基于约束力旋3SPS＋UP并联机构刚度和弹性变形

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少 自由度并联机构具有较少活动分支、大的工作空间、简单结构和容易控制等优点u。4J，刚度是并联机构最重要的执行指标之-，特别对于作为机床使用.对于较高精度的末端执行器，更高的刚度允许更高的加工速度[35.因此，在初始设计阶段，分析并联机构的刚度和弹性变形很重要 J。

1 3SPSUP并联机构刚度和弹性变形1.1 3SPSUP并联机构和它的受力情况3SPSUP并联机构的受力情况见图1。

s.8图1 3SPSUP并联机构受力情况Fig.1 force situation of 3SPSUP PM收稿日期：2012.11.02基金项目：国家自然科学基金资助项目 (51175447)；河北省应用基础研究计划重点基础研究资助项目11962127D作者简介：张秀礼 (1978.)，男，河北 唐山人，博士研究生，讲师，主要从事并联机器人、非线性振动方面的研究. 本文编校：曾繁慧514 辽宁工程技术大学学报 (自然科学版) 第32卷S A2j 12f Alf Ii S(a) i下 的纵向弹性微变形ro -rlo√r o L-Fci-A2 Al U 、m赴0j Ik!A ，Iloi、 TfmoI。I- 、(b)Fc 下 Ko的横向弹性微变形 (c)Tc 下 ro的横向弹性微变形图2 弹性微变形Fig.2 elastic diferential deformations整个工作载荷被简化为作用在 m 的。上 的-个力旋 (，， ).(F， )平衡于三个主动力Fa ( 1，2，3)，两个约束力 1，2)和-个约束力矩 .每-个Fa 沿着 作用在 上的B 上.根据第-部分里确定( ， )的条件，知道每个Fcf(f1，2)存在于 的上.满足( 1 lI ，2 l Y， 上 1， 上尺2， .1 ).得到-个3SPSUP并联机构的静力学方程为。

：FaFc。 J(e2(e3((0 f式 中 ， -，是 -个 66 的雅 可 比矩 阵 ， 和4(/1，2，3)是主动分支的长度和单位矢量， 和是从动约束分支的长度和它的单位矢量，e 是从。到 的矢量， 和足 是R和尼 的单位矢量，c(jl，2)是Fc，的单位矢量，r是 的单位矢量，d 是从O到《二)的矢量。

1.2 SPS分支 和 UP分支 伴随矩阵和弹性变形假设刚性平台m被 3个弹性主动分支支撑并且被-个弹性约束分支r0约束.令 ，4 ，厶 和分别为分支 的长度，活塞截面，惯性力矩和惯性转动力矩.令( -rli)， ， 和 分别为分支的长度，截面，惯性力矩和圆柱的惯性转动力矩。

令E和Gj为分支 (f1，2，3)的弹性系数和弹性转动系数.当每个主动力 (f1，2，3)沿着 作用在SPS的主动分支 上，分支 的纵向弹性微变形d (图2(a))为卺 -巨 L 老j这里ka 是SPS主动分支的-个纵向刚度。

当每个 (fl，2) T-up-类的约束分支ro的万向副并且满足 ，上ro，解出ro的端点的横向弹性微变形dc ，等，3 侄 ].(3)约束力矩 包括-个沿着ro的分量 和-个垂直于ro的分量 (见图 1)表示为 r， r· ， f·( ×R )(4)当 存在于分支 ro的万 向副上并且满足上 时，ro的端点的横向弹性微变形d"gv能被解出d ： ： 三：! !，k k2 懂 I㈣当 存在于 UP约束分支 ro的万向副上并且满足 上 时，分支ro的端点的弹性转动微变形dO，。

d ： ：-TJ，oI rTO， d ： ：- -jkf kfH- J㈤式中， 和 是UP约束分支 的横向和转动刚度与 和 相对.力变形方程由式 (2)～式 (6)导出为第4期 张秀礼：基于约束力旋3SPSUP并联机构刚度和弹性变形 515： 1/ 1 00 1/ka20 00 00 00 0ddr2dr3dc1dcodO3001/ko000 0001/ l0 1/ 2 f (ao xR2)/0 0 TT /d6'0d2dcv (7)式中， 是 3SPSUP并联机构的主动分支，：和从动约束分支 的-个 6x6的总伴随矩阵。

1.3 3SPSUP并联机构的总刚度矩阵和弹性变形根据虚功原理 加 由( ，Fa：， ， 。， ， )沿 3SPSUP并联机构的变形产生的虚功总量和由( )沿在J舀里的点0的变形产生的虚功之和为零.令(dXo，dro，dz。)为 j里的点O的m弹性微变形的3个直线分量并且令(dCpx，d ，d )为 j里的m的弹性微变形的3个转动分量，从虚功原理和能量守恒和(1)，得到1O8菩6鉴鲁 20O l 2 3时间 f/s(a)3- 1ddr2dr3dc1dc00o3(8)当.，不是奇异的，t，～-定存在.因此，由式(1)、式 (7)和式 (8)得dXo l 1drodZoddd： J CdXodYodZodddK-(t，T t，) ：ddC-.， ( ) K (9)这里 是 3SPSUP并联机构的-个 6x6的总刚度矩阵并且(dXo，dYo，dZo，d ，d ，dOz)是平台的6个弹性变形分量.因为C 是-个 6x6的矩阵，它的逆矩阵C 必存在.当给定工作载荷( )时，式(9)中3SPSUP并联机构的弹性微变形。

1.55垂. 14 萋 00 ：： 。2- 蠢s 。 -z：. - .- .-dc1. . .d03-。-dc0 .。

攀.00 1 2 3 0 1 2 3时间t/s 时间 s(e) (f)(c) (d)l茭6龄曩z目 0O 1 2 3时间 s(g)图3 3SPSUP并联机构弹性变形的分析结果Fig-3 analytic solutions ofelastic deformations ofthe 3SPSUP PMd d d d d d d d d d lI1J F-......L TT1，，J FCIl1 2 3 l 2 0 O O 0 囊5l6 辽宁工程技术大学学报 (自然科学版) 第32卷2 3SPSUP并联机构弹性变形实例在3SPSUP并联机构中，令初始独立姿态变量( ， ，ro)相对于时间t变化(图3(a)和(b)).设L1.2 m，，：0.6 m，F：-[20 30 601 N，T[30 30 0]T N-m，E.Eo2.1110Pa，主动 分 支 (f1，2，3)的 活 塞 和 气 缸 的 直 径 是DiLDi2：0.04 m ， EiI E I 26502N.m2并 且Ai，Ai 0.0013m .从动分支 ro的活塞和气缸的直径是 Do 0.06m.通过相关分析方程组， 的反 向伸长 量(图3(b)).平 台 m 的正 向姿态 向量( ，ro，Zo)(图3(c)). 的纵向变形dr(i：1，2，3)(图3(d).ro的横向变形dc，( l，2)、dc2tic 和转动变形d o3(图3(e)).平台的姿态变形 (图3(f).平台的转动变形(图3(g)).(i)3SPSUP并联机构的刚度相应的改变平台的姿态；(i)当平台定位在它的初始位置，也就是主动分支的伸长量最小并且平台的姿态.方位变形最小时，3SPSUP并联机构的刚度是最大的。

3 结 论通过解出 3SPSUP并联机构中的主动分支和约束分支的弹性变形，导出主动/约束分支的伴随矩阵，根据主动约束分支的6x6雅可比矩阵和伴随矩阵，导出3SPSUP并联机构的总刚度和弹性变形.3SPSUP并联机构的刚度随着它们的姿态变化.当平台定位在它的初始位置，也就是主动分支的伸长量最小时，刚度是最大的.约束力旋对3SPSUP并联机构的弹性变形有巨大的影响.当建立 3SPSUP并联机构的总刚度矩阵和解出其弹性变形时，必须考虑约束力旋。