行星滚柱丝杠副运转过程动态特性分析

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Dynamic characteristic analysis of a planetary roller screw in operating processMA Shangjun，LIU ，ZHOU Jian-xing，TONG Rui-ting(School of Mechanical Engineering，Northwestern Polytechnical University，Xian 710072，China)Abstract： By taking a typical planetary roler screw as a study object，a finite element model for dynamic contact ofthe planetary roller screw was established. Based on the explicit dynamic finite element method，a dynamic contactanalysis of the planetary roller screw was made，a fully integration element algorithm was adopted to control hourglass，thecomputing speed was improved by adjusting the element density and using a mixed time integration algorithm.It wasconcluded that the axial displacement and speed between the screw and the roler raise with increase in the rotational speedof the roller；the dynamic yon Mises stresses of the contact elements on the thread teeth are basically the same at differentrotational speeds of the roller；the phenomenon of loading uneven distribution exists on the whole planetary roller screwthread teeth at the same roller rotating speed；besides，the dynamic yon Mises stress fluctuation of the first thread tooth isbigger than others，and the dynamic yon Mises stresses of the contact elements on the screw side are bigger than those onthe nut side。

Key words：planetary roller screw；thread driving；dynamic characteristic；explicit dynamics行星滚柱丝杠与滚珠丝杠类似，是-种可将旋转运动和直线运动相互转化的机械装置，具有承载能力强、精度高、频响快、高速运行时振动噪音小等特点，逐步成为航空、航天、武器装备等军事领域和石油化工、食品包装、过程控制等民用领域机械设备直线伺服系统的主要执行机构。

目前，国外对滚柱丝杠已有大量研究 。Steven分析了行星滚柱丝杠副在纯滚动和滑动条件下的效率、运动学特性；文献 [6]对采用行星滚柱丝杠副的机电作动器进行了动态测试。国内70年代才开始研制滚珠丝杠，对行星滚柱丝杠副的研究较少※谦忠等 9对滚柱丝杠副的静刚度、运动特性、摩擦机理进基金项目：国家自然科学基金 (50975232，51275423)收稿日期 ：2012-O1-O5 修改稿收到日期：2012-03-02第-作者 马尚君 男，博士生，1981年 11月生行了研究；赵英等 。。对滚柱丝杠副进行了啮合分析，提出机构参数选择依据；陈芳 研究了两级行星滚柱丝杠传动设计与精确度，为进-步提高行星滚柱丝杠精确度提供了理论依据；杨家军等 基于赫兹弹性接触理论 ，分析了行星滚柱丝杠的载荷分布规律，并建立了新的静刚度数学模型。但 由于行星滚柱丝杠结构复杂，上述文献多局限于运动学和静力学方面，对行星滚柱丝杠副运转过程的相关动力学研究较少涉及。

本文以行星滚柱丝杠副为研究对象，综合考虑丝杠、滚柱和螺母的相对运动关系及滚柱转速影响，建立行星滚柱丝杠副有限元模型，采用显式动力学有限元算法进行动态特性分析，求解丝杠副在不同滚柱转速下的位移、速度、动态响应及螺纹牙接触单元的动态应力响应。

168 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷1 行星滚柱丝杠副有限元模型1.1 行星滚柱丝杠副结构形式常见的行星滚柱丝杠副主要有两种，-种为标准行星滚柱丝杠，-种为反向式行星滚柱丝杠。本文以前者为研究对象，即丝杠为主动件，丝杠的旋转运动通过滚柱自转与公转将动力传递给螺母，转换成螺母的直线运动。

标准行星滚柱丝杠副结构组成如图 1所示，丝杠A、螺母 B为多头螺纹，牙型均为90。三角形；C是滚柱，单线螺纹，球形轮廓。为消除丝杠螺旋升角对滚柱产生的倾斜力矩，在滚柱两端加工有直齿D，与内齿圈EA-丝杠 B-螺母 C-滚柱 D-滚柱直齿轮 E-内齿圈 F-行星架 G-弹簧挡圈图1 行星滚柱丝杠副基本结构Fig.1 The basic structure of planetary roler screw表 1 行星滚柱丝杠参数Tab.1 The parameter of planetary roller screw名称 参考值丝杠中径(右旋)ds/mm螺纹头数 n螺距p/mm螺旋升角A/(。)牙型角 /(。)滚柱中径(右旋)d /mm螺母中径(右旋) /mm滚柱公转直径 dM/mm中心距 a/mm表 2 齿轮副参数Tab.2 The parameter of gear pair名称 参考值模数 m/mm外齿轮齿数 z内齿轮齿数压力角 (。)齿顶高系数顶隙系数c /mm中心距 al/mm啮合，以确保滚柱轴线平行于丝杠轴线而正常滚动；F为滚柱保持架，使滚柱沿圆周均匀分布；G为弹簧挡圈，用于防止保持架轴向窜动。表 1、表2分别为螺纹和齿轮参数。

1.2 丝杠副相对运动关 系根据行星滚柱丝杠副工作原理，丝杠 、滚柱和螺母存在相对运动关系 为：tos/to 2(dsdR)/ds (1)式中： ， 分别为丝杠角速度和滚柱公转角速度，d ，d 分别为丝杠和滚柱中径。螺母相对滚柱的角速度 to ，滚柱自转角速度to 与 的关系为：Rtosn(n-2)/2(甩-1) (2)式中：n为螺纹头数。由式(1)、式(2)可得 ∞ 与的关系为：R/toMd～/dR (3)其中：d 为螺母中径。

1.3 有限元建模考虑丝杠副螺纹牙为主承力结构，同时为节势算时间，将图1结构简化为图 2有限元计算模型，丝杠、滚柱和螺母均保留 4个螺纹牙。该模型采用 Solid-164实体单元，将单元属性设置为全积分单元，进行沙漏控制～丝杠和滚柱轴孑L及螺母外圈设置成厚度为图2 有限元模型Fig.2 FE model0.01 mm的Shel-163壳单元用于施加边界条件，该模型共有 l1l 008个实体单元，2 570个壳单元，28 809个节点。定义丝杠副为线弹性材料，密度 7 800 kg/m ，弹性模量210×10 Pa，泊松E匕0.3。

动力学计算时，为便于施加边界条件，据式(1)～式(3)的相对运动关系，将滚柱设置为主动件，则丝杠相对滚柱既有转动又有轴向位移，而螺母相对滚柱只有旋转。即约束滚柱径向、轴向自由度，仅保留其扭转自由度；约束丝杠及螺母径向自由度，保留其旋转和轴向自由度；对丝杠与滚柱和滚柱与螺母分别施加接触。

设滚柱 自转角速度 为200 rad/s，400 rad/s，600rad/s，800 rad/s，1 000 rad/s进行动态特性分析。为保证4个螺纹牙均参与啮合又节势算时间，经试算，求解时间设为0.002 S。

2 显式动力学算法根据最小势能原理，运动微分方程弱解的积分形式 为：J ( -fi)8 d -∞ 拍 加第3期 马尚君等：行星滚柱丝杠副运转过程动态特性分析l ∑ i idS：0 (4)式中：P为质量密度，U 为节点位移张量， 为体力张量，砌 为虚位移张量， ，为节点应力张量， 为节点虚应变张量 ， 为外力边界， 为面力张量。根据虚位移原理：neT[fvepNTNdVi trdV-J Ⅳr，d -0N J0 (5)式中：N为形函数，B为应变矩阵，Gr[ ， ，盯 ，丁 ，丁 ] 为应力向量，，为体力向量， 为面力向量， 为单元体积。单元质量矩阵m Ⅳ NdV，同- 行元素合并到对角元上形成集中质量矩阵，再集成为总体对角质量矩阵 。

即： ∑ TNdV (6) 、式(5)改写为离散化运动方程：M P-F (7)式中：F由单元应力场等效节点力矢量组集而成，即F：∑.B o-dV；P为总体节点载荷向量，由集中节点力、面力和体力等组成：P ( l，dVNTdS) (8)考虑沙漏粘性阻尼力向量日，计人阻尼 c影响，离散化结构运动方程为：M P-F日 -C五 (9)求解时用时域积分方法 ，为保证收敛，采用变步长积分法，时间步长由网格中最小单元决定。

即：Atmin△f 1，，△ (10)式中：△f 为第i个单元的极限时间步长，m为单元总数。各种类型的单元极限时间步长为：At Ol(L/c) (11)式中：OL为小于 1的时间步长因子， 为单元特征尺度，c/ (1- )P，E为弹性模量， 为泊松比。

3 行星滚柱丝杠副动态特性分析3.1 螺纹牙接触位置节点振动响应采用显式动力学算法，计算滚柱自转角速度∞ 分别为200 rad/s，400 rad/s，600 rad/s，800 rad/s，1 000rad/s下行星滚柱丝杠副动态特性并分析。由于行星滚柱丝杠副为螺母直线输出，因此其轴向动态特性是关键。丝杠和滚柱接触侧 ，丝杠螺纹牙中径(理论啮合位置)上接触单元97 135节点21 640处的轴向位移及轴向速度动态响应曲线如图3、图4所示。

图3 节点21 640处轴向位移响应曲线Fig.3 Location and axial displacementvibration response curve of node 21 64084曼 0-4- 81284考 0.40 5 10 5t×100/s0 5 10 15f×10 /s20-删 图4 节点21 640处轴向速度振动响应曲线Fig.4 Axial speed response curve of node 21640由图3、图4看出，随着转速增加，节点21 640的轴向位移和速度呈增大趋势，转速为800 rad/s和 1 0001 i 1 1 叫/ ×170 振 动 与 冲 击 2013年第 32卷rad/s时，位移和速度波动幅度均较大，转速增加导致滚柱 自旋滑动趋势更明显，呈现较强非线性。本文未考虑轴向载荷作用影响，仅分析初始状态不同转速对行星滚柱丝杠动态特性的影响。由于启动初始存在装配间隙易发生打滑现象，而打滑是造成传动精度不足的根本原因；开始运转后，在轴向载荷作用下，随着接触点增多，运转会趋于平稳，接触点的位移与速度波动均会减校由文献[5]行星滚柱丝杠副轴向相对速度关系，丝杠相对于滚柱的轴向速度为：/)axial： ±np-coS (12)Z 叮T其中：±号与丝杠轴线方向-致，单位 m/s。

将表 1、表 2参数及滚柱转速分别代入式(1)-式(3)，结合式(12)，可得不同滚柱转速下丝杠相对滚柱的轴向速度。

将图4中提取的显式动力学计算结果与式(16)结果的对比如表 3所示，相对误差均在 5%以内，两者结果吻合较好。表明采用显示动力学方法求解行星滚柱丝杠副动态响应颇为有效。

表3 轴向速度解析解与有限元解对比Tab.3 Comparison of axial speed betweenanalytical solution and finite element solution表 3存在的相对误差为由式(16)计算的轴向速度是纯滚动下的理想状态，而实际运转过程中，滚柱依靠滚动摩擦实现动力传输，自转轴线与丝杠轴线保持平行，螺纹牙受力方向与丝杠轴线成45∏，滚柱 自转轴图5 丝杠和滚柱接触位置单元选取Fig.5 Element selection on thescrew and roler contact region线受到约束而产生自旋滑动现象，即，滚柱的行星运动为滚动与滑动并存。螺纹牙从含有装配间隙的初始状态进入啮合时，易产生冲击碰撞的动态啮合，导致有限元计算结果存在波动。

表 3结果为图4中曲线峰值，表明螺母在某-时刻达到理论轴向速度，但受滚柱 自旋滑动影响，有限元计算结果偏小，在解析解范围内波动。

3.2 螺纹牙接触位置单元动态应力在每个螺纹牙中径接触位置各取-接触单元的动态响应结果，如图5、图6所示。丝杠和滚柱接触侧：丝杠4个单元分别为A.，B。，C.，D ，与之对应滚柱上 4个单元分别为A ，曰：，C ，D ；滚柱和螺母接触侧：滚柱 4个单元分别为A ，B ，c ，D ，与之对应螺母上4个单元分另0为44，B4，C4，D4。

在丝杠和滚柱接触侧，图7、图8分别为丝杠和滚柱上4个螺纹牙接触单元在滚柱转速 1 000 rad/s下的Von Mises应力响应曲线。在滚柱和螺母接触侧，图9、图l0分别为滚柱和螺母中径上4个螺纹牙接触单元在同-转速下的 Von Mises应力响应曲线。

由图7、图8看出，丝杠上4个接触单元和滚柱上4个接触单元的 Von Mises应力曲线均不相同，第-个螺纹牙上接触单元的Von Mises应力最大，单元 4 最大值为1.585×10 Pa，单元 4，最大值为 1.256×10 Pa，主因为行星滚柱丝杠副整体结构刚度分布使互相啮合的螺纹牙存在载荷分布不均，从第-个螺纹牙开始，承受的载荷大小依次减小，随着螺纹牙数的增加 ，载荷分布不均现象越不明显。此与文献[12]中每个螺纹牙受力大小不同、施力端第-个螺纹牙受力最大的结论-致。

由图9、图 10，滚柱和螺母接触侧均为第-个螺纹牙 Von Mises应力最大，各螺纹牙的 Von Mises应力曲线波动趋势基本-致。其中，单元 A ，B，，C ，D，的最大Von Mises应力分别为：9.028×10 Pa，3.430×10 Pa，2.001×10 Pa，1.981×10 Pa，单元 A4，B4，C4，D4的最图6 滚柱和螺母接触位置单元选取Fig.6 ELement selection on theroler and nut contact region；i6. 20f×10/s图7 丝杠和滚柱接触侧丝杠上4个螺纹牙Von Mises应力响应曲线Fig.7 Von Mises stress response CHI Ve of fourthread teeth on screw between screw and roller第 3期 马尚君等：行星滚柱丝杠副运转过程动态特性分析 171- ×f×04/s图8 丝杠和滚柱接触侧滚柱上4个螺纹牙 Von Mises应力响应曲线Fig.8 Von Mises stress response curve of fourthread teeth on roler between screw and roller∞- ×b0 5 l0 15 2Ot× 10- /s图9 滚柱和螺母接触侧滚柱上4个螺纹牙 Von Mises应力响应曲线Fig.9 Von Mises stress response curve of fourthread teeth on roler between roler and nut大 Von Mises应力分别为：1.017×10 Pa，3.382×10Pa，1.636 x 10 Pa，2.775 x 10 Pa，结合图8看，螺母侧滚柱和螺母的 Von Mises应力值较接近，总体小于丝杠侧。此现象与行星滚柱丝杠副设计原理有关，即滚柱与螺母螺旋升角相同，旋向相同，滚柱与螺母之间无相对轴向运动，与丝杠侧相比，后者更易产生相对滑动。

从0 S开始，丝杠接触侧迅速产生应力值，螺母侧则从0.000 097 5 S开始。原因为建模以丝杠侧为基准，进行装配造成螺母侧留有微袖隙产生的。

不同转速下，单元 C ，C ，C，，C 的最大Von Mises应力结果见表4。

表 4 不同转速下各接触单元 Von Mises应力结果对比Tab.4 The contact element result comparison ofVon M ises stress in different roler speeds由表4知，随着转速的增加，各接触单元Von Mises应力变化不大。在丝杠和滚柱接触侧，丝杠应力值略大于滚柱；在滚柱和螺母接触侧，滚柱和螺母应力值相差不大。滚柱两接触侧应力值相差较大，原因为丝杠侧的曲率半径小于螺母侧曲率半径，前者接触面积小于后者所致。

4 结 论采用显式动力学算法对行星滚柱丝杠副进行动态特性分析，结论如下 ：(1)随着转速增加，接触单元上节点的轴向位移和速度振动响应均呈增大趋势；有限元解与解析解吻合较好；转速越高，位移和速度波动越大，呈现较强非线性。

(2)同-转速下，丝杠、滚柱和螺母 4个螺纹牙上t×10 /s图10滚柱和螺母接触侧螺母上4个螺纹牙 Von Mises应力响应曲线Fig.10 Von Mises stress response curve of fourthread teetI1 on nut between roler and nut均存在载荷分布不均现象，且第-个螺纹牙的Mises应力波动最大。

Von(3)丝杠侧螺纹牙接触单元Von Mises应力大于螺母侧螺纹牙接触单元Von Mises应力。