单侧刚性约束两自由度振动系统的混沌与分岔

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近些年二自由度碰撞振动系统在工程领域中经常遇到，它也是碰撞振动的问题研究的-个热门。所以我们必须要对二自由度系统的混沌行为有-个全面和深刻的认识，所以，在振动机械和装置的动力学优化设计，对二 自由度振动系统特性的研究具有非凡的的意义。对于这类含间隙系统l 的理论研究已引起国内外学者的普遍关注。文献[3]研究了-些混沌控制方面的问题。文献[4-5]研究了伴随着理论研究方面的全方位探究。

笔者建立了-类二自由度碰撞振动的力学模型，通过解析法和数值法相结合分析了系统的分岔及通向混沌的演化路径和过程。为日常生产生活中的-些有害振动提供了研究的依据。

2 系统的动力学模型及周期运动图 1是-类具有两个振子 ，、 的二自由度对· 碰系统的力学动力学模型图。在模型图中可以看出其中振子 是由-个阻尼系数为 C 的线性阻尼器和-个刚度为 的线性弹簧连接到-个刚性平面上，而另-个振子 同样通过-个阻尼系数为 C的线性阻尼器和-个刚度为 的线性弹簧连接在上，建立如图所示的坐标系，3个振子只作垂直方向的运动，并分别受到简谐激振力P sin( 丁)(i1，2)的作用。假定水平支持面为光滑的平面，当振子和的坐标满足质量块位移敲等于-个固定间隙时，质量块 将正好和刚性约束产生了碰撞，质量块在改变了速度方向之后，会以-个新的初始值运动，之后再和约束发生碰撞，如此不断重复。在这个力学模型中碰撞过程由碰撞恢复系数 R，它的阻尼是(K1/K2C。/C2)。

图 1 两自由度系统模型图假设在任意连续两次碰撞之间(X。< )，系统的运动微分方程为：[ 曼] )[-主 2 ； ] ) 。

[- ] ) 。)sin cu 丁其中·”表示对无量纲时间t求导数。无量纲量如下：收稿日期：2013-01-03作者简介：王明轩(1989-)，男 ，甘肃秦安人，在读硕士，研究方向：车辆系统动力学、非线性动力学。

· l8 ·· 机械研究与应用 ·2013年第2期(第26卷，总第124期) 研究与分析2 K2 C2k ， ， c， ， 铲 (2)方程(1)中的正则模态矩阵用 表示。 和 ∞：分别是表示在没有碰撞的情况下系统的固有频率。

把 当作变换矩阵，进行-个坐标变换得：X (3)所以方程可被解耦为：偕 c Fsin(o)t ) (4)通过正则模态叠加法可以得到方程(2)的通解有如下形式(i1，2)： ∑ [e- (aicosw t sin )Aisin(o)t7-)B，cos(o)t丁)] (5) ∑ [e- [( ∞ - )eosoJt-( ajoJ)sino) t)Ajmeos(otr)-BjoJsin( )] (6)式中： ，Q 分别为正则模态矩阵 和Q的元素； ：， √c， - 2，( 1，2，3，4)；Aj和 是振幅常数；o 和 6 是积分常数 ，它们由初始条件以及模态参数确定： 等： (7)(8)3 碰撞振动系统 Poincar映射稳定性分析选择 Poincar截面： ( 1， 1， 2， 2，0) ∈R4×S l戈lb其中：0otmod2-r，则 ： ( 。， 。， 20， 20， 。)表示碰撞振动系统在 Poincar6截面 O-上周期 -1碰撞的不动点。

扰动运动的方程可以写成：2～ ∑ [e- (ajeosodjt6 sin∞d )sin(mt丁0△7I)曰 cos( o△tr)](9)2～ ～ ( )∑ - [(bjo)d - )cosO)jt- 1( ajo)d )sinmdJ )]A/ocos(wto△ )- sin( t.r0△ )]，(i1，2) (10)设无量纲时间 t为0，(在 与平面A碰撞后瞬时)，则下-次振子 与平面 A碰撞前瞬时，t为(2nA0)/o，AO△ -△下，令 t (2n订△ )/ ，将边界条件 t 代人式(9)、(10)中得：2.。 ( )b，∑ lJ (。)b (11)在这里：(t)e- (口 eos(.od tbjsinwd t)A sin(O)t0Ar0) c0s((D t o△丁o)(12)(t)e- [( dJ 6 - aj)eO$O)d t-( d， 叼 6 )sinmdjt]AjOeO$(cEJ t丁0△ 0)- o)sin( t oAr0) (13)由不动点存在的条件有：g(△ 1，Ax20，Ax20，△丁，A0)l(o'o.o-0'o)0 (14)假设 I(。，oI。'0)≠0，根据隐函数定理，由方程(13)可以解得：A0△ (A Ax2。，Ax20，△ ) f15)A0(0，0，0，0)0将解式(15)代人式(14)，可确定 Poinear映射，然后系统周期运动 Poincar映射在不动点处产生的线性化矩阵的解。最后分析了如何矩阵的特征值在穿越了单位圆的情况下进-步分析了系统的分岔以及混沌演化的发展方向。

4 系统周期运动的分岔及混沌的演化在碰撞振动系统中选取参数(1)： 2.0， 0.0， k4，o0.0，R0.8，b1.5，将系统激励 频率 ∞作为吸引周期运动的分岔参数，当∞0.692，Jacobi矩图2 特征值图阵的-对共轭特征值穿越单位圆周，剩下特征值滞留于单位圆内，满足 Hopf分岔条件。

选 ( 1， 1， 2， 2，0)∈R ×S I 16为Poincar6截面，当激振频率 0.692，q1/1周期运动失稳，>0.692，发生 Hopf分岔，碰撞振动系统呈周期运动，∞0.692为周期运动的 Hopf分岔值。随着激振频率 cJ递增并远离 Hopf分岔值 ，其 中，∞0.7539时，系统产生 q1/1周期吸引子不变环，如图 3(a)· 19 ·研究与分析 2013年第2期(第26卷，总第124期)·机械研究与应用 ·所示。随着激振频率 ∞递增，∞0.7540716时，吸引子不变环变形膨胀，如图 3(b)所示。激振频率 O9继续递增，当 ：0.7545时，系统进入混沌，如图3(C)～ (f)所示。

(c)缈 0.7545 (d) 0.7546图 3 Poincar6截图在碰撞振动系统中选取参数(2)：u 3.8， 0。

5296，Jacobi矩阵的-对共轭特征值穿越单位圆周，剩下特征值滞留于单位圆内满足 Hopf分岔条件。

图4 特征值图在这组系统参数下，当 ∞>∞ 0.5296时，系统具有稳定的q2/2的周期运动，在 Poincar6截面上产生两簇 q2/2吸引不动点，如图5(a)所示；随着的增大，系统的不动点g2/2失稳产生了Hopf分· 20 ·岔，并在 poincar6截面 or上产生q2/2的 2T 的吸引不变环，如图5(b)所示；随着参数 co继续增加，系统经环面倍化进入锁相，如图 5(c)；参数 c0继续增加，系统进入混沌状态，如图5(d)。

(b) l-0 5325图 5 Poincar6截图5 总 结两自由度单侧刚性碰撞系统通过解析法证明了通向混沌的道路是有很多条复杂的道路。假如把相平面可以划分为若干个流域，那么初值会落人不同流域，映射过程会收敛至不同的振动周期轨道和非周期运动轨道，当增加了激振角频率 ，那么系统周期的运动的振幅将会减校