考虑非局部效应的纳米梁非线性振动

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Non.1ocal effect on non.1inear vibration characteristics of a nano-beamLIU Can-chang ，QIU Jin-hao ，JI Hong...1i， ，(I.State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，College of Aerospace Engineering，Nanjing University of Aeronautics，Naming 210016，China；2.School ofTransportation and Vechicle Engineering，Shangdong University ofTechnology，Zibo 255049，China)Abstract： Non-linear vibrational characteristics of a nano-beam were studied taking the non-local effect intoaccount.The physical model was built based on the continue body theory and the effect of axial elongation for the nano-beam.The dynamic equations were derived based on the non-local effect.The natural frequencies were obtained and theprincipal resonance was studied considering non-local efect and axial nonlinear elongation.The numerical results showedthat the non-local effect has effects on both the natural frequencies and the relationship between frequency and amplitude。

Key words：non-local elastic effect；nano-beam；non-linear model；multi-scale随着微、纳机电系统技术的发展，超薄纳米梁经常被用作超高精度传感器、超高频混频器等。与以往的微米梁相比，纳米梁在尺寸上进-步缩小，性能获得了极大的提高。但是，由于器件进入了纳米尺度，非局部效应影响较为显著，不可以再予以忽略 J。

近年来，纳米结构的线性和非线性动力学研究取得较快的进展。杨晓东等 分析考虑非局部效应的两端简支纳米材料梁的横向非线性振动特性〖虑非局部效应的碳纳米管的线性和非线性振动得到深入研究 - 。宋震煜等 考虑纳米梁的轴向非线性伸长因素，分析了纳米梁的幅频特性和纳米梁非线性产生的物理机制。朱年勇等 利用数值方法求解了描述纳机电谐振器的达芬方程，研究了纳机械谐振梁的非线性行为。纳米梁的制造与测试工作取得较大进展 J。

本文以弹性理论和非线性振动理论为基础，考虑纳米梁的非局部效应，从梁的轴向非线性伸长出发对基金项目：长江学者和创新团队发展计划资助(IRT0968)；博士后基金(2012M521082)收稿 日期：2011-11-03 修改稿收到日期：2012-04-09第-作者 刘灿昌 男，博士生 ，1970年3月生通讯作者 裘进浩 男，教授，1963年生纳米梁进行受力分析，建立连续体非线性物理模型。

探讨了纳米谐振梁非线性特性产生的物理机制，分析非局部效应对固有频率的影响，探讨非局部效应对主共振幅频特性曲线的影响，对纳米谐振梁的振动特性进行了分析。

1 连续体模型实验表明，传统的宏观梁甚至 MEMS谐振梁通常只工作在线性区，而特征尺寸为纳米量级的谐振梁随着外部激励的逐渐增加很快就进入非线性工作区，原有的线性理论不再适用1 。本文从弹性理论出发建立考虑纳米梁横向振动几何非线性和非局部效应的动力学方程考虑细长均匀梁的横向振动，假定梁的各截面的中心主惯性轴在同-个平面内，外载荷也作用在该平面内，梁在该平面内作横向振动，梁的两端固定，其端部运动就受到限制，引起中性面伸长。对于细长纳米梁其剪切变形以及截面绕中性轴的转动惯量可以忽略。取梁的微元进行受力分析，如图 1所示。在微元左侧，梁受到的垂直剪力为 ，弯矩为M，P是由于横向振动导致中性面伸长而产生的张力，0为张力与轴的夹角。右侧为相应的受力变化。q为作用于梁上第 4期 刘灿昌等：考虑非局部效应的纳米梁非线性振动 l59的分布力。由力的平衡条件可以得到在横向振动方向平衡方程：- pA -P -P W q0 (1)纂 向振动幅值；P为f上 Ia尸dr 梁单位长度的质/，ll-盖 (0 2/OX2，(。

， (-) ： 台 两端固支纳米梁的边界条件为：： 0在 0，1 (9)方程的解 和轴向力 P可以展开为 的幂级数形式：IX)( ， ； ) o( ，To，T1) 加1(戈，To，T1) (10)P( ，t； )P0( ，To，T1)印1( ，To，T1) (11)其中 和 分别为慢变和快变时间尺度～方程(10)和(11)分别代入到方程 (7)、(8)和边界条件(9)，令 同幂次的项系数为零，得到以下各阶近似线性方程：。 D02 o - 。 ，00 (12)P0-÷( 0) 0 (13)o ”00在 0，1 (14)D02 1 -cx2w 1-2D0D1 0(p0 4 3p o 3prP0W”0p 。 0)- riD0 0-K(p0 0p'ow o) -F1 (15)P1-a2p1 - ÷( 0) 0 (16)1似 10在 0，1 (17)2 非局部效应纳米梁固有频率和模态函数方程(12)的通解可以写为：0( ，t)Ae及 (18)将方程(18)代入到(12)，可以得到本征方程：A A -∞ 0 (191方程(19)的四个本征值为：A1，2± ， A3，4±j (20)其中，，、/寺(、/ ∞ 4 - ∞ )卢 √ ( 。032)方程(12)通解的模态函数为：( )：C1cos芦 咒C2siq C3elsx十C4s (21)其中，c ( 1，2，3，4)和OJ为待定参数，分别由梁的边界条件确定。

对于两端固支纳米梁，其边界条件为：( )1 ：。.。 0， ( )i xo，10 (22)将(21)代人边界条件(22)，由系数非零解条件得到：co os )- si in 0(23)解方程即可得到固有频率解。当 为零时，方程(23)退化为不考虑非局部效应的两端固支梁的频率方程 1- co cosh/30。

振 动 与 冲 击 2013年第 32卷两端固支纳米梁各阶模态函数为：， ( )CO -ch 向 (tiosi p -卢。 shIB ) (24)其中： √ ( - 2 ) √ ( 蕊 ) (c 8m-CO )/(/3insiqB - s hI8 )3 非局部效应纳米梁主共振分析当激励频率 接近于非线性振动系统的派生系统固有频率 时，可发生主谐波共振。如果系统是小阻尼系统，这时很小的激励幅值 F就可以激励起强烈的共振。方程(12)的解可以表示为：Wo( ，t) (戈)[Ane n A e n ] (25)将(25)代人(13)得到：Po ( )[A e。2 n A e 2A A ] (26)其中， ( )：[ ( )] 。

设策动力为Fo：Fe 。设 CO 与 之差与小参数s同数量级，令： (27)将(25)和(26)代入到(15)得到：D02。 l - w ”1-2ico (x)DlA e nrn3卢[ ( ) ( )3 ( ) ： ( )3 ( ) ( ) ( ) x)]A A e n -ico 叼 (x)A e b-3K[咖 ( ) ( )-咖 ( ) ( )]A]A e n Fekor，ToCCNST (28)其中CC为永年项的复数共轭项，NST表示其它-般项。

由两端固支纳米梁振动模态的正交性可知：rl< ， >l ( ) ( )dx：6 (29)应用可解性条件，将方程(28)右端永年项乘以派生系统的模态函数并由模态的正交性可以得到：- 2ico D1A (Ol1 -0[3 )A2A- bTco A e 0 (30)其中：N 3卢[咖 ( ) ( )34， ( ) ( )3 ：( ) ( ) 三3 ( ) ：( )]Oll， < ，Nl >， 2 ： < ，N2 >， < ，F>，N 3K[ ( ) ：( )- ：( ) ( )]令 ÷口 e · ，代入到方程(30)并令方程的实部和虚部分别为零，得到：，)1。 -0 g sin( ) (31)0 D1 ora Kna：g COS(，， ) (32)其中 象 ： 。令即 。

得到定斥振幅和相位满足的代数方程：- 导0 q sin( )0 (33)ora Kna：qnCOS( )0 (34)将方程(33)和(34)中的 消掉，得到两端固支纳米梁主共振的幅频方程为：4[ ，( 。 ] )n2 g2 (35)由方程(33)和(34)得到两端固支纳米梁相位为：n - rct舳 (36)厶 、 l， -u - ，由方程(35)得到两端固支纳米梁主共振的峰值为：0 (37)不考虑系统阻尼，系统 自由振动的方程(31)和(32)变为：D≮ 0 (38)D1y Kna： (39)对上面两式积分，得到：a a加 (40) K nr上2加Tlb砷 (41)其中，a加，6加是积分常数。由此可以得到纳米梁非线性自由振动的固有频率为：N ∞ ，( 2an0 (42) ∞n十 ，(n q4 算例分析本文以两端固支纳米梁系统为仿真实例。在梁的硅基结构上面镀有-层别镀膜，通过外接电路施加变化电流，将该装置放于匀强磁场中，则梁系统受到随电流变化的均布磁场力作用。为了研究非局部弹性效应对纳米结构的影响，我们分别以纳米梁和微米梁作为研究对象，分析非局部弹性效应对梁力学性能的影响。纳米梁的长度、宽度和高度为 150 lm×20 nm×25 图2 纳米梁非局部效应及nm。微米梁的长度、宽 振幅对-阶固有频率影响度和高度为 15 m×2 Fig.2 Efect ofthe nonlocal elasticityI.zm×2.5 m。两种梁 and amplitude to the first的 弹 性 模 量 为 170 waJ tr。quency for nano-beam·GPa，密度为2 330 kg/m ，系统的阻尼比为0.3。

通过数值计算方法计算式(23)得到考虑非局部效应的纳米梁前两阶固有频率。数值结果见图2-图3。

第4期 刘灿昌等：考虑非局部效应的纳米梁非线性振动 l61由图可见，随着非局部效应系数数值的变大，两端固支纳米梁固有频率要减小，考虑非局部效应后材料刚度比不考虑该效应的要校由图中还可以看出，非局部效应系数对两端固支纳米梁高阶固有频率的影响更为明显。由图4-图5我们发现，对于不同的非局部效应系数数值，两端固支微米梁固有频率几乎没有变化，这说明非局部弹性效应对微米梁影响较猩见，随着结构尺寸的减小，非局部弹性效应的影响逐步变大，特别是到了纳米尺度，其影响就不能再予以忽略。

由式(35)可以得到两端固支纳米梁的-阶主谐波共振响应的幅频图(如图6所示)。由图可以看出，不考虑系统的非局部效应或者非局部效应系数较小时，两端固支纳米梁存在分叉和跳跃等非线性现象，幅频关系存在着多值性，但是随着非局部效应系数的增大，图像峰值右移，分又现象消失，说明非局部效应的存在影响主谐波共振的幅频关系。因而研究两端固支纳米梁振动特性时需要考虑非局部效应的影响。

图3 纳米梁非局部效应及振幅对二阶固有频率影响Fig.3 Efect of the nonlocal elasticity and amplitudeto the second naturalequency for nano-beam图4 微米梁非局部效应及振幅对-阶固有频率影响Fig.4 Efect of the nonlocal elasticity and amplitudeto the first natural fequency for meeron-beam图 5 微米梁非局部效应及振幅对二阶固有频率影响Fig.5 Effect of the nonlocal elasticity and amp]itudeto the second natural frequency for mecron- aln图6 纳米梁幅频响应Fig.6 Response ofequency-amplitude for nano-beam5 结 论本文以弹性理论和非线性振动理论为基础，建立考虑非局部效应和轴向非线性伸长的两端固支纳米梁物理模型。探讨了两端固支纳米梁非线性特性产生的物理机制 ，研究发现由于非局部效应存在，纳米梁的固有频率比不考虑非局部效应的要小；非局部效应对高阶固有频率的影响更为显著；非局部效应的存在影响主谐波共振的幅频关系。