近似正、余弦曲线∮触应力在主动轮转角靠近 180。时(即靠近最汹锥角处)取得最大值；弯曲应力曲线关于 180。对称，这是由偏心椭圆锥齿轮的结构对称性所决定的。弯曲应力在初始位置(即最大节锥角处)取得最大值，而在Ol180。时最校由图 7a可知，随着 k的增大，接触应力的变化幅度增大，其最大值增大，最小值反而减小，这使得接触应力在不同的主动轮转角位置时相差较大；弯曲应力则随着 k的增大，最大值增大，最小值几乎保持不变。由此可以判断出，k的增大会降低轮齿强度，在实际工程应用中，为了避免部分轮齿提前失效，在设计过程中应该 限制主动轮偏心率的大校由图7b可知，接触应力和弯曲应力均随着 的增大而减小，且m的变化对弯曲应力影响相对较大。

这是由两方面原因造成的：① 增大 m导致了节曲线球面半径 的增大，从而减小了作用于齿廓上法向载荷和切向载荷；② 增大m会增大轮齿的抗弯曲疲劳强度。因此，增大模数有助于提高轮齿强度。

由图7c可知，接触应力和弯曲应力都与z成反比关系，即随着 z的增大，接触应力和弯曲应力均会减小，且不同的z所对应的接触应力曲线和弯曲应力曲线近乎为等距曲线。因为由式(3)可知，增大 z会导致 R的增大，在承受相同负载力矩的情况下，作用于齿廓上的载荷会减校因此，为提高轮齿强度，可以增加偏心椭圆锥齿轮的齿数。

由图 7d可知，接触应力和弯曲应力均随着 n的增大而减校且随着n的增大，弯曲应力值随着Ol的变化更加趋于平缓，可见当 n到达-定值以后，弯曲应力会接近于某-个恒定值。由此可知，增大高阶椭圆锥齿轮阶数也有助于提高轮齿的强度。

综合以上分析，由于最大接触应力和最大弯曲应力不发生在同-位置，故在实际工程应用中应当根据轮齿最主要的失效形式来判断最薄弱轮齿的位置，然后可以对最薄弱轮齿进行特殊工艺处理，以满足实际工程需要。同时齿轮副参数选择过程中应避免选取过大的主动轮偏心率，且为提高齿轮副的疲劳寿命，在满足齿轮箱体积、加工制造以及安装条件的情况下，可适当提高齿轮副的模数、主动轮齿数及从动轮的阶数。

4 对比分析4.1 有限元分析由接触力学可知，接触应力在接触区域高度集中，弯曲应力在齿根部位相对集中，而远离所关心区域的几何形状与边界条件对轮齿应力影响很小，可以忽略不计。轮齿啮合过程中，最大接触应力发生在单齿啮合区最低点，单齿啮合区最低点的接触应力又与节点啮合时的接触应力极为近似，故采用单对齿节点啮合模型进行接触应力有限元分析；而最大弯曲应力发生单齿啮合区上界点，但通常按载荷全部作用于齿顶来计算齿根弯曲应力，且-侧齿根受拉，另-侧齿根受压，因此采用三齿模型进行弯曲应力有限元分析，并将载荷全部作用于齿顶。

以偏心.2阶椭圆锥齿轮副为例，选定结构参数日 《ID R翅接 乏 趟要 Bd R逍《糍 ∞ ～ v R逍藿郄机 械 工 程 学 报 第49卷第5期University ofTechnology，2007。

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作者简介：林超，男，1958年出生，博士，教授，博士研究生导师。主要研究方向为机械设计计算机辅助工程，齿轮传动系统的设计、分析与制造，新型齿轮传动。

E-mail：linchao###equ.edu.cn聂玲(通信作者)，男，1989年出生。主要研究方向为非圆锥齿轮强度计算。