含冗余驱动的3-（2SPS）并联机构的轨迹规划与仿真

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为发挥并联机构高刚度 、高动态性能等优点，克服其工作空间小且存在奇异位形 ，运动学正解复杂等弱点 ，采用在少自由度并联机构的适当部位附加冗余驱动法是-个较为理想的选择。附加冗余驱动可以改善机构的运动性能，如增强机构灵活性、避开奇异位形或使奇异位形发生迁移、防止关节发生干涉；改善刚度、动态精度、提高承载能力1-2]。

然而由于添加冗余运动，与原运动支链形成串联运动关系，导致运动学反解的多解性。在动平台指定运动要求下，为给予该串联支链运动副确定的运动，需依据优化目标设置-定的定解准则，实行关节的轨迹规划。

2机构构型与运动学并联机构由动平台、定平台及六条伸缩杆组成，将六根伸缩杆分为三组 ，两两平行，且分别按组调节，其中两组杆直接用球铰连接上下两平台，另外-组杆的-端用球铰与动平台连接，另-端用球铰连接到-个移动滑块，而滑块在定平台上可作直线滑动。通过特定的铰链布置和支链伸缩杆同步驱动限制末端执行器的三个转动自由度，最终实现动平台三维空间平动。其机构图如图 1所示。固定平台端 A。、A 、A 、A 在铅直平面内，A 可沿水平导轨(y0，Z-常数)滑动，滑块到 x0平台的距离为g，且保持与平台 x0平行。

来稿日期：2012-07-14基金项目：江苏势技支撑计划-工业部分(BE2011193)作者简介：李 琳，(1987-)，女，硕士研究生，主要研究方向：机械制造图2定、动平台简图Fig.2 Set，Mobile Platform Diagram首先建立动定两平台坐标系。固定坐标系 O-xyz固联于下平台，Dy轴与 OC。重合， 按右手定则确定， 轴垂直于固定平台向上。动坐标系 Y 与上平台固联，0y轴与 尸c，重合， 按124 李 琳等：含冗余驱动的3-(2SPS)并联机构的轨迹规划与仿真 第5期右手定则确定。两坐标系相应坐标轴两两平行。在固定平台上，三组铰链中心点 c c2c3组成等腰直角三角形，其外接圆半径为 ，支链球铰安装距离为 D，A 延线与A 延线交角及 曰 延线与曰 延线交角均为60。。在动平台上， 、B 点重合，B 、 点重合，即采用复合铰链， 口 B 四点的外接圆半径为 r。

设上平台动坐标系 -Y 原点 P在定坐标中坐标为(Yl，， )，则反解方程为：fl：f2：14：、/ 22p"-09) ，if ：f ： -2 2( J 2其中 - D， - D (1)机构动平台输出具有三个自由度，对应着四个驱动输入，在理论上机构动平台在任意运动状态下输入运动都具有无穷多组值，要得到确定反解，除了给末端执行器的位置外，还必须增加 1个约束条件，最简单最直观的方法是直接指定冗余关节，给出其关节运动状况。

- 般地，并联机构位置正解难度较大，但由于本机构是三平动机构，位置正解可由反解方程组通过代数结算求得：当go时， 4

g 0-由(2)、(3)式可知，位置正解存在两组解 ，即当确定各支链长度时动平台参考点可在空间的两个不同位置。但由于实际应用中机构运动具有连续性，可确定唯-合适的解。

当机构滑块固定于x-0处，其工作空间如图3所示，该机构工作空间关于 x0平面对称，且在接近 x0平面处，其工作区域较狭窄。在无冗余滑动情况下，机构动平台只能在 x0平台的-侧运动，没有越过 0平面到达另-侧的能力，且 x0平面附近机构 方向的刚度也很差[41。而加入了冗余滑动，则能完成左右两侧工作空间的穿越，机构的性能也能得到大幅度改善。

图3机构的工作空间Fig.3 The Workspace of Organization3轨迹规划目标与准则的选取冗余运动导致的多解性表现在冗余滑动参量与第二组伸缩杆长可出现多种组合。为确定适当的解 ，则需根据机构的不同要求，选择不同的轨迹规划的准则。优化的目标是使机构有良好的性能指标，包括精度、刚度、动态性能等。而规划中所用的准则是体现这些性能的量化指标，有时可选单项，有时则需选择多项，即多约束定解。每-种准则的采用应以相关性能指标研究结果为前提，并将研究结果提炼成便于快速计算的量。

若以刚度精度最优为目标，则需要以机构六阶雅克比矩阵条件数作为量化指标；以动力学性能最优则需研究机构在重载下高速运动的相关性能，如力、惯性 、传动响应等，其量化指标涉及六阶雅克比矩阵和(3x3x3)海瑟矩阵的模及条件数等〖虑到篇幅及本三平动机构用三阶矩阵表示的特点，仅从奇异位形人手，以三阶雅克比矩阵条件数为指标，实施轨迹规划。

3.1奇异位形分析奇异性是并联机构所固有的性质。在奇异位形附近，机构的精度、刚性等各项性能都会变差，此时机构的雅可比矩阵成为奇异矩阵，机构将获得多余的不可控自由度或者变得刚化即减少了自由度，因此必须让机构在远离奇异位形工作。

文献Im嗵过建立机构的约束方程，然后对约束方程求导的方法，分别得到两个矩阵。根据这两个矩阵，将奇异分为三类：如果约束方程对输入变量的导数矩阵降秩，则发生边界奇异，属于机构的逆向运动学奇异；如果约束方程对输出变量的导数矩阵降秩，则发生内部奇异，属于机构的正向运动学奇异；如果以上两个矩阵都奇异，则发生机构奇异，属于正、逆向运动学同时发生奇异，此时机构具有特殊结构。下面根据此分类方法对并联机构进行奇异位形研究。

对该机构的约束方程进行求导，得到形如A ：B 的式子，即：lf1 0 0 0 l00 g ll 1l0 0 15 0 J其中， [f.i，庐x y，-0-.z1i g]， z](4)126 机械 设计 与 制造No.5Mav.2013间时，参数 g基本维持不动，仅 l 杆运动，但在接近奇异面时，两参数迅速进行调整。加速度图中在两处出现加速度突然增大或减小，出现这种状况是为了避开性能不好的位置，符合运动要求。在整个运动过程中，条件数总体维持较低的水平，而中段区域条件数稍大，即条件数稍差。因此可知，该规划方法是可行的。

g淤t，s图6运动位置Fig.6 Motion Position0·60.50.40.30·殛 o.1型 0R- O。

- O·2- 0 3t，s图7运动速度Fig.7 Movement Speed - f1l --- Z3 i ， f4 ! f! lj 工/ 1～ 、 、 。

～15 -10 -5 0 5 10 15 20 25s图8运动加速度Fig.8 Accelerationt/s图9雅克比矩阵条件数Fig.9 Jacobin Matrix Condition Number5结束语含冗余驱动的3-(2SPS)并联机构运动轨迹规划的本质是机构的位置反解的定解问题，通过将机构雅克比矩阵条件数限定在- 定范围，使动平台在规定的路径上具有稳定的性能。利用冗余滑块位置参量 g的调整，使机构奇异位形发生迁移，从而使动平台避开病态位形，是简单有效的方法。但若刻意要求条件数最优，机构可能无法维持运动连续性，因此结合矩阵条件数及运动连续性进行规划，使机构在保证运动连续性的情况下同时兼顾良好的条件数。